Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Диссипация энергии отсутствует, если нн1 =- а12, но в этом случае и = ко1г, и движение жидкости состоит в чистом вращении около оси Ог, тождественном с вращением твердого тела. В этом и только в этом случае оба момента М, и М, тоже обращаются в нуль. В частном случае, когда г, = со, мэ = О, получаем движение жидкости вне цилиндра, вращающегося с заданной угловой скоростью ")1Г1 и = —. г Как известно, в таком движении жидкости вихри отсутствуют, Для вращающего момента получаем выражение: М = 4п1ио1гаи пропорциональное коэффициенту вязкости, угловой скорости вращения цилиндра и квадрату радиуса цилиндра.
Опыты показывают для рассматриваемого случая удовлетворительное согласие величин, получаемых экспериментально, с величинами, вычисленными на основании вышеприведенных формул. Конечно, это имеет место только в случае ламинарных течений, т. е. пока у' 'оные скорости вращения цилиндров остаются достаточно малыми " не переходит критических значений, после чего наступает турбу,1ентный реж1ин 99 'Гнаонтнннскнн ~нноанн нннкн. 1. И Воэтому полный момент снл трения, приложенных к элементам рассматриваемой части цилиндра С,, равен 4чи (н1 — о ) Г,Г 2 2 М =— 1 2 2 2 ! дВижение ВязкОЙ жидкости и'л.
и ф 16. Диффузия вихря. В качестве важнейшего прииера нестационарного плоского движения вязкой жидкости рассмотрим вопрос о диффузии прямолинейной вихревой нети. Пусть в начальный момент времени имеется распределение скоростей, соответствующее прямолинейной вихревой нити, расположенной по оси Оз и ииеющей интенсивность Г.
Таким образом, в момент времени 1=0 проекции скорости на оси цилиндрических координат г, О, з имеют следуя>щие значения: Г о,=О, о,= 2:, о.=О. (16. 1) Уравнения (5.14) показывают нам, что до /дчо 1 до о! — = — ч ( —.+ — — — — ). дт (дг' г дг г)' Введем еще в рассмотрение вихрь скорости 1 д (го) Я,— г д (! 6.2) (16.3) В й 8 мы вывели уравнение (8.6), определяющее изменение вихря с течением времени, В цилиндрических координатах это уравнение имеет вид: дц дй оа до I д'и 1 дй 1 дчйт , дΠ— ч( дт ' дг г дб ],дг' г дг г' дбч)' В нашем случае, когда о,= О и 11 не зависит от 9, зто уравнение сильно упрощается: дц1 дц 1'дй 1 дй! ч ( дг) дт 'чдгч ' г дг,] г дг Впрочем ясно, что (16.4) вытекает из (16.2) вследствие (16.3).
При рассматриваемых начальных условиях иы без всяко~о труда проинтегрируем уравнение (16.2) или (16.4), если воспользуемся соображениями теории размерностей. Рассмотрим, например, уравнение (!6.4), Функция О, кроме переменных г и 1, может зависеть только от двух параметров; и Г, причем ясно, что ьз прямо пропорционально Г; итак, й = ГФ (г, 1, ч).
(16.6) Выписываем теперь размерности всех входящих в зту формулу величию ]=Т, [Г] — — 1. Т, ]г]=ч-, ]ч] — --Т, ]ч]=1. Т Требуется определить движение жидкости в любой следующий момент времени. Совершенно ясно, что в атом движении о, и о, все время равны нулю, а оа зависит только от г и 1: о, = о, = О„оа = о(г, 1), р = р (г, 1). 451 ДИФФУЗИЯ ВИХРЯ а )6) Если мы произведем изменение единиц длины и времени, уменьшив единицу длины в т. раз, а единицу времени в Т раз, то числен„ое значение г увеличится в Л раз, численное значение 1 — в Т раз, численное значение ы — в 1!Т раз и т.
д. Поэтому в новых единицах мы будем иметь и ~2 г Г6~ — =. — ЕФ ! г(., 1Т, т Г Т Заменяя здесь й его выражением (16.5), получаем следующее тождество: Гаь Ф(г, 1, т) = (.зФ(гГ., (Т,, 1 Положим теперь Т= —, ь= —., тогда будем иметь: тт Ф(г. 1, ) = 1 Ф 1' — ', 1, 1), Д' те Ф(г,(, т)= — У( — ), Итак, Ползгая г' ч6 вычисляем: ~~ = — „— „Пс) — — „— „, У'б) = — — „„(Уб)+ Ч'6)), дй Г, Г га,. Г дй Г,, 2г' 2Г г — = — -У'6) — = — У'(1) Е дг 1 ' 1 ы -г ь ~» дг-)~= — „, !.У «)+(.У (1)!.
Составляя теперь уравнение (16.4), легко находим уравнение для функции г (6). У(!)+ !У'(!)+ 4 К(с)+(Тч Д)! =О. Его можно переписать также в форме У(1)+ 4У (!)+1 —",. (Т(1)+4У (1))=О, откуда видно, что е (Уб)+ 4У'(!)! = С. Но если считать, что у(1) и у'(1) при ";=О остаются конечными, то следует принять С = О, как это видно из предыдутцего равенства, 29' 452 движение Вязкой жидкости 1гл. и 7" (1)+ 474(!) = О. 7 (4) = — Ае где А — постоянная, подлежащая определению. Итак, сй Вычислим циркуляции> Гн по окружности радиуса )с, с центром в начале координат. По формуле Стокса мы имеем: Гл — / / ссс(8= / 2 2тгс(г=— н ! лт = — 44:АГе 4'с =4пАГ(1 — е 4" ). (16.6) л Если устремить 1 к О, то е ос тоже будет стремиться к нулю, поэтому 1ип Г, =4кАГ.
с+о Но, по условию, в начальный момент времени Гл-— — Г, следовательно, должно быть А= 4 (! 6.7) Итак, мы окончательно получаем следующее решение нашей задачи: г' 4п4с (16.8) Мы имеем далее, из равенств (16.6) и (16.7), следующее выражение для циркульции скорости по окружности радиуса с. с центром в начале координат: н (16.9) Но так как Г, = 24тго, то н 1 ю=- — 11 — е 4" /, 2:» (16. 10) если в нем положить 1=0. Итак, Интегрируя это уравнение, получим: л 2еАГ е 4'гс(г= ус о ДИФФУЗИЯ ВИХРЯ ж! Легко.
впрочем, проверить и непосредственной подстановкой, чго функция (16.10) удовлетворяет уравнению (!6.2). Очевидно палее, что при 8 — ь 0 мы имеем предельное равенство Г 11шо(г, !) = —, 4-ьо ,ак что удовлетворены и начальные условия (! 6,1), Исследуем полученное нами решение задачи о диффузии вихря. Формула (16.8) показывает, что вихрь, сосредоточенный в начальный момент времени в начале координат, с течением времени все более более расплывается. При этом видно, однако, ч4о наибольшая ш вихренность будет в том месте, где первоначально находился впхрги по мере удаления от этого места завихренность очень быстро падве~. Чтобы численно охарактеризовать расплывание вихря, найдем, как изменяется с течением времени радиус той окружности с центром в начале координат, которая содержит внутри себя половину всех вихрей, иными словами, радиус г той окружности, циркуляция по котороп равна '1ЗГ.
Формула (16.9) показывает, что г должно определяться равенством г. — 1 е 44 2 о гкуда г = 1,665'КГу!. (16. ! 1) Простое исследование 14 показывает, что завихренность в данном месте возрастает с течением времени от нуля до максимума, рваного 12„44 = — —,;, (16.
12) яе' и затем опять падает до нуля. Рассматриваемый пример является чрезвычайно характерным для гинамикн вихревого движения в вязкой жидкости. Он показывает. что основной тенденцией внутри вязкой жидкости является выравш|ззпие завихренностей различных частиц жидкости. Наоборот, мы ) видим дачее, что в соседстве с ограничивающими жидкость стенками вязкая жидкость обладзет, по сравнению с идеальной жидкостью, резко выраженной внхреобразуюшеи способностью.
Рассмотренную нами задачу можно значительно обобшить. Л именно, вмесчо того частного распределения скорости в начальный момент времени, которое дается формулами (16.1) и соответствует случаю сконцентрированного вихря, рассмотрим произвольное 14аспрезеление скорости 44 в начальный момент времени (16. 16) 44 (г, О) =- и (гр. ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОИ ЖИДКОСТИ [ГЛ. !! Начальное распределение вихря дается в этом случае формулой; 2(., О) = 2,(.) = —,' " '„',") (16.14) Но, как мы видели выше, искомая нами функция О(г, 1) удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению дц l дай дай ! — =, ди =- ч( — + — ~.
дт (,длг ду' ) ' Поэтому сумма отдельных частных решений этого уравнения тоже будет его решением. Но заданное начальное распределение вихря можно заменить бссчисленныи множеством отдельных сосредоточенных вихрей; для этого введем на плоскости цилиндрические координаты )4, Л и положим, что на элементе )74(гс дЛ плоскости находится сосредоточенный вихрь интенсивности а, (7() )7 д)7 дЛ. (16,16) Обозначим через и расстояние между точками ()7, Л) и (г, О), так что иа = )го+ га — 274г соз Л. Тогда по формуле (16.8) получим, что от вихря (16,15) в точке (г, О) в момент 1 получится завихренност4и ш Яы-г' — алг гов ' йо(Я) Я -4 — „,У)7,Р ~а(Я) Я вЂ” 4„„„) 4к и 4кт! Интегрируя это выражение по всем )9 и всем Л, мы и получим требуемое выражение вихря: Я 4.Н вЂ” алг сов Л 42 (г' Г) 4 г 7' / ыо(44) е "" 4ТГ) Я(4(Л.
(16.16) о о Но, как известно из теории бесселевых функций, мы имеем '): Яг / еан ЯЛ= 2яео( 2 г ) 2п)о(2 !)' о Поэтому 92(г, 1) = — е 4' / Оо()с)е ~"'7о( — ) тггй. (16.17) о ') См., например, С м и р н о в В. И., Курс высшей ма4ематию4, 3 (1939), стр. 679 и 666, ЛИФФМЗИЯ ВИХРЯ 4 !з! 'рак как п(г, !) связано с Ы(г, т) формулой Формулы (16.17) и (16.18) полностью решают поставленную нами задачу о плоском движении вязкой жидкости, в котором все частицы двигзются по концентрическим окружностяи. Рассмотрим теперь два конкретных примерз.
Примем сначала, что в начальный момент времени взвихренность равна нулю всюду, кроме круга радиуса а с центром в начале координат, в точках которого завихренность имеет постоянное значение Яз. Мы должны, таким образом, принять: г?з()с) = сопя!. = йз для О ( й ( а, о,(д) =о » )с) а. (16.19) Ясно, что чы получили задачу о диффузии вихря конечных размеров, интенсивность этого вихря равна, очевидно, Р паз2 о. (16. 20) Применяя формулу (16.17), мы наидбм распределение вихрей в любой следующии моиент времени: А" 42 (г Г) — — 4е 4И ! е 4и7 ! ~~ 1)~с(77, (16.2!) о Преобразуем эту формулу к другому виду, более удобному для численных вычислений. Введем прежде вссго безразмерные переменные, полагая лз 441 г' /!4 —,, =Р.
—,-„7=(, 44г ' 4ну тогда будем иметь й(г, !)= осе-е ~ е гуо(2 !' рч)г(ч. о (! 6.22) то для определения скорости о отдельных жидких частиц находим рзвенство: диоеазия вихря 457 а !61 так как подынтегральная функция голоморфна внутри окружности 1„. Р(ы имеем, далее, на ОкРУжности 1е Разложение иа а=1 1 и и' 1 1 ! и — р р р' р' р и 1 —— Р и поэтому т'и= ут л=! Но по той же основной формуле теории бесселевых функций мы имеем г.
— / ил-'е ' г(и=(! ) ир) У а(2!Ргир)=( — ю)/ир) .Iл(27'ргар). Вводя, далее, функции Бесселя с мнимым аргументом 1 Ра (з) = — lа ((л), !е легко найдем, что ие Р- 2, / ил 'а "г(и=(р'ир) ра(2)lир). Итак, Теперь по формулам (16.23) и (16,24) легко получим первую нуж. ную нам формулу: й (г, р)=Яеа-Р-'~~)~~ ~ — ') а I (2 )Р ир). л=! (16.25! ра ч Р + + ''' и из из ''' и а=о 1 1 — + и — р и Р ! —— и Возьмем теперь в формуле (16.23) радиус окружности 1е превосходягцим р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
