Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Вместо уравнения (37.27) получим Р— ) — Аа 2 Л1в0 2 $2 — 1 ( ч+2! 221' х 2 — — Р(Р 1) ~Р— — (к~ А' ч+2 1 ч+2) ~ х(ч+2) (37,46) Тогда 2 х' М= — —, ч+2 и мы получим 4 . А2 1 8(х — 1)» (х+1)(ч(-2) ' ( ) (х+1)'(ч+2) ' х — 1 8 )Т х — 1 '(') =~~. (37.47) Параметр () определяется вновь из условия сохранения полной энергии (формула типа (37.34)), которое в цилиндрическом случае привелет к соотношению к» кч ./' — '"' 2 — 2ихс(х+ ~ Р 2ях22(х=Е =сопв1., (37.48) ,/ х — 1 — а— а а в сферическом случае— кч — 4ях 2(х+7 — 4ихтчгх =Е = сова(.
2 / х 1 — О— е о (37, 49) Точное решение (37.45), удовлетворяющее (37.47), имеет вид , '- "(.+ -') А2— (37.50) х(ч+2) Заметим теперь, что в формуле (37.9), дающей условие на поверх. ности разрыва, о' имеет смысл нормальной к поверхности разрыва скорости (см. 8 2 этой главы). Поэтому при отсутствии противо- давления мы опять можем применить краевые условия (37.14) — (37.16), причвм под о' можем разуметь во всех случаях величину и после скачка.
Вновь считаем, что на скачке ).=1, так что закон движения х*(Г) поверхности скачка булет иметь вид: 2 х* (г) = ь '+'-' г ' ' ' . а зг! одностогоннин взвыв 857 Внося А' из (37.50) в уравнение (37.44), легко нриведвм последнее к виду и !и ) 2 (х — 1) (ч + 2) 1 лктд !д «+2(х — 1) 2 х(ч+ 2) 1 х' (»' + 4) — х (Зчв — 8ч + 4) + 4ч (ч — 2) 2)ч + 2 (х — !)) х — 1 (37.51) Р~1+ .) — ! 2 Наконец, комбинируя (37А6) и (37.50), будем иметь Н !пВ 2 2(х — 1)+ чл 1 х 1 др !д ч+2(х — 1) 2 + 2 — х 2 + д(2+ч) х (ч + 2) х.
1 чй(чв+4) — х(Зчв — 8ч+4)+4ч(ч — 2) 1 + 2(х — 2) ч+ 2(х — 1) У~1+ — ", '.) — 1 (37,52) Элементарные квадратуры завершают решение задачи. Г!остоянная Ь, как и прежде. может быть представлена в виде Ь=аВе/р,, причем и 0,8 для цилиндрического случая и и 1,175 для случая сфе- рического. Особенностью всех приведенных адесь точных решений является то, что они дают в центре (х = О) значения р = О, Т = ж (р + 0), что следует непосредственно нз вида соответствующих формул ( 2 особая точка К=, А =со). х(ч+ 2) ' Решение Седова хорошо согласуется с экспериментом.
В случае, когда противодавлением нельзя пренебречь н приходится пользо- ваться точными формулами (37.9) — (37.11), автомодельного реше- ния больше не существует. Случай этот можно рассчитать численно, построив соответствующие конечно-разностные уравнения и выбрав расчЕтную схему. В качестве примера приведем путь решения полной аадачи для случая сферической симметрии, предложенный в работе Д. Е.
Охоцнмского, И. Л. Кондрашевой, В. П. Власовой и Р. К. Казаковой' ). В качестве независимых переменных введем лагранжевы коорди- наты: т — время и 1 — расстояние от начальной точки взрыва. Уравнение (37АО) примет теперь простой вид — =О или Ь=Ь($), да (37.53) Ч о*,„„„,в д. в., к,,в, „к. д., в „, в. и., Казакова Р. к., Расчет точечного взрыва с учетом противодавлеиия, труды Матем, нн-та им. В.
Л. Стеклова, 1957. теогети шскиз основы газовом дннлмнкп 1гл. г 358 Вид функции Ь (г) надлежит определить. Вместо уравнения (37.41) имеем уравнение неразрывности в лаграпжевых координатах: дх Р ч д1 х' г ' где, как и прежде, рз — начальная плогность среды, предползгаемая постоянной, Выразив р через а и Ь, получим 2 (37,54) При этом дх — = и. дт (37.
55) Наконец, уравнение (37.42) может быть приведено к виду (37.57) (37.58) ( — ) = ( — ) ( — — ) (1+ — — ) . (37.59) Выберем теперь начальные данные. Мы примем, что для малого промежутка времени от начала взрыва до некоторого момента те процесс можно считать автомодельным, т. е. можно пренебречь противодавлением. Решение для такого движения нами уже изложено. Тогда нам предстоит решить следующую задачу. Найти гидродинамические элементы в части плоскости (1, т), ограниченной неизвестной, подлежащей определению, линией ВС (см. рис, 148), изображающей закон движения ударной волны (на этой линни догокны удовлетворяться условия (37.57) — (37.59) ), отрезком прямой АВ (т = -,) (здесь все искомые функции нам известны) и осью симметрии,:=О (здесь и = О = х).
Прежде чем приступить к изложению схемы В качестве искомых функций фигурируют и(г, т), а(ч, т), х(е, т), Ь(1). Движение должно сопрягаться с покоем путем перехода через поверхность разрыва; при этом должны выполняться условия (37.9), (37.10), (37.11). С помощью и, а, Ь мы представим этн условия в виде: ОднООТОРОпниг! ВзРыз а 10 рс!пения задачи, рассмотрим поведение искомых функций на кначаль„ом» отреаке АВ. Для этого обратимся к формулам (37.50), (37.51), (37.52) при 7==3.
При х= 0 (т. е, 1.=0) автомогельные решения ;1я и и й обладают особенностью. Последняя отвзчает значению 2 — т. е. при 7 = — 3 У = †. В силу (37.51) главные "775(7+2) ' ' ' 5» ' чзсгп Г и /. будут связзны соогноШ;НИ!и .-12 1«-1! =), 5-н!»21 ), з!..-н бя / 277! пли, по (37.43), О (У вЂ” —,1= х'-1 ба~ (прн закрепленном т). Но тогда, по (37 50), имеем О (Л2) = 2 ~ Š— = О (У вЂ” —,— 11 .= х ' ' и, по Рнс. 14а. 57./ З вЂ” 2 1 (37.52), 0(0)=0(1/ — — ! " =х ' ' '".
Обрзшаясь теперь 5я) к (37,54) и (37.55), мы можем опрелелить характер зависимости Ь от 1 нз отрезке АВ. Именно, привлекая (37.42), имеем сперва 2 З» — 2 3 2 »1 3 0(~1)=х" !» '!" =х '" '; О(аа)=-х " ' =х Таким образом, по (37.54), Х ! з „, э »-1-1 72 — 7- — — С вЂ” ',х»-') (х '-') = С ах где С вЂ” некоторая постоянная. Отсюда получим -1 х = сопз1.1 Определив, таким образом, асимптотнческую зависимость х от з 1я точек, прилегающих к центру (отрезок ЛВ), мы найдем, далее, ч!'о вблизи центра з -1 Ь = — сопз1.-, "', а'=- сопз(.с '., и = сопз(.1 ' . (37.60) Подготовим теперь нашу систему уравнений для расчета, Заметим сперва, что уравнение (37.55), если его продифференцнровать по 1 и привлечь (37.54), приведет к соотношению: (37.
61) 360 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ (гл, ! Будем теперь искать линейные комбинации р и %' от наших функ цнй а и и по формулам: Введем еще безразмерную координату Е' = Е)Еа и безразмерное время т/та= 1', причем примем Еа — =а!, т! что же до выбора Ем то ев мы определим из рассмотрении полных энергий — формулы (37А9). Можно положить 1 1 р!а — Я т е Š— Яа)т 2'а где Е=аЕе, а а — параметр, введенный выше (и=!,175 при и=!,4).
Складывая уравнения (37.56! и (37.6!), получим после простых преобразований дт дт (37.63) 2 где ! *-1 ,! (,) ( ) =(, ) ~ ('Р !Ег)~ $/ — ' (37 64) е — 1 та — 'чт! / а (37.65) м (е — ч) (3 7. 66) 4 а ' Вычитая из (37.6!) уравнение (37.56), получим аналогичным образом дч' дФ" д а1 (37.67) Наконец, уравнение (37.54) примет вид Теперь искомыми функциями будут !Е, !е, Ь, х и для их определения служат четыре уравнения: (37,63), (37.67), (37.68) и (37.53).
Краевые условия (37.53), (37.57) запишутся теперь в виде: 4 !А! аа! /а, «+ ! !! а! !Ч 1! ~/ (37.69) 4 (~ Р).1 ~ ) ~ — ! — — ) . (37.70) Третье условие, (37.59), остается без изменения. одностогоннип взвыв л зи Опишем схему численного интегрирования, составленную упомянутыми выше авторами применительно к счету на электронной вычислительной машине. Предварительно сделаем еще одно замечание. Определяя функции !7 и Чг, мы имели дело с безразмерными функпиями а/аз, и/аз, Ь/Ь;! сами функции 7, %' тоже безразмерны. Б кзчестве $' и х' входят безразмерные величины. Поэтому все наши уравнения и краевые условия будут носить универсальный хзрактер.
Приступая к численному интегрированию, рассмотрим плоскость (1', т') (рис. 149). Разделим отрезок на равные интервалы б! и проведем через точки деления прямые с' = сопв1. Шаг по времени будем выбирать так, чтобы было йт = М вЂ” ', (37.71) И' Я где Лг — скорость перемещения ударной волны. г Таким образом, шаг по времени будет меняться, в то время как шаг по остаатся одним и тем же. Перенумеруем горизонталь! ные линии т'=сопз1., начиная с прямой АВ; пере.
нумеруем вертикальные линии с' = сопя(., начиная с линии Е' = О. Будем обозначать аначе- ния какой-то функции, например р, в узлах нашей сетки путем постановки номеров прямых, проходящих через эту точку. Так, л',.' означает, что л7 берется на пересечении !'-й вертикальной линии и л-й горизонтальной. Предполагаем, что нам известны значения всех функций (в том числе и М/а!) вплоть до и-й горизонтальной линии. Как найти значения наших величин на и+-1-й горизонтальной линии? Заменим сперва в уравнениях (37.68), (37.67) частные производ- ные конечными разностями по формулам: Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
