Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 37
Текст из файла (страница 37)
чем а. Итак, через Вг про" ~плит бесконечное множество интегральных кривых 7., выпуклых по отношению к оси О,. Если мы будем двигаться по одной из таких кривых по направлению к оси о„ то, как легко видеть, выпуклость нарушаться не будет (точки перегиба не встретятся), и мы сможем 238 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 1гл.
1 пройти по нашей линии 1. до оси о,. Пусть мы попадвм при этом в точку А,(о,, О). Наклон нормали к линии 7. в точке А, легко определить. Для этого достаточно положить в уравнении (27А) о, О, о = о . Получим (7")л,=+ 1' Мà — 1, (27.7) где о, р х+1 з х — 1 М= —, а,= — а — — о;. Соответствующий (в смысле равенства (27.2)) конус К, (рнс, 92) д'1 будет иметь наклон 1ри определяемый равенством 1 яву М, ' лр Следовательно, конус К, будет характеристическим конусом.
Таким образом, движение, определяемое нашей линией Рнс. 92. можно представить в виде прямолинейного потока со скоростью оп который после прохождения характеристического конуса К, начинает плавно поворачиваться, расширяясь. Точка В, нашей кривой не может быть расположена сколь угодно далеко от оси о,. Двигаясь по 7„ начиная от Аи мы рано или поздно дойдем до точки перегиба (уа = О) этой кривой, после чего кривая 7. станет обращаться вогнутостью к оси о,. При движении от А, по 7. нормаль к 7. вращается по часовой стрелке; после прохождения точки перегиба нормаль начнет вращаться против часовой стрелки, т.
е. мы вынуждены будем возвращаться в область течения, уже описанную кривой А,ВН и это решение не имеет смысла. Поэтому движение наше может быть доведено только до точки перегиба кривой Ь. Приравнивая нулю уа в уравнении (27.4), мы можем найти значение )г' на месте точки перегиба: о,о + а Г' ор — ар Наклон 7' отвечает некоторому конусу Кр (рнс. 92) (он также есть конус характеристик). Раствор продольного конуса Кр будет различен для различных интегральных кривых (различных точек В,). Течение этого типа можно построить (и параллельно построить соответствующую обтекаемую поверхность), отправляясь от оси о, О и задавая скорость он Затруднением, однако, является то, что линия о, = О является особо» линией для уравнения (27.4) и такой, что через каждую точку А, оси О,=О проходит бесконечное множество интегральных линий В и кривизны а ай ОСЕСИММЕТРИЧЕСКОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО КОНУСА 239 всех атих линий будут одни и те же'), Окончательно можно остановитьси иа следующем способе построения течений Никольского.
Задаемся значением и,; по этому значению определим М, и построим у', по формуле (27.$) Отойдвм теперь в плоскости годографа от оси с«на небольшое расстояние гтж0,0!а. по нормали (уя — — о,). Соответствующее значение (о«)т находится по приближенной формуле (замена производной конечной разностью): 1 (п)а — о = —,уя «1 й(ы получили точку Аа((о«)я, гз), в которой можем найти а, по уравнению Бернулли: 2 1( «)т Я' е+1 я е — 1 В точке Ат зададим тепеРь значение У'. Так как, по опРеделению нашей кривой 1., проекция скорости на касательную к 1 должна быть меньше скорости звука ((«' (а), и так как проекция на характеристическое направление будет всегда в точности равна скорости звука, мы должны выбрать !' так, чтобы наклон Е оказался большим.
чем наклон, отвечающий (27.2). В остальном Г"' может быть произвольной, и от выбора этой величины зависит, какую именно интегральную кривую мы получим в конце расчета. ') Лействнтельно, по формуле (27А) мы получим для (у«), неопределенность типа 010, которую надо раскрыть по правилу Лопиталя: (Р«+УУ )* Иш У« = 1нп а' г~е г->е у 2 Ит — ~2УУ« — — (е«+УУ') ~1+УУ«+У" + /.+ау~ с а« « 0тсюда, принимая во внимание (21 у з у" «--(-! м, а, у— ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОП ДИНАМИКИ [гл. г После того как 7"' известно, мы можем найти 7" по формуле (27.ч); Ы, ° 'е а +~А') Дальнейшее построение можно проводить шаг за шагом, задавшись близкими друг к другу значениями (о,)з, (о,)о ..., (О,)„величины о,. Бели у„и у„' г у„", известны, то величины у„, ~' найдутся по формуле У.=У.— +у.' [[.).-[.).,1 у.'=7'.
+7."-4'.).-[.).,1 величина ал найдется затем из уравнения Бернулли: а„= "+' а' — ", ' [Ю„+у'„1, а у„ из соотношения Вычисление надо вести до тех пор, пока 7"" не станет нулем. Расчеты ведутся практически, конечно, в безразмерных величинах (о,/а„, о,/а, и т. д.). На рис. 93 даны примеры, взятые из работы г— га у Г .г 4 5 в' га Рис. 93. Никольского, двух профилей рассматриваемого типа, отвечающих одному и тому же значению М, = 1,7. Здесь же показано распределение давления вдоль профиля Никольского.
Задача обтекания произвольного тела вращения, имеющего впе- реди Острие, и с осью вращения, расположенной вдоль потока, была ОСЕСИММЕТРИЧЕСКОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО КОНУСА 241 исследована впервые Ф. Франклем. Угол острия должен быть, как и в плоском случае, не слишком велик, чтобы не образовалось дозвуковых скоростей.
Если это условие выполнено, то задача обтекания решается бев труда. В меридиональной плоскости имеем контур с остриам в Р (рис. 94). Пусть обтекаемое тело представляется близ Р в виде конуса, а затем контур его начинает плавно переходить в криволинейный. Перел конической частью (отрезок контура РА) Образуется коническая поверхность разрыва (линия РВ), и мы можем найти движение в области между РА и РВ по методу, изложенному выше; проведйм при этом через А характеристику АВ первого семейства, отметим на ней ряд точек: Ми Ма, ...(рис. 94) и построим Р элементы характеристик второго семейства, проходящие через эти точки. Я Пусть М, — самая близкая к А точка, ес М С вЂ” проведзнный через ней элемент 1 В характеристики второго семейства, С вЂ” точка контура.
При помощи опела Р„ рации 2 (ф 26) найдем скорости ла, в точке С и проведйм через С характе- Ж ристику первого семейства до пересечения в точке М, с характеристикой А второго семейства, идущей из Мю Ско- р рости в Ж, найдутся при помощи операции ! (ф 26) и т. д. Так мы взполним Рис. 94. всю область между линией АВ, контуром АЕ и характеристикой второго семейства ВЕ, выходящей из В. Из близкой к В точки. еч'„характеристики ВЕ провалам элемент характеристики первого семейства до пересечения а) с продолжением прямой РВ.
Точка Е> лежит на поверхности разрыва; чтобы найти скорость в Е1, мы должны поступить так же, как в операциях 2 и 3, только вместо пересечения соответствующего отрезка характеристики плоскости (О„О,) с радиусом-вектором (или с кругом) нам прндйтся искать пересечение с гипоциссоидой. Определив в В скорость (при помощи гипоциссоиды) и направление поверхности разрыва, проведзм из Е1 характеристику второго семейства до пересечения Я с характеристикой Р„Я первого семейства (Є— точка, близкая к М„ и лежащая на ВЕ). Ход решения дальше был бы ясен (определение скорости в Я, проведение характеристики ЯР до пересечения с отрезком ВР линии разрыва и.
т. д.), если бы не пришлось учесть появления вихрей. Послелние не появлялись при обтекании конуса, ибо поверхность 16 тееречическая гилремеааиика. ч, И 242 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 1гл Рис. 98 разрыва там пересекала меридиональную плоскость по прямой; но теперь линия разрыва есть кривая, после прохождения возникнут вихри, и придбтся воспользоваться формулами (25.9), (25.10).
«Расстояние» 8 из э 26 найдбтся теперь по более сложной, чем (26.5), формуле, содержащей 8 и Ю/с(ф. Впрочем, вычисления с(9(с(ф и Ь совершенно аналогичны вычислениям этих величин для плоской задачи (9 13). Изложенный здесь графический привм решения аадачи на обтекание при всей его простоте отличается громоздкостью. Могут быть предложены другие методы использования соотношения на хзрактеристиках (даже если по-прежнему говорить о ручном счвте), А. А. Дородницын предлагает использовать формулы (25.13) и (25.14) (при движении вдоль характеристик), выполняя в них интегрирование (вдоль той или иной характеристики) с попутной аппроксимацией самих характеристик в виде кривых второго порядка по г; при этом подынтегральные функции там, где они остаются, также аппроксимируются тем или иным способом. Применение этого приема иллюстрируем на случае наличия при обтекании криволинейного скачка уплотнения. Пусть обтекаемое тело вращения имеет с самого начала кривизну, отличную от нуля (рис.
95). Надо определить форму скачка уплотнения и течение позади него. Возьмвм на поверхности обтекаемого тела вращения вблизи носика Р точку А. Пусть через эту точку проходит характеристика 2-го семейства АС и характеристика первого семейства А8; точки С, В лежат на поверхности разрывз. Форма этих обеих характеристик, так же, как и форма поверхности разрыва, неизвестна. Мы будем их аппроксимвровэгь с помощью трех парабол. Для поверхности разрыва примем д = с,г+ сэгэ, (27.8) где с„ с, подлежат определению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
