Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 51
Текст из файла (страница 51)
ростью поверхность сильного разрыва, то после прохождения ее среда получит в разных точках разную энтропию. ф 35. Случай постоянной энтропии. Движение поршня в неограниченной трубе. Точные решения. Наличие отражающей стенки. Предположим сперва, что 0(() = сопз1. Уравнения для характеристик ф 32) примут тогда особенно простой виш здесь Ф(с(с=О, и мы можем проинтегрировать уравнение(32.9), Получим вдоль характеристик: 2 о 5 — а = — сопз1. к- я 332 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ !ГЛ. ! тангенс которого есть +(х — 1)/2 (рис. 136). Будем писать для характеристик первого семейства О -+ а=2),, 2 я — 1 а для второго 2 Π— — — — а = 2(л к я ! (35.2) дан~вась же вдоль М,Р, мы пойдем в (и, а) вдоль известной прямой 2 Ок — (ок)м, — — — (а — ам,) =- О.
.к Рис. !37. Точка Р' пересечения этих прямых и даст скоРость ск и а в Р. Операция р. На некоторой нривой 7., не являющейся характеристикой и лежащей в плоскости (х, Г), даны значения Ок. В точке М, расположенной близ кривой, но вне еа, известны О„и а. Надо найти обе скорости в точке Р пересечения с кривой 7. характеристики, проходящей через М (рис. 137). Чтобы это сделать, обра~имся к плоскости (Ок, а) и, отметив в ней точку М', координаты которой суть скорости в точке М, проведем через М' нрямолиней- (наше семейство прямых является аналогом семейства эпициклоид плоской беззихревой задачи).
Аналогично тому, как это было в Ча 11, мы можем п здесь наметить две основные операпии, назовем их а и 3. Олерация и. В двух рчсноложенных близко друг от друга точках Л1, н Мэ плов скости (х, Г) даньч значения ч „ О н а. Найти Ок и а в точке Р Рнс. !36 пересечения характеристик рез- ных семейств, выходящих из М, и М соответственно. Эта операция выполняегся сразу, если отметим точки М, и М,' плоскости (Ок, а) с координатами, равнь,мн скоростям в точках М, и Ма соответственно; действительно, заметим, что, перемещаясь в плоскости по харантернстике М,Р, — пусть для конкретности это будет характеристика первого семейства, лчы будем двигаться в плосности (Ок, а) по известной прямолинейной харантеристике первого семейства.
проходящей через М,: 2 о — (Ок)м, + — (а — а.и ) = — О; $ ай СЛ 'Чдй ПОСтОЯННОй Эит! ОПИИ. ДВИжяинз ПОРШНЯ 333 п,ю характеристику (того же семейства, что и МР) и на ней оты- щем точку Р', в которой и равно известному значению величины и„ в Р, Ордината точки Р'(о, а) и даст нам скорость звука в Р'. Практически мы сможем провести наши операции точно лишь наполовину (так же как зто было в 8 11): именно, мы можем то шо ,!айти величины и,. и а в точке Р' характеристики в плоскости (в., а), но не сможем определить точно местонахождение точки Р, .Г' ибо вид характеристик плоскости (х, т) неизвестен. Можно, однако, по формуле (33.8) найти углы касательных к характеристикам в точ- ках М! и М2 (или М), провести зти касательные, найти пер сече- ние Р этих отрезков прямых и считать, что точке Р как раз и от- вечаег найденная точка Р' плоскости (пх, а).
Ошибка при этом тем меньше, чем ближе точки Мп М2 друг к другу или чем ближе к кривой !'. точка М. Мы можем, так жс как и в 8 11, дать оценку погрепп!ости, заключая неизвестные нам дуги характеристик в из- вестные угл!гп мы сможем, в случае однозначной аависимости между !очками плоскости (пх, а) и (х, (), опираясь на легко доказываемую моцотопность изменения при перемещении вдоль характеристики угла наклона касательной к характеристике, заключить, что харак- теристика М,Р, например (операция а), лежит внутри угла между огрезком М!Рь касательной к характеристике в М, (находящейся по формуле (33.8)) и отрезком М!Р"*, параллельным касательной к характеристике М,Р в точке Р (наклон отрезка М,Р найдатся по (33.8), так как скорости в неизвестной точке Р нам точно из- вес!пы — зто координаты Р').
Два слова об определении величины Е Если нам иавестно в точках М, и Ма, то, чтобы найти $ в Р, пало обратиться к фор- мулам (33.11), (33,13): 2 е! а:- .-= -1- —.-=-: ас -' а"-', Зная ", в точке М, или М,, можем найти там аа(8) и таким образом найти гl'-(гй. Остается написать приращение: ': = (аа -! '-! ).,~ 2 .1- 1 ) если двигзться по М,Р или Ь"; = — ~а *+! а ! /м,Ш, если двигспьса по М,Р, пРичем пеРвый Раз а!= гр — (ме а во втоРой Раз дг=-гр — тм.
Переходя к конкретным задачам, остановимся сперва на одном ваяююм частном случае, сразу же допускающем сведение задачи ог!ыкновенным дифференциальным уравнениям. Пусть движение гзоквтичаскиг основы газовом динмгики !гл. ! наше таково, что в плоскости (х, () сушествует одна характеристика А, во всех точках которой как ок, так и а сохраняют постоянное значение. Эга характеристика А будет то~да прямой линией (вследствие (33,8) влоль неа будет г(х(г!!=сопя!.); пусть для конкретности Л есть характеристика первого семействз. Рассмотрим теперь характеристики второго семейства; (ч, Ц, ... Пусть они пересекают Л в точках Л!и Л!и ... соответственно: вдоль линии Ь, будет, по (35.2), 2 ту — — - — а.= 28; х 1 вдоль (.,: 2 и — — а=- 23 к и т. д.
Очевидно, что р, можно найти из условия, что (ч проходит через Л4,: 2 (пк)м, — -„— ! (п)ль = 2(к~ также р, найдатся по формуле 2 (о )м,— -(а)м,—.— 2ра 2 2 — а = сопя!. = о, — — — а, х — 1 ' к' х — ! (35. 3) где пк, и а, суть постоянные знзчения о и а на Л. Но тогда уравнение (33.4) в соединении с (30.3) даст: др +[ 2 ~пк ок') ( пи+~~~ дк (!' (35.4) Таким образом, задача сводится к одному уравнению в частных производных первого порядка, т. е, к системе обыкновенных дифференциальных уравнения. Заметим еша, что в этом случае не только характеристика Л, но и вообще все характеристики первого семейства будут прямыми. В самом деле вдоль каждой такой характеристики будет пк+ +(2((х — 1)] а= 2Л(на каждой свое Л), но, кроме того, повсюду выполняется (35.3); таким образом, вдоль каждой характеристики первого семейства и и а будут связаны двумя алгебраическими соотношениями, т. е.
будут постоянны. Отсюда, вследствие (33.8), следует прямолинейность характеристик первого семейства. Разумеется, что п„н а будут, сохраняясь на каждой характеристике первого се- и т. д, Но, вследствие предположениого, (пк)м, = (ок)м, = ! (а)м,= ==(а)л! = ..., значит, бУдет Яп =-- Р, = ., т. е. не только вдоль каждой характеристики, но и во всей плоскости будет выполняться соотношение случАя постоянной энтРОпии.
ДВ>!жение пОРшня 335 В зз1 мейства, меняться с перехолом от одной характеристики первого семейства к другой, так что характеристики второго семейства будп> кривыми [в плоскости (х, 1)[. Подобно~о рола картина булет всегда иметь место при распространении движения в покоящейся и облалающей постоянным давлением и температурой среде, заключенной в неограниченный цилиндр (прямолинейность движений). В свмом деле, постоянство давлешгя и температуры означает постовнство й и скорости звука (обозначим последнюю через а,); условие покоя даст О„=О, таким образом, г(х/>1! = Ч аз= сопя., х = Ч-ае!+сопя!., и мы имеем прямолинейные характеристики в плоскости (х, Г). Если влоль одной из ннх движение начнйт перехолнть в другую форму, то мы сможем заключить, что в агом новом движении все характеристики олного какого-то семейства булут прямыми.
Г!усть в неограниченном цилиндре движется по заданному закону = « (!) поршень. Предположим, что газ в момент ! = — О был в покое и обладал всюду одной и той же энтропией й и скоростью звука а . Пусть в начальный момент скорость поршня равна ( — '„«) =О, а затем монотонно убывает. Найдйм лвижение, которое возникнет при этом в газе «вправо» (т. е. в направлении положительной осн х) от поршня. Пусть х,= ОА (рис, 138) есть расстояние поршня от начала координат в начальный момент.
Все точки оси х, лежащие вправо от А (точки, лежащие влево от А, нас совершенно не интересуют — мы изучаем лишь лвижение газа вправо от А), имеют олно и то же значение скорости: О„=О л О и одно и то же сс Рвс. !33 " = ла (как точки при ! = О). Возьмем какую угодно точку В вправо от А на осн х и представим себе, что мы провели из А характеристику и 'рвого семейства, а из  — харзктеристику второ~о семейства н 'по эти характеристики встретились в точке С.
Но тогда, применяя огерянню з, убеждаемся в том, что скорости в С совпадают со скоростями в А (или в В); в самом деле, и А и В прелставляются в плоскости (ея а) одной и той же точкой А' (Рис, 139), — значит, н характеристики типа М>Р и М,Р нз операции а пересекутся в этой 336 ткогвтнческне основы гдзовоп динамики 1гл. г самой точке А' (это булут просто харзктернстнкв, выходящие из этой точки).
Так как В (и, значит, С) произвольны, то на всей характеристике, выхоляшей из А, будем иметь одни и те зке значения скоростей: ол= — О. а=а, т. е, мы имеем целую прямолинейную характеристику первого семейства: х — хс —— а,,1. Это есть та характеристика, вдоль которой покой булст переходить в движение. Мы уже знзем, что в плоскости (о„, а) мы будем при этом находиться нз одной и той же прямой 2 2 о,— — а=— ас.
(35. 5) о. Нанесем в плоскости (л. Г) закон дви- О зг жецня поршня — пусть это булст линия Е. ВозьмЕм произвольную точку А этой лнРнс. 139. ння и постараемся найти в ней о, и а. Значение и„находится сразу — скорость чзстиц газа, прилегающих к поршню, равна скорости поршня — нам пало только найти в точке А1 тангенс наклона нашей кривой к оси 1: с1г/Л. Чтобы найти а в точке А,, вспомним, что о„и а должны быть связаны соотношением (35.5). Достаточно нз прямолинейной характеристике второго семейства, илущей через А', найти орлннату той точки А;, абсцисса которой равна скорости поршня в Ао Опрелелив о и а в А,.
можем построить не только направление характеристики первого семейства, идущей через Ан но н всю характеристику (ибо мы знаем, что она прямолинейна) по формуле х — хд, = ((о„)д, + ад,) (1 — Ед,). Вдоль всей этой прямой будет од=(о„)д, и а= — ад,. Заметим, что, вследствие предположения о неположительности произволной ~', число (о„)д, +ад, булст меньше, чем (о )д+ад — — О+ аз(ад, ч. аз вслелствис наклона характеристики второго семейства, илущей через А'); следовательно, характеристика первого семсйствз, проходящая через Ап нигде не пересечется с характеристикой первого семейства, идущей из А.
Подобные рассуждения можно применить ко всем точкам линии Е и можно построить рзсходящийся веер прямых характеристик первого семейства с известными на них скоростями. Так мы узнаем скорости во свех точках плоскости (х, Г), т, с. скорости в любой точке вдоль цилиндра я в любой момент времени. Мы можем изобразить затем в плоскости (х, Г) законы движения всех частиц, т. е. провести линии ",=((х, Г)=сопз1. В самом деле, на осн л лостаточно положить (=х (начальныс координаты); то же о зп случлг! постоя!и!Он энтРОпии движение пор!пня 337 самое можно сделать на характеристике первого семейства, выходящей из А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
