Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Просто они будут выглядеть в случае, когда обтекаемая поверхность состоит из отрезков плоскостей (или из про. должений плоскостей), пересекающих плоскость (ч) по прямым (или по продолжениям прямых), проходящим бесконечно близко от начала координзт. Не останавливаясь более на общих рассуждениях, перейдем к рассмотрению примеров.
В кзчестве первого примера рассмотрим обтекание прямого круглого бесконечно тонкого конуса с углом раствора 2ре, ось которого расположена вдоль оси г. СлуУ чай этот уже был изучен нами точно в ф 27 и ф 28 приближенно. На рис. 122 схематически дано расположение обтекаемого конуса, а также 2Ц конуса характеристик (пунктир) ф и плоскости г = 1.
Обтекаемый конус пересекает плоскость (г,) внутри круга радиуса 1!!г по кругу бесконечно малого радиуса !Дре='ре. На Рве. 122. круге радиуса 1 в плоскости (т) О,' должно быть равно нулю, В начале координат должна быть особенность. Нетрудно проверить что решение для Г' имеет вид: $ эп СВЕРХЗВУКОВЫЕ КОНИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ Так как радиус зз нашего круга в плоскости (т) будет 1 1 з — — 1, о— л2р2 мы получим для с так что будет — О' з(п а+О' соз з — Ор = О.
з т ') Мы должны лишь изменить название осей. е2йзл с=— )/ 1 Л2ря 1 „рз ~.'=~с — У(т)=— ('г 1 — лзэз — й=3Г1 ( )) мы придем в точности к реву татам, полученным в й 28 '). В качестве второго примера рассмотрим обтекание края прямоугольной пластинки, наклонвнной под бескокечно малым углом атаки р (передняя кромка совпадает с отрицательной осью х). Пересечение крыла с плоскостью (.", Т)даст отрицательную ось х (см.
У ,е рис. 123). Край крыла действует лишь внутри конуса характеристик. За пределами этого конуса, г. е. в плоскости (1,2)) за пределами круга радиуса 1/А, крыло будет действовать либо как беско- г нечнзя полоса (в левой части плоскости (1,2)) вне круга ра- ь2 лиуса 1/и), либо не будет совсем вызывать скоростей (правая часть плоскости (с, 21) Рис. 123. вне круга радиуса !/Я). Таким образом, на круге радиуса 1/А мы будем иметь и' =+О,'г"/'2 (формула Аккерета) для левого верхнего квадранта, О,' = — Офй — для левого нижнего квадранта и О,' = 0 на всей правой полуокружности.
Эти же условия надо написать на круге е = 1 в плоскости (2). Посмотрим теперь, какое краевое условие получится внутри круга з = 1 из-за наличия там крыла. В том случае, когда крыло рассекает плоскость (1, т)) по любому радиусу-вектору (или по продолжению радиуса-вектора), мы должны в качестве краевого условия (1~„.= О) записат2и 308 теОРетические ОснОВЮ ГАЗОЕОЙ динАмики (гл. 1 Это означает, что здесь будет 1ш(ве-1«) = О, « =е 1 , з« «з — е, «= — 4 3 ~! е и по этим особенностям легко построим решение для г.
Оно будет иметь вид: С Рис. 124. = — 1 — ' )п . (31.20) и 1+я+) 2« Легко проверить, что (31.20) действительно удовлетворяет всем нашим краевым условиям. Подсчитаем еще значение е,'накрыле(сверху и снизу), чтобы затем, применив уравнение Бернулли, найти подъемную силу. По (31.20) 1+« — ) 2«е1(! 1+« — У2« ч 1+я+ г'2«в 1+я+)«2« так что ы 1+ ге' — )' 2« е ' 1 е1е 1+ т — ) 2« е18 е,' = — )се у = — ' аге = — аге Л Лч 1+ *+ Рг2« Лв ы 1+ ге!*+)1 2«е а На верхней части крыла (е=п) имеем: е1р 1 — « — )«21 1 е,' = — 'агд ««Ггп 1-- 1+ г' 211 т, е., как легко видеть из (31.!8) и (31.11), на пашен ралиусе-векторе ЕМ=О.
Итак, мы должны найти аналитическую функцию г(т), удовлетворяющую следующим условиям: 1) на дуге АВ (рис. 124) круга радиуса, равного единице, кеу = — е1р; 2) на дуге АС круга Кеу' =+егр; 3) на полуокружности В1ЭС Кег = 0; 4) на отрезке ОА действительной оси !т г" = сопз(. = О. Таким образом мы имеем разрез вдоль действительной оси и особенности в точках В и С. Преобразуя плоскость т в плоскость « = '!/ т, мы получим 4 особенности— в точках: сВеРхзВукОВые коНические теченИя 4 зг! )1ля нижней части крыла (е = — и) имеем: 01р ! — в+1 2»1 н о,' = — 'агд = — и' .
*н Л» 1 — в — )Г2» ! 'в' Наконец, н Р1е!р ) 1 — н — )'"2»г ! р' р'=ро Го' — В' 1=2 агК!! н в 1 г~ и» н»3 Лн '!1 н+)/2»Г) Таким образом, 2(1 — н)РЪ 2реза ! — 4+ т рн в р Р = — агс(д— ' — 4»+" Л» = — — агс соз 1 + нв Остается перейти от а к )с по формуле (27,12), и мы получим окончательно 2р|е~~й р'„— р', = — — агс соз (1 — 2)гй) '). (31.21) В качестве третьего примера на применение этого метода рассмотрим сверхзвуковое движение стреловидного крыла, симметрично расположенного по отношению к оси г. Задача о таком движении была решена М. И. Гуревичем в цитированной выше работе.
»В Обозначим через 3 угол стреловидности (рис. 125) и через р (б,) угол атаки. Рассмотрим сперва тот случай, когда угол стрело- Е видности будет больше чем аи так что наше крыло выходит А из конуса характеристик, Крыло пересекает плоскость ('„т!) по отрезку (АВ) оси в (рис. 126). Выступающие части будут лействовать лишь внутри Рис. 125. соответствующих треугольников характеристик, вне круга радиуса 1/л. В каждой нз областей АСО, АОЕ, ПВН, ВНЕ (см. рис. 126) скорости о' и давления р' булут сохранять постоянные значения, причем при переходе через крыло будут менять знак. Таким образом, на дуге СО н на дуге ЙО мы имеем о,'=та. На дуге 6Е и на дуге ЙЕ имеем о о'.= — тне; на дугах СО и ЕР о'=О; при этом ш мы должны и определить через заданные величины: р, е и он Обозначим угол ') Эта формула отвечает частному случаю формулы (29.23) при В»=О.
3!0 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ !ГЛ. Т дуги ВН через ое. Так как при переходе от плоскости (ь) к плоскости (т) углы сохраняются, нам надо решить следуюшую задачу. Определить аналитическую функцию у'(т) так, чтобы Кем=атос, если 0(о(оо и к — о (о(к, на круге е = 1 Кеу= — Атос если 0)о)оо и — и+о )о) — и.
Далее, на круге а = 1: 1(еу=0, если к ое) о) оа и — и+о (о( — о. Наконец, на отрезке действительной оси от е= — 1 до а=+1: !шу = О. Функцию Г" можно построить по особенностям. Это будет: (31.22) По рис. 125 н 126 заключаем, что ОВ= О.4=!Е3 и что, таким образом, угол ос будет определен равенством сояо = —. ! е дгяа ' (31. 23) Величину шо найдем из краевого условия на крыле (мы использовали Рис.
!2б. это условие лишь частично, записав, что 1шу = О). Именно, на крыле мы имеем: ,'=+ О,К (31.24) СВЕРХЗВУКОВЫЕ КОНИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ 3!! 1 /' ь(/! !Т 2 ./ ага(, ! о 1 1 = — '1щ!' / 2сз!поо~ . —,. +1+ — „— ы-)11Т= 2я о(„+„,— ьа., „-! а .+ем~ .— ени ! = — ьйп оо1щ !п ' ...= — Твой з!ппо (31 25) свой ° (а+ е ") (а+ е!") я ! (! — е е)(а — е ') Таким образом, по (31.24) Я' о йг!паа Найдем еще коэффициент подъемной силы С, Так как для крыла будет р'„— р,' = 2рьо!о,', то под.ьамная сила Г, действующая на крыло высоты /. и основания 2/.!до, будет: с г!Еь !Еь У= 2рьоь ~ ~ о,'ь!л сье = рьоь/.г ~ о,'ь/Е. о -г!Еь -!Еь Если 3 — площадь крыла (Ю=/,о!83), то !Еа 2 ~,'дй с р1933 01!и а (31.
26) Так как вдоль частей крыла, выступзющих из конуса характеристик, бУдет о,=сопя!. =+ Тес, то полУчим: .1 2геа(!аа — д)+ / '*!С (-д 1+а!) С вЂ” 2 а из (31.18), интегрируя по мнимой оси от ! до О и замечая, что на мнимой оси т = — т, с!с'/г/т=- — ьгС'/ь(т, получим: 312 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Ггл, 1 Интеграл, стоящий справа в числителе, можно взять по частям, записав (О' = 0 на действительной оси): .!. 1 +1 О (~~- ° ~в 1+22) « ~ 1+ 1 ° Л / 1+,' ( ° )= — ~ — "о — — 1 -!2(о +Ю)= — 1 -1 +! 2 йн!а / яп 2аа л'а Л а Л!1,/ 1 л 2 (а2 а — 21ао)(,2 2! а) -1 Интеграл в правой части легко вычисляется и лайт! з 1 ) 1+!2 (22 — е 21")(22 — ет!") 4 !сов аа — — ! !Заз -1 Собираем теперь члены в С и принимаем в расчет(31.23) и (31.23); получим окончательно простое соотношение: 42 С = — — ' у л 2 Ь 1н3= — —, а 14-Ь ' (31. 27) где 3 — по-прежнему угол стреловидности.
М. И. Гуревич продолжает функцию 11л Г(т) на всю плоскость (т) с разрезами от — со до — 1(Ь, от — Ь до+Ь и от 1/Ь до со и лайт решение в виде а!+! о, + 1'з = В ° р (а~ — 21) ( — — ~~) 1, Ье где В есть действительная постоянная, которую мы должны найти из краевого условия на пластинке (о,'=~о,). Решение легко проверить непосредственно, Чтобы найти В, используем вновь (31.18) и произведем, как и в предыдущем случае, интеграцию по мнимому ') Пластинка есть частный случай стреловидного крыла (а = я/2) каковое в точности совпадает с формулой Аккерета для пластинки бесконечного размаха '). Иначе будет обстоять дело, если стреловидное крыло все целиком лежит внутри конуса характеристик (3 < и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
