Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 49
Текст из файла (страница 49)
По (31.33) имеем: дих дэу ди ди ду дх ди дх ' дэ, лги дех дх да дг дэх дэу дгв дх дх ни ди дх ' дэ дэ ди де дэу ди дх ди дх ди ди дх ' Подставим полученные выражения в уравнение (31.34) и сократим его нз величину ди/дх; получим следующее соотношение между дифференциалами ди, йп, дш вдоль кривой й (и2 и2) (с(и)2+ (и2 О2) (г(ту)2+ (и2. ш2) (г(ш)2 — 2ииг(и аЪ вЂ” 2иш ди гйэ — 2ош дог(те = О. (31.44) Это соотношение можно записать в виде: (и/дЧ!)2=(Ъ' Л')2, (31 45) где дифференциалы берутся вдоль кривой 1, причем (уз = и2+ тр+ шт. Прежде всего отсюда следует, что движение рассматриваемого типа будет обязательно сверхзвуковым, действительно, соотношение (31.45) ИНВаРИаятНО ПО ОТНОШЕНИЮ К НаПРаВЛЕНИЮ ОСЕИ и, О.
ТЭ (Ох, Оу, Фу) Вгзьмем какую-либо точку М кривой 1 и направим ось и по касательной к 1 в точке М; тогда в этой точке дп = дгв = О и мы будем "четь (аа — и')ди2= О и, так как г(и ~ О, то из= из, т. е. величина ТВОРетические ОснОВы ГАЗОВОЙ динамики [гл. г проекции скорости на направление 1 равна скорости звука. Отсюда следует, что рассматриваемое движение может быть только сверхзвуковым. Плоские безвихревые движения, которые мы изучали ранее, являются частным случаем рассматриваемых сейчас движений: они получатся в случае, когда кривая 1 — плоская кривая.
При этом, как мы знаем, годографом скорости будут те или иные эпициклоиды. Уравнения этих эпициклоид найдутся сразу же из уравнения (31 44), если положить там де=О. Уравнение (31.46) можно будет еще записать в виде ага = ( — Глк'), (3!.46) где дз — элемент дуги вдоль линии 1 в пространстве (и, О, тз). Так как скорость звука а есть функция одного только модуля Ъ', это урзвнение интегрируется в квадратурах; оно дайт ту же зависимость длины дуги з от (г, какая связывала в случае эпнциклоид соответствующие величины на плоскости. Бели провести прямолинейные лучи через некоторую точку кривой 1 и через начало О системы (а, О, и), мы получим коническую развзртывающуюся поверхность.
Развернув ез в плоскость, увидим, что кривая 1 обратится в эпвцнклонду. В самом деле, расстояния 1' точек кривой 1 от точки О, а также элементы длины дуги при этом не изменятся и поэтому уравнение (31.46) будет удовлетворяться и для плоскости; но на плоскости уравнение (31.46) есть уравнение эпнциклоид. Это соображение позволяет найти все интегральные кривые уравнения (31.44). Для их получения лостаточно взять любую коническую поверхность, развернуть еЕ на плоскость, нанести на ней дза семейства эпициклоид и затем снова восстановить исходную поверхность. Нанесйнные нами эпициклоиды перейдут в систему Б Более подробно вопросы геометрии движений, отвечающих случаю наличия (, были рассмотрены з работах А. А.
Никольского, С. В. Валандера н П. Жермен, $ 32. Осесимметричное обтекание с отошедшей ударной волной. При обтекании тупого осесимметричного тела сверхзвуковым потоком (скорость по бесконечности направлена вдоль оси симметрии тела) образуется осесимметричная ударная волна, отходящая от поверхности тела. Задача определения формы ударной волны н вихревого движения между поверхностью разрыва и поверхностью тела решается численно. Схема решения была дана О.
М. Белоцерковским и реализована на электронной быстродействующей вычислительной машине. Так же как и в аналогичном плоском случае (э 22), здесь был применен метод Дородницына, позволяющий решить задачу в точ- 0 ю1 освсиммвтричнов овтвханиа с отошедший тдаянои волнон 321 ной постановке и с нужной степенью точности. Путь решения заключается в следующем. Вводятся сферические координаты (г, О, Х) (ось 9 — вдоль потока).
В силу осевой симметрии движение не зависит от в и составляющая о, скорости равна нулю, Уравнения движения примут вид: ов дв'г в'в 1 др дг г д0 г р дг ' двв + ое две огре 1 др г дг г дг г рг дг ' Используя уравнение неразрывности д в ., д — (гаро, сйп 8) + — — (гров з)п 0) = О, введем функцию тока»в' такую, что дч" д%' гаро, з(п 0 = — „, гров з)п 9 =, (32.4) дг (32.2) (32. 3) Прн этом 21 теоретпеесмая ~еиро11е аннка, ч. !1 Лиг Г д)Р— = ггр сйп Ово — — гсо,), д0»еда (32.5) если дифференцирование проводится вдоль некоторой линии г = Й(0).
Уравнение (32.5) есть аналог уравнения (22.10) плоского случая. Комбинируя (32.2) и (32.3), получим аналог уравнения (22.8): д- гв з)п О(р+рвг)+ д (г з)п Ороео) = г(2Р+ роев) 01п 9. (32.6) д д Соотношения, выражающие Р и р через )гв=о'--+ов,, будут иметь тот же внд, что и в плоском случае (см. (22.11) и (22,12)). Неиз- вестными функциями являются о», о,, %' и 9.
В качестве краевых условий имеем на теле: г=га(8), о,= о' — „', %'=О, 9=9(0), (32.7) ге причвм значение 9(0) дается формулой (22,21). На уларной волне г — га+е(9), где е(0) — функция от О, подлежащая определению, имеем вновь соотношения (22.13) — (22.15), связывающие ое, о, и ев (р — угол наклона нормали к поверхности разрыва к осн симметрии); кроме того, имеем очевидное соотношение ~в+(. + )1к(9 (32.8) — аналог соотношения (22.18). Наконец, по (32,4) должны иметь на ударной волне: в Р эо в 1 =(в»+в) - — "01п»9= — (ге+в)вра~ 1 — — г) о,з)п»0. (32.9) шее ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ !ГЛ. Г Процесс решения задачи, как и в плоском случае, заключается в разбиении области интегрирования между телом н пов.рхностью разрыва на ЗХг областей путвм проведения линий г;=га(6)+!!«(0), где (г= — ' (1, 2,, )ч') с последующим интегрированием уравнений (32.3) и (32.6) вдоль линий О=сола!.
от контура тела до границы каждой нв полос и с э!меной подынтегральных функций интерполяционными палиномами. Нскомыми функциями будут значения функций на границах полос. Граничные условия выполняются точно. Задача сводится к численному интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений по 6, причвм часть краевых условий задается на оси симметрии: при 6=0 (и,),=0, !!г!=О, Ь;(0)= — ба, »=0, з остальные на особой линии.
Небольшое отличие от плоского случая заключается в том, что теперь, кроме )ч' подвижных особых точек, мы будем каждый рзз иметь для некоторых уравнений системы особенности вдоль оси симметрии. Эти последние особые точки будут. однако, фиксированными регулярными особыми точками; как и в плоском случае, и здесь придзтся иметь дело с рядами по степеням 9. Здесь (как и в плоском случае на стр. 191) предполагалось, что ~ряпина тела представляет собой гладкий контур. По рассмотренной методике можно проводить расчет тел, образующая которых в области влияния имеет излом (в этом случае один из параметров определяется из условия того, что в точке излома должна быть звуковая .корость), а также расчет «комбинированных» тел (сфера — конус и др.). Метод может быть обобщйн на случай сверхзвукового обтекания затупленных тел потоком реального газа (с учвтом диссоциации и ионнзации).
Если задаться целью создать единую программу для быстродействующих электронных счвтных машин, пригодную для расчйтов как плоских, так и осесимметричных тел разнообразной формы (гладких, сильно затупленных, с изломом образующей, «комбинированных») при различных значениях показателя адиабаты !з и чисел Маха набегающего потока (1 < 1ч1 (со), то весьма удобно за независимые переменные взять з и и (з — длина дуги вдоль тела, отсчитываемая от критической точки, а — нормаль к телу). Приведвм некоторые результаты расчетов осесимметрических тел, полученные О. М.
Белоцерковским '). На рис. 128, 129, 130 представлены картины обтекания эллипсоидов вращения (ь=0,5; 1,5) и сферы (3=1,0) прн различных значениях !!й (3 — отношение вертикальной оси эллипсоида к гори- ') Белоцерковский О. М., 0 рзсчете обтекания осесимметриче- ских тел с отошедшей ударной волной на электронной счетном машине, ПММ, т. ХХ!!Г, вып. 3, !960, р зз1 однОРАзмеРные движения овшие уРАВнения 325 зонтальной). На рис.
131 дано распределение давления и/ре = = Р (гз, 5)/Р (гз, О) вдоль повеРхности эллнпсоида с 5 = О,б. На рнс, 132 показано, как менлетсЯ Расстоание от тела ло повеРхности разрыва вдоль оси симметрии. рис. 133 и 134 иллюстрируют сходимость метода при Р/= 1, 2, а4 = 4; на рис. 1ЗЗ приведена ударная волна, звуковая линия и характеристики / и 1! семейств; на рис. !34 даны распределения давления вдоль тела н поверхности разрыва. В заключение слелует отметить, что метод интегральных соотношений с успехом применялся и для решения других задач газовой динамики и прикладной математики. Так, П. И. Чушкиным ') было рассмотрено обтекание произвольного тела в дозвуковом и звуковом потоке газа, а также дозвуковое обтекание эллипсов с циркуляцией.
Г. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ф 33. Одноразмерные движения. Общие уравнения. Характе- ристики, Пусть газ лвижется вдоль оси х так, что все элг менты движения о«, р, р являются функциямн одного только х и времени г, Таким образом, о„= — о,= — О; о = — н«(х, О; р= р(х, г); р=р(х, р), Предполагая, что внешних сил и сил вязкости нет, мы можем напи- сать уравнение движения в виде 1 др де« де« вЂ” — = — — — о дх дт «дх' Уравнение же неразрывности даст: — + — = О.
др дре« д«дх Прибавим еше условие адиабатичности движения — — =О. д Р д Р «д» р* Мы имеем таким образом три уравнения для опрелеления трах Функций: о« р, р. Как и прежде, введем величину Ь, просто связанную с энтропией, нз условия 1чх (х г) рх (33.1) ') Чущхнн П. И., Обтекание эллипсов и зллнпсондов дозвуковым вотоком газа, Выч. мат., 2 (1957); Расчат некоторых звуковых течений газа, ПММ, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
