Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Для того чтобы выполнить дифференцирование по л в (29.13), удобно перейти к новому переменному 1 из соотношения !Т(ы получим сперва: ~г (х «е)= в' вгв з )Т(0) о, д )', !" гв0в — г, 1 , евЕегб'. (1 — Ов)в )' соз'0' — ав япв 0' в в, Теперь мы можем выполнить дифференцирование по л; используя (29.14) н выполняя квадратуры по 1, получим; вв, (х, у, л) = т (О') ф/ хв — Ьв И вЂ” — «) + лв~ ЛО' = — гл в' в ~х з!н 0 — ( — — «) соз В 1 +хв (сова Π— ав в!Пв 0 ) в (,2 (29.15) Заметим, далее, что') в!О' ! '( ) х яп О' — ! -н — «) сов О' ! -1- хв (созв О' — ав з!и' О') 1 (х' — Ьвлв) !Р 6' х, — «) с( агс гд 12 х — а в — Ь 1 — — «) / УЬ Тв '12 х гаг хв — Ьвхв — Ггв в — — «) ') Это преобразование было дано Фальковнчем.
Первое применение теории Прандтля принадлежало Шлихтингу, ио его рассуждения оказались неточнымк. дальнейший подсчет ведется здесь по Фальковнчу. 276 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ (гл. г га ( в-а )г„з 11 — ) Т (6') агс 1К 2 х ~/ хв двхв ав у) 12 Р~~ (х, У, 2) =— ~г( ) (хв — авхв)ге В' — х ( — — у) дз' 2 дв' агс 1а ,.' Ь в -в, (хв авхв) ав 1 «) 12 Нам надо положить 7(де)=О.
Кроме того, во всем интервале от д' = аг до 6' = я/2 мы должны принять Т = сопз1, = Те. Таким образом мы получим: 'Р ~(х У 2)= В' л, !Ь дт(з ) (х' — авхв) гд В' — х 1 — — у~ 12 — в2,/ дз — — — в —,агой гг'6' в' ц х 17 х' — авхв — ав( — — у) ~2 (29. 16) Чтобы найти Т, нам достаточно теперь использовать краевое условие (29.9). Предварительно заметим, что согласно (29.6) мы должны иметь: дев 1 дт дх гг, дх ' Но дифференцируя (29.9) по х, мы получим (р=-сопз(.) (29. 17) ) =О и, значит, вследствие (29.17), Таким образом, нам достаточно проднфференцировать (29.16) по 2, подставить 2=6 и приравнять полученное выражение нулю.
Произ- водя эти несложные выкладки, получим после сокрашения: а, лгд'= О, агйв — А х Вставляя вто выражение в (29.15) и производя интегрирование по частям, получим: В 661 ПОТЕНЦИАЛ УСКОРЕН!!и, ТЕОРЕМА ПРАНДТЛЯ вЂ” ГЛАУЭРТА 271 определения !1; (8)/418 в качестве переменной Зто однородное интегральное уравнение для примет особенно простой вид, если ввести интегрирования величину й=й(нй' и обозначить 6-) = Т). Мы получим тогда (29.18) (29.19) (29.21) (29.
23) ь ') Если ! =О, то у(а) = !" У(Э) ЛЭ СОИВ!. "г' (Ь вЂ” 1) (а — а) 6=1 ~ —,', ай=9, 6=6. где Т' означает дифференцирование по аргументу й, а 96=76(н 86. Это уравнение имеет решение') лт (э) с, ~в у(1 — э) (э — э,) ' где с, — произвольная постоянная, Производя интегрирование, получим: 7(8)=сгагсз1п ' +со, 2Э вЂ” (1 + Эа) (29.22) о где со — новая постоянная интегрирования. Для определения с! и со вспомним еще раз, что Т(йо) =9 7(1) = 76.
Тогда получим окончательно: Т(о')= 7" агссоя й '+ ~ ' и Ва а! — !й 00 Зная 7, мы можем без труда подсчитать силы, действующие на наше крыло. Подъемная сила Е складывается из трех частей: Ео (в об- ласти 2), 2, и л4 (л =л4): при этом АВ = РВО476 Х площадь АВОГ = ргп4ТВЫ (1 — — ), В' = Н и =Псов В' ~6= Рао! / ~ 7г'4(г'~(Э' = 6'=Ва н=о В,=,, в=! 6' =6а в=в, 272 твоеитичвскив основы газовом динамики !гл. г Если обозначить е=! — / Т(9) 8=-К, е=а, (29. 24) то ~=~,+Е,+г,= р,,(,Ь1~,(1 — (1 — К) — „-,(. Если вспомнить определение (29.12) для Та, поделить л на р,аааа/2 и на площадь г(Ь вЂ” г!9 ба) крыла, получим для коэффициента С,: С,= — — р 4- ЬЬ 1 — (1 — К)— (29. 25) !и Ьа о Ь Остается только определить К.
Вставляя (29.23) в (29.24), можно написать по (29.18): е=! К = — ! агс соз ' Иб. 1 1+ Ьа — 2Š— л ! — е, е=е, Этот интеграл сразу же вычисляется и дает: ао К =- —, 2 (29.26) Л' — — р,огуарьь ~ 1 — (1 — К) так что 4 -а 1 — (1 — К)— ль С„=~8 !я зо Ь Связь между С„и С, получится при этом в виде 1 — !Неа Ь 44!на, 1 — (1 — К) та!ба, где К по-прежнему даатся при помощи (29.16). Таким образом, окончательно мы получаем С, в виде: 1+а!8е, г С 4 ир 2 Аь (29. 27) 1 — !из,— о Ь Что же касается сопротивления Х, то его можно рассчитать, как интеграл, распространвнный на всю площадь крыла от выражеииа Ран,ТР, т.
е. это бУдет: 2тз СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО КРЫЛА Э Лог Поляры, отвечающие Во=-0 /прямоугольная пластинка) при значениях а/Ь= 0; '/з и '/т для о,/а,=1,2; 2,0; 3,0, нанесены иа рис. 99. В этом и предыдущем параграфах мы рассмотрели лишь простейшие случаи решения линеарнзованной задачи. Р ст ал аю п;у Гп с гл Рнс. 99. В следующем параграфе мы изложим общий метод получения решения для произвольного тонкого крыла. 0 30, Сверхзвуковое обтекание тонкого крыла конечного размаха произвольной формы в плане, Концевой эффект и вихревая пелена.
Обратимся теперь к общему случаю сверхзвукового обтекания тонкого крыла с острыми кромками. Как н в предыдущих параграфах, считаем крыло мало наклоненным к основному сверхзвуковому потоку и рассматриваем линейную задачу. Исследование этой задачи для случая пРоизвольной формы крыла в плане дано в работах Е. А. Краснльшиковой, а также в работах К. И. Бабенко, Уорда ()Чагд) и др. Дадим изложение, следуя Красильщиковой.
18 теоретическая гиироиечаиияа, ч. и 2У4 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЯ ДИНАМИКИ [гл. | Для простоты изложения остановимся на случае, когда угол наклона касательной к контуру крыла меняется монотонно как для передней, так и для задней кромки крыла (рис. 100). Пусть уравнение передней кромки крыла (снесенного на плоскость з = 0) будет х =Ч" (у) (уравнение дуги ВОО, рис. 100). Уравнение задней кромки пусть имеет вид х=Ч|'(у).
Перемещаясь вдоль передней кромки от 0 к В (или от 0 к с)), мы будем встречать все значе- л|х | | л'%' ння ! — „| от 0 до ОО. Пусть в точке А (С) окажется ) — „! =с(даг лу ~ ~ лу— О Рис. 100. Провалам касательные к передней кромке в точках А и С. Обозначим через Е область плоскости (х, у), занятую крылом; обозначим через Т область «вихревой пелены» сзади крыла, т. е. область, ограниченную задней кромкой крыла и параллельными оси х полу- прямыми, выходящими из точек В и В соответственно (см. рис. 100).
Обозначим еща через ЛЯ) область «концевого эффекта» крыла, т. е. часть плоскости, расположенную между касательными в точках А и В (С и А)) (рис. 100). Так |ке как в 8 28, ищем решение для потенциала Ф'(х, у, е). Представим его в виде: Ф'( ) ' (30 1) I (х — х')| — а| ((у — у')| + ха) ' '=О причем интегрирование распространяется на ту часть плоскости(х', у'), для которой подкоренное выражение в (30.1) положительно (рис. 101). Так же как и в 8 28, нам придатся, таким образом, иметь дело с областями, отсекаемыми ветвями гиперболы (х — х')' — лт (у — у')' = и'г'; ф 30! СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО КРЫЛА 275 как и в 5 28, мы берем лишь ту ветвь гиперболы. для которой х' ( х — и )У(у — у')0+зК Рис.
!О!. 1 !дФ' с(х. у)= — — ! — ! ° ~д ~,, (30.2) Чтобы убедиться в этом, запишем сперва (30.1) в виде У'=У+ — ! !х-х'! - Ых1 1 х'=х-Хх Ф(х, у, «)= / с (х', у') дх' о!у' (х — х')0 — «У((У У )У ! хо) Х'=-оо У' =у — У !х-х'!о-Ам* а (30.3) и введем вместо у' независимую переменную В из равенства у = у — — у'(х — х')' — йзхт соз В.
1 а Так как !!у' = —, )/ (х — х')0 — л'з' з!и В пВ 1 (х — х')0 — лт !(у — у')0+ аз) = з!пт В [(х — х')0 — )уухз], получим; х'ох-ак зок / , 1 х ф (х,у,.)= Ф !» У У (х х )к Йохо сов 0) х Л !!х'. к' -оо 9=0 (30.4) 18о Заметим теперь, что с(х', у') в (30.!) имеет простой гидро- динамический смысл: 276 теоретические ОСноВы ГАЗОВОЙ динАмики !гл. ! Дифференцируя (30.4) по параметру г и полагая затем г= — О, придем к соотношению (30.2).
Можно отметить четыре характерных положения ветви гиперболы, составляющей границу области интегрирования в выражении (30.1): 1) ветвь гиперболы лежит целиком вне крыла (кривая 1, рис. 102); 2) ветвь гиперболы пересекает крыло, но так, что точки А и С остаются вне области интегрирования (кривая 1); 3) ветвь гиперболы пересекает крыло, и точка А (нли С) находится внутри области Ряс. !02. (30.3) В случае 3) область интегрирования будет частично выходить за пределы крыла (часть плоскости между линией АА' и контуром крыла); здесь принято говорить о влиянии «концевого аффекта». интегрирования, но точка В (и О) находится вне области интегрирования (кривая !1!); 4) ветвь гиперболы расположена так, что А и В (С и 1)) попадают внутрь области интегрирования.
В случае !) точки области интегрирования потоком не возмущаются. Мы имеем здесь Ф' (х, у, л) = О. В случае 2) подынтегральная функция из (30.1) будет известна всюду, н точки области интегрирования все лежат на крыле; если уравнение поверхности крыла г=".(х, у), то по (28.23) и (30.2) с(х, у)= —— о, дь(х, у) дх 4 ээ] сВеРхзВукОВОе ОБтекАние тонкого кРылА 277 Функция с(х, у) будет и здесь определяться с помощью (30.2). однако теперь с будет заранее неизвестна в тех точках области интегрирования, которые лежат вне поверхности крыла. В случае 4) область интегрирования заходит за пределы крыла ещй и в вихревую пелену; здесь говорят о влиянии «вихревой системы за крылом». Как и в 3), функция с будет заранее неизвестна в точках области интегрирования, находящихся вне крыла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
