Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 69
Текст из файла (страница 69)
= х + (у, причвм Г есть шаркуляции скорости как по окружности Сп тзк и по окружности Са. Вводя полярные координаты г и 6, будем иметь: л = ге'; ы = — — 1п г+ С. и. 2в Граничные условия ф=. У при Ф= — 0» г'=г,, определяют пам Г и С: 2»(г Г= 1пг,— 1пг, ' Следовательно, мы получаем, что и)п г, 1п г, — 1а г, ' 1пг,— 1пг о =- — У 1п г, — 1п г, (13. 6) и что сила трения со стороны жидкости па подвижный цилиндр, отнесанная к единице длины, равна 2»ни (1 3.7) 3нак минус берется потому что циркуляция скорости по контуру Сп пробегаемому по часовой стрелке, равна — Г. Из формулы (13.7) видно, что при заданном диаметре внешнего цилиндра сила трения будет тем У больше, чем уже зазор между цнлинд- В рами, В качестве второго примера возьмйм л' В' В с л движение пластинки шириной 2с = С'С внутри эллиптического цилиндра АВА'В'. В полуосями которого являются а и К В' а фокусы лежат как раз в точках С и С' (рис 156), Таким образом, здесь Ст есть Р с.
15Ц есть, л дважды пробегаемый отрезок СС', а С 2 сть эллипс АВА'В'. При этом эллиптический цилиндр мы считаем непа подвижным, а пластинку СС' предполагаем перемещающейся парал- лельно оси Оа со скоростью у. движение Вязког! жидкости !гл И Конформное отображение области о на кольцо ! <,"".( < й плоскости ч даатся в данном случае, как известно, формулой причдм 2~ +1~) а' 2( Р) так что а-1-Ь а+Ь / а+Ь с Ьгач Ьз г а — Ь Мы можем теперь применить формулы (13.6) и (13.7), в которых надо припять г, = 1, ге = !с, г = !ч!. В результате для скорости вязкой жидкости получаем общее выражение б' Й о =- — !и !и гс ! С ! ' (13.8) а для силы трения, испытываемой пластинкой СС' (с обеих ее сторон) и отнесенной к единице этой пластинки: (13.9) П. — =/= О.
В этом случае скорость о удовлетворяет уравнению др да Пуассона д'е дго до= — -+ —,= — А, длу дуа (! 3.10) если для краткости ввести обозначение й= — —— 1 др р,— ре ид,= и! (!3.1!) (13.12) о=0 на С. Мы имеем в этом случае обобщение течения Пуазейля на случай трубы произвольного сечения. К задаче решения уравнения (13.10) при граничном условии (13.12) приводится также задача теории упру~ости о кручении призмы, а также задача о плоском движении идеальной несжимаемой где р, — ра есть падение давления на отрезке длины 1, расположенном параллельно оси Ог. Наиболее важным случаем этого типа является вопрос о движении вязкои жидкости в неподвижной цилиндрической трубе с образующими, параллельными оси Ог. Если поперечное сечение этой трубы есть кривая С, то граничным условием для искомой функции о будет служить нгстлциони иоз одиомв ноз течения 437 лишкостн в области 5, контур которой С вращается с постоянной угловой скоростью и, наконец, залачз о прогибе мембраны под действием равномерной нагрузки.
В связи 'с этим задача интегрирования Уравнения (13.10) при граничном условии (13.12) решена для весьма большого числа контуров' ). Мы огрюпшпмся одним простым примером. А именно, легко изйти решение )равнения (13.10) в виде полипома второй степени и (х, у) = Ахз+ Вчз+ О Достгмочпо для этого припять А+В= — —.
(13.13) условие (!3.12) показывает, что уравнением контура С является А ха+ В)д + Е) =- О. Теперь легко добиться того, чтобы контур С оказался контуром эжлипса (!3А4) Для этого достаточно принять чтобы удовлетворить также и условию (!2.13), нужно принять !д = Ьа'Ь' (р, — р,) а'Ь' 2(а'+ аз) 2!з! (а'+ Ь') и, следовательно, Итак, функция (13,15) решает задачу о ламинарном течении вязкой я<пакости через трубу эллиптического сечения.
Полагая а = Ь. мы вновь восстановим решение задачи о течении Пуазейля. Простое вычисление дает для объдма протекающей в единицу времени через трубу жидкости выражение: (р, — рг) а'Ь' 13.16 4н! а'+Ь' ' ( ) 5 14. Нестационарное одномерное течение.
Рассмотрим теперь случай лвижепия вязкой жидкости более общий, чем тот, с которым мы имели дело в предыдущем параграфе, а именно отбросим услоч.!е стационарности. ') См., напоппер, обзорную ста~ью Ровс в! ТЛ., В!зиег!ие 1бзппяеп Тогаюпзргошегпз, Ез. !. а!трем.
Мань п. МесЬ., 1 (1921), овр. 312 — 328. 438 двнжаннс Вязког! жндкост!! 1гл. и Итак, допустим, что при отсутствии внешних движение вязкой несжнмземой жидкости сил происходит пзраллельно оси Ох о =.о =О. У показывает, что о, не зависит от х, т. е, Уравнение неразрывности пл-=о(у, а, Г). Из последних уравнений видно, что р ззвисит только от х и Е Но тогда в первом уравнении левая часть не зависит от у и г, а правая часть не зависит от лн следовательно, как левая, так и правая части являются функциями одного только 1: — — =- у(() 1 др а дл Если г" (Г) =О, уравнение для о принимает впд: дг = ч '1 1 г + ) ! ) (14. 3) Если же г'(г) 4= О, то введам вместо о новую функцию ен положив о=о+~ у(г) Ж; 0 тогда др дг +у() и, следовательно, о будет удовлетворять тому же уравнению (14.3); правда, граничные условия при этом несколько изменяются.
Итак. во всех случаях нестационарного одномерного течения дело сводится к интегрированию уравнения (14.3). Это уравнение есть основное уравнение теории теплопроводности; известно решение большого числа частных задач, связанных с этим уравнением, что даат возможность определить большое число соответствующих течений вязкой жидкости. Конечно, при решении уравнения (14.3) необходимо также учитывать соответствующие граничные и начальные условии; последние сводятся к заданию функции о для начального момента времени г=О. Если и граничные и начальные условия пе зависят от координаты у, то и решение и уравнения (14.3) не будет зависеть от у, а тогда функция п(г, г) будет удовлетворять уравнению теплопроводности для линейного случая (14.5) Уравнения гидромеханики поэтому сильно упрощаются: 1 др Г дгв дав! де др др (14.1) р дл (ду' да') дГ ' ду д- движение вязкое.
жидкости 1гд. И Но функция о(е, 1) должна удовлетворять уравнению (!4.5). Составляя до)д1, до/д», дто)дгт, находим: ьв Π— — У(Е) — — /' (Е) — =- — —, 1/6) + 2-;/' 6)1, ег 2)/ г )/.г .и 2 у'л де (),, 2е — = =У'6) ее учТ ==-Г(Е). — +=У" (Е) ~ — > = . 1/'(Е)+2Е/" 6)1. Поэтому уравнение (14,5) дает нам равенство — 2 1/ (Е) + 2ЕУ' 6)1 = 2 1/' 6) + 2ЕУ" 6)1; поделив обе части этого равенства на у'Е, получим ',, /(Е)+~/Е/(Е)+4~ ', /'(Е)+ й/л(Е)~=О, — „, 1'у' Е / (Е)1+ 4 — „, ~ 1/', /' (Е)~ = О, ')/Е 1/ (Е) + 4/' 6)] = С. нли откуда 4/' (Е) + .~ (Е) = О. Интегрирование этого уравнения дает нам / (Е) Ае где А есть некоторая численная постоянная. Итак, А~) о(г, г) = — е у' и Чтобы найти значение постоянной А, составим / О 1 4~! о(е 1)фе е 4 ! п~е у ~г Но известно, что е- 'г(х — — 1/и.
(14.8) Но при ." '= — 0 левая часть этого равенства обращается в нуль (если считать / (0) и /'(0) ограниченными) и, следовательно, С = О. Итак, 441 нестлнионлРное ОднОмеРнОе течение 1 Н1 Полагаясь здесь 2 х=— 2 т'че получим, что = — е яя стг те,"— 2)'.д Таяны образом, имеем: ~ о (г, () аг = 2АЯ "у' к, в частности, 11ш ~ о (г, () с(г = 2А('„1 ~Я 1-+О по по условию (14.7) левая часть должна равняться Я, поэтому необходимо взять 1 А= 2!, а мы окончательно находим следующее выражение для еп (14.10) о(г, т)= е 2 $' ет1 Нетрулно теперь разобрать и общий случай начального задания ~14.6). В самом деле, уравнение (14.5) линейно, поэтому сумма частных его решений тоже будет решением этого уравнения. Разобьем Реперь всю ось Ог на малые участки и, рассматривая участок ч., а + ~(а, о(г, 0)=0 вне участка а(г(а+сЬ, о(г, О)=-тт(а) на участке а (г (а-+сЬ.
Ясно, что для величины Я мы получаем в этом случае значение й (г) с(г = й (а) с(ш !1оэтому рассматриваемый элемент ~(х даат, согласно формуле ( 4 10), в которой надо, очевидно, заменить г на г — а, для функции (14, 442 дВижение ВязкОЙ ж!Идкости !гл. 4! тогда интеграл примет внд: о(г, г)=- = / е-ОР(2+2",)/ г)4)ь. (14.12) !У Положив теперь 2=0, увидим, что вследствие равенства (!4.8) о(г, О) =-= — ! е-ЙГ(г)г(г = 1'(г), /' — у=,/ что и требовалось доказать. Рассмотрим теперь два простых примера применения полученной формулы.
Пусть в начальный момент распределение скорости имеет следующий вид: оз, если г) О, о (г, О) = (!4.13) так что плоскость Оху является в начальный момент поверхностью разрыва скорости. Можно сказать, что в начальный момент вдоль плоскости Оху расположен вихревой слой. Посмотрим, что будет происходить с этим вихревым слоем с течением времени. Применяя формулу (!4.!2) к данному случаю, получим: 2! 4 2У7 'а р"-,„д / Е Иг(ь", 2У7 о(г, !) следуюшее выражение: !а-ан о(г, !) = е аи Г(к) лги. 2 у'пн Интегрируя полученное выражение по всем элементам лгз, мы и найдем требуемое выражение для функции о(г, !), уловлетворяющей уравнению (14.5) и начальному условию (!4.6): (г. ~) =- — ! " ~ ( ) !«. 2ГВа! l Можно, впрочем, если не считать предыдущий вывод достаточно строгим, непосредственной проверкой показать, что функция (14.1!) удовлетворяет как уравнению (14 5), так и начальному условию (14.6).
Покажем, например, посдеднее. Для этого сделаем в интеграле (14.11) замену переменной, положив 2 = г+ 2", ф' 22, нестАционАРное ОднОмеРнОе тгчение а Н1 ибо -о„~ — ~ е — ' й".. Точно так же поэтомУ полУчаем окончательную фор, улу к 2И 2 о(г ~)== е ' лк,.
уг, й (14, 14) Функция к Ф(х)= — ~ е-Рлз„ (14. 15) играющая большую роль в теории вероятностей, носит название функции Крампа или интеграла вероятности. Для этой функции имеются таблицы. Из формулы (14.8) следует, что Ф ( ОО ) = 1, с другой стороны, ясно, что Ф(0) =О. Итак, (14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
