Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 68
Текст из файла (страница 68)
иа' 8» ! 2 (1 2,9) Определим, наконец, силу трения то, действующую на стенки трубки. Для этого вычислим по формуле (5.15) значение величины (Р— РИ г тогда ясно, что функция и(г, 8) долвгна удовлетворять уравнению ТЕЧЕНИЕ ПКЛЗЕИЛЯ 431 Ь м) при г=а и изменим знак (р„дайг силу, действующую иа элементы жидкости; иа степку же будет действовать тз же сила, ио в прямо прогивоположиом иаправлеиии); в результате получим: (р, — р,)а 4И хо= 21 В опытах обычно определяется величииа р, — р, =ар.
Поэтому решим уравнения (12.8) и (12.9) относительно Ьр: 8я10 змеи р — р =ар =,„-' ар= — ' (! 2.11) йуы получаем, таким образом, закон Гагена — Пуазейля: При ла.минорном течении падение давления пропорционально секундно,иу обзелеу протекаюгцей окидности и длине трубы и обратно пропорционально четвертой степени радиуса трубы. Нлп иначе: падение давления пропорционально средней скорости иеечения и длине трубы и обратно пропорционально квадрату радиуса трубы.
Только что выведеииые соопюшеиия были эксперимеигальио иайдеиы иезависимо друг от друга Г. Гагеноя а 1839 г. и Пуазейлеж (Ро1зецй!е) в 1840 — !841 гг. Мы имеем, таким образом, в этом случае блестящее совпадение результатов опыта с выводами теории. В заключение настоящего параграфа остановимся еще иа вопросе о пределах примеиямости полученного нами теоретически течения Пуазейля. Мы уже несколько раз упомииали, что существуют две формы течений жидкости: ламииариая и турбулептиая.
Ламииариая форма течения характеризуется правильным движением частиц жидкости, как, например, это имеет место в течении Пуазейля. Напротив, в турбулентном движении частицы двигаются весьма беспорядочным образом, так что при турбулентном движении в трубе иа главное движение в направлении оси трубы излагаются беспорядочные пульсации движеиия как в направлении оси трубы, так и перпеидикулярио к этому направлению.
Наглядно можно показать различие этих двух форм течений, если ввести в некотором месте оси трубы иебольшое количество окрашивзющей субстанции; тогда при ламииариой форме течения мы увидим одну резко окрашенную стру.йку жидкости, в то время как при турбулентной форме течения вся жидкость окажется окрашенной, что показывает иа сильиое перемешивапие частиц жидкости. Мы уже упоминали выше, что закон Гагеиа — Пуазейля, выРажающийся формулами (12.11), для турбулентной формы течения перестает иметь силу. Таким образом, закон сопротивления при переходе от лами~арпой формы течения к турбулентной резко меняется. Это изменеипе закона сопротивления является, пожалуй, наиболее важным критерием дла различения лампиариой формы течения от турбулеитцой, 432 дВижение Вязкоп жидкости 1Гл И Осборн Рейнольдс показал, что при движении воды в трубе ламннарный или турбулентный характер течения аавасит от значения соответствующего числа Рейнольдса й= — ", .
(12.!2) о„= о = О, о, = о (х, у, г). Считая внешние силы отсутствующими и повторяя рассуждения начала й 11, мы легко придем к выводу, что др де — = сопя!. и что функция о зависит только от х и у и удовлетворяет уравнению дец дье 1 др до= — + дхе дуа и де ' (! 3.1) Мы различим теперь два случая, смотря по тому, обращается ли др)дз в нуль или нет. 1. др/де = О. В атом случае скорость о удовлетворяет уравнению Лапласа дье д'и Ьо =- д, + ) е — —. О. х у (13. 2) Если число Рейнольдса меньше некоторого критического знзчения (с„, то течение будет ламинарным, в противном случае оно будет турбулентным.
Позднейшие исследования внесли в зто положение целый ряд уточнений, о которых будет идти речь в главе о турбулентности, но сейчас для нас только что приведЕнная грубая формулировка условий перехода ламинарного течения в турбулентное будет вполне достаточна. Итак, движение жидкости будет лзминарным, если илн скорости течения достаточно малы, или диаметр трубы достаточно мал, или жидкость достаточно вязка.
Опыты показывают, что для течений в цилиндрических трубах критическое число Рейнольдса равняется приблизительно 1000 †11. В качестве примера рассмотрим течение воды в трубе диаметра 1 см. Так как ч = 0,018 см'(сен, а = О,б см, то, принимая (с„ = 1000, найдем, что движение будет ламинариым при о ( 36 см1сен. При диаметре трубы в 1 мм движение остается ламинарным при скорости о ( 3,8 мгсен, ф 13. Общий случай стационарного одномерного течения.
В двух предыдуших параграфах мы рассмотрели наиболее важные случаи стационарных одномерных течений. Рассмотрим теперь общий случай стационарного течения. Допустим, что движение стационарно и происходит вдоль оси Од, так что 4 М1 ОБЩИЙ СЛУЧАИ СТАЦИОНАРНОГО ОДНОМЕРНОГО ТЕЧЕНИЯ 433 Рассмотрим теперь вопрос о граничных условиях. Ясно, что в данном случае границами жидкости могут служить только цилиндры образующими, параллельными оси Ог, которые могут оставаться и~подвижными или перемешаться параллельно оси Ог с постоянной скоростью, Пусть, например, рассматривается дви.кение жидкости между двумя цилиндрами, сечения которых плоскостью Оху суть кривые С, и С,, охватывающие одна другую (рис. 155).
Пусть первый цилиндр перемещается параллельно оси Ог со скоростью ои а второй со скоростью о . В этом случае граничные условия, которым должна удовлетворять гармоническая функция О, будут: и=о, на Си (1 3.3) о=от ъ Са. Но ~орда ясно, что рассматриваемая задача сразу может быть сведена к эквивалентной задаче о плоском безвихревом 165 движении несжимаемой жидкостк. В самом деле, рассмотрим такое плоское течение жидкости в области 5, расположенной между контурами С, и С,, причем потребуем, чтобы сами контуры С, и С, были бы линиями тока этого течения и ччобы на контуре С, значение функц|н1 тока равнялось бы ОР а на контуре С, равнялось бы о,. Если комплексный потенциал этого вспомогательного течения обозначить через то ясно, что ф тоже должна удовлетворять как уравнению Лапласа лиф р" Ьф= —,', +,'', =О, х у так и тем же граничным условиям, что и функция еи ф=п, на Си ф о2 р Са Но ясно, что при этих условиях функции ф(~, у) н о(х, у) лолжны совпадать.
Таким образом, рассматриваемый случай стационарного одномерного движения вязкой жидкости полностью свелся хорошо изученной ранее задаче о безвихревом движении несжимаемой жидкости. Зту анттогию можно продотжить еще дачьше Известно что для плоских движений несжимаемой жидкости важную роль играет ионщтие циркуляции скорости. Посмотрим, что является аналогом ав 1иире1ннн аан ~инренеааннна, н, И ЛВижение Вязкой жидкости 434 1гл.
И циркуляции скорости для рассматриваемого случзя двнмгения вяакой жидкости. Подсчитаем для этого силу трения, которая действует на один из ограничивающих цилиндров, например второй, со стороны нгндкости. Достаточно рассмотреть часть поверхности это~о цилиндра, заключенную между плоскостью Оху и параллельной плоскостью, отстоящей от плоскости Оху на расстоянии, равном единице длины. Рассмотрим элемент дв контура Сг и обозначим через п направление внутренней (т. е.
направленной внутрь области Б) нормали. Тогда на элемент бв рассматриваемой части поверхности будет действовать сила трения, равная до -.„,б5= р — г(в, а на всю рассматриваемую часть цилиндра будет действовать сила треннв Г до Т вЂ” — Р У вЂ” ав. в' дп (13.4) са Переходя к соответствующему плоскому течению, получим для силы трения выражение т=р1~ — де б.
Но, как известно: ду дя,Р д, с где Г есть циркуляция скорости по контуру С. Следовательно, мы находим, что т= РГЕ, (! 3.5) ') см. также Вг!!1оч1п м., 1есопз зцг !а г!Всоыге дев 1!це1дев е! дев еаг, 1 (1907), стр. б! — 73, Рагм, где Г, есть циркуляция скорости по контуру С,. Итак, си,га трения,, испытываемая каким-либо ограничиваюгцим цилиндрол1 и отнесенная, к единице длины впгого цилиндра, равняеася произведению новффициенпгп трения и на циркуляцию скорости по контуру поперечного сечения цилиндра в соотвеасавугогцем плоском течении, причем контур пробегается в положипгельнолс направлении, т.
е. тан, чао обласпгь при обходе этого контура остаются слева. Теперь остановимся на примерах '). В качестве первого возьмЕм следующий пример. Пусть С, и С,— окружности радиусов г, и г, с общим центром в начале координат, и пусть о1 =(7, о,=О, так 13 Оагцип случлп стлционляного Одномегного течения 435 что имеем дело со скольжением внутреннего цилиндра внутри дру„ го неподвижного цилиндра. Известно, что безвихревое течение между двумя окружностями определяется комплексным потенциалом г ев = —. 1п х + с оп з1., 2гд где мы вводим, как обычно это делается в теории плоского течения, комплексную координату т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
