Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Черному з), попробуем сперва дать оценки порядка различных гидродинамических величин нашей задачи. Пусть, в общем случае, мы имеем установившееся обтекание со скоростью о на бесконечности тонкого заостренного впереди тела, расположенного так, что углы между касательнымя к поверхности тела и основным потоком близки к нулю.
Направив ось Х вдоль основного потока, имеем 0(соя(и. х)) =т, (23.9) где п — нормаль к телу, т — малый безразмерный параметр (например, относительная толщина тела, наибольшее значение угла, образованного поверхностью тела с направлением потока, наибольшее значение соз(п, х) и т. и.), буква О, как обычно, означает порядок величины.
Из краевого условия обтекания следует тогда, что на контуре 0(о )= со, (23.10) ') В случае безвихревого движения, т. е. в случае отсутствия поверхности разрыва, доказательство независимости движения от М„прн М„))1 было нами приведено выше. См. сноску на стр. 156. х) Тз ! ев Н. 3., 5!ш!!аг!!у !звз о! яурегзоп!с !!ошз. Лоягпа! Мань Рйуз. 3(1945), 25; Нау ее ЦГ. 11., Оя Ьурегзоя!с я!вп!Иш!е. Оязг!. Арр!.
Мами 5 (1947). ') Черн ый Г. Г., Течение газа с большой сверхзв)вовой скоростью, Физмзтгиз, 1959. р ьи Даижзнна С ОЧЕНЬ БОЛЬШИМИ СВЕРХЗВУКОВЫМИ СКОРОСтЯМН Зю где, как и раньше, О =о„.(о, О„= и /о . Это соотношение есте- У У ственно распространить и на всю область течения между поверхностью разрыва н контуром. Но на поверхности разрыва мы имеем соотношения (7.12), (7.15), из которых следует, что — р о (о„— О ) = Р— Р = +' (М соя~ар — 1) (23.11) (р, Р— значения р и р до прохождения поверхности разрыва).
другой стороны, так как касательные к поверхности разрыва. составляюшие скорости. непрерывны, то О,— О = — )ГСОЗнь (23.!2) — Г-И~.в..- . р .. (авви, .и- квадратное уравнение относительно совр, из которого без труда найдем ='+'ри )Л" ')'и ьи'-' где 1а = М(о,. — 1)'+ о,'„ так что 1 0(соз р) = ~'+ —. М (23. 13) Далее. по (7.11) и (23.12) имеем о = (Π— 1) !Р о = — !г з!и р, Но з!пи» !. Значит, (23. 14) 0 (! ) = 0 (ор) или, по (23.10) Р— Р о» вЂ” о, со = — К!!С!со Р, О, тах что, используя (23.16) ВОЛУчим (23.18) 14 теоресниескак ~иасроиеааника, е, И 0(!7)=т. (23.15) Возврашаясь теперь к (23.12) и учитывая (23.13), (23.14) и (23.15), имеем окончательно для скоростей: О (΄— о ) = О., (т' + М ) (23. 16) 0(О )=и и.
(23.17) Наконец, вайдам еша порядок величин Р— р и р — р . По (23 11) имеем сперва 210 теОРетические ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАмики [гл. с Р Рк Что же до —, то по (7.10) можем написать Ркю р — р М сов т — 1 2 2 Рок к 1 2 2 — М сов 2+1 и тогла, на основании полученных выше оценок лля М сояср, имеем Проанализируем теперь полученные нами оцегссси.
Пусть сперва мы имеем дело с умеренными сверхзвуковыми скоростями, так что М вЂ” !. Наши оценки поназывают, что тогла при обтекании очень тонких тел (т((1) возмущения всех гидролинамических элементов малы и имеют один и тот же порядок малости: й — Р, и т, — =Мт, (23.13). (23.15) имеем 1 соз Р М 1 тс — 1 — т «М Р Р =М т.
Р.к В то же время по Р Р к Рка «Малость» возмущений скорости сохраняется, но характер этой малости будет различным для продольных (и„) и поперечных (сс ) составляющих. Возмущения давления и плотности не будут уже малыми; более того, возмущение давления может иметь тот же порядок, что и самодавление и даже превышать его во много раз; отметим, что при этом коэффициент давления 2 2 12 Р~ С,= —,(р — р„) = —, С Сс~ кМ2 12 будет весьма мал — он будет иметь порядок тв, Наконец, созо по (23.13) и (23.15) будет мал и будет иметь порядок тот же, что и косинус т. е, наша поверхность разрыва булет иметь нанлон того же порядка, как и наклон характеристики (большой по сравнению с наклоном обтекаемой поверхности). Мы можем поэтому при исследовании сверхзвунового обтекания тонких тел, если М вЂ” 1, лпнеаризовать уравнения движения по отношению н основному потоку, облалаюшему скоростями и =и, и =О, лавлением р и плотностью р .
Иначе будет обстоять дело при исследовании обтекания тонннх тел, когда М т = 1 или же М т)) 1. Здесь наши формулы приведут к новым соотношениям: Р Ви ДВИЖЕНИЕ С ОЧЕНЬ ВОЛЬШИМИ СВЕРХЗВУКОВЫМИ СКОРОСТЯМИ 211 нормали к поверхности обтекаемого контура — поверхность разрыва будет как бы прилипать к поверхности тела. Мы видим, таким образом, что метод линеаризации, по отношению к потоку на ОО, не применим в нашем случае больших сверхзвуковых скоростей, движение с очень большими сверхзвуковыми скоростями около тонких тел называют в современной литературе гиперзвуковыми.
Выведем теперь, используя наши оценки, важный принцип подобия, касающийся гиперзвуковых движений. Обратимся вновь к общим уравнениям движения, неразрывности и притока тепла для плоского стационарного случая. Выделим основное движение по формуле о = ю — о х х оэ (23.20) и перейдем к безразмерным координатам из соотношений: о' =о тги, о = — о то, р=яр Мг т'ри р=р ри х= хо у=туп Теперь уравнения движения примут вид: ди ди 1 дР, (1+ т'и) — +о — + — — '= — О, дх, ду, р, дх, до до 1 дР, (1+ т'и) — + о — + — — ' = О.
дх, ду, р, ду, Уравнение неразрывности запишется в виде — р,(!+три)+ Р' ' =О, (23.22) 14ч и условие адиабатичностн даст: (1 + -. и) — — + о — — = О. г д Р, д Р, дх, р,7. ду, р,х В согласии с приведенными выше оценками, мы можем считать, что все наши безразмерные функции имеют теперь порядок 1. Считая, что -. мало н отбрасывая член, содержащий тг (зто единственное упро- щение, которое здесь делается), мы придем к уравнениям ди ди 1 др — + — + — — =О, х, ду, р дх, до до 1 дР— + — + — — =о, л~ ду, р, ду, — + — =О, др, др,о, дх, ду, д Р, д Р, — ( о — — '=О.
х, рр. ду,р,т. (23.24) 212 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 1ГЛ. Пусть уравнение обтекаемого контура в новых координатах имеет вид Р (хп У,) = О. Тогда краевое условие на контуре запишется (1+ 22и) — + о — = 0 дг" дг дх, ду, или, если отбросить член 22, дР дР— +о — =О. дх, ду, (23. 25) Далее, на больших расстояниях от тела возмущения пропадают, и мы должны там написать и.=о=О, Р,=!, р,= 1 х(!2! Г)2 (23.26) Тогда по (7.5) имеем ду ду ! ду Р Рго '1(1+ т и) д +" д — )'=Р о х, у, 1 х, или, в нашем приближении: Аналогичным образом вместо уравнений (7.3), (7А) получим теперь и = рг— 1 (23. 28) хМ2 22 (23.
29) а вместо (7.6) будем иметь: хМ трг —— 2 2 ('2+1) р~ (х — 1) х+ 1 — (х — 1) р Нз двух параметров аадачи (т и М ) ни один не входит в уравнения (23.21) — (23.24) и краевое условие (23,25). Краевые условия на бесконечности (23.26) содержат лишь комбинацию этих параметров К =тМ (результат Цзяня). Условия на поверхности разрыва (23.28) — (23.30) также содержат лишь комбинацию этих параметров (результат Хэйса). Отсюда принцип подобия, который может быть сформулирован так; Наконец, выпишем еще условия на поверхности разрыва, Пусть уравнение этой последней (в новых координатах) имеет вид У (хг, у ) = О.
! и! слтчлп явлльного глзл. идвлльно-диссоциивтющиися» газ 213 движения около двух тел, аффинно преобразуемых лруг в друга, имеющих относительные толщины и т", булут полобны, если числа 34аха М' и М этих движений тановы, что т'М' = т"М". уравнения наши распалаются на две группы: уравнения (23,22) (23,24) содержат искомые функции и, р,, р, и не содержат и; краевое условие (23.25) и условия на поверхности разрыва (23,27), (23.29), (23,30) также солержат лишь о, р,, ри Таким образом, задача сильно упрощается. После того как о, р!, р, опрелелены, для нахождения и может служить уравнение (23.21) и краевое условие (23.28).
Проще определить и из уравнения Бернуллп. Хэйс обратил внимание на то, что уравнения (23.22) — (23.24) совпадут с уравнениями для одноразмерного нестациоларного движения газа вдоль оси Уи если заменить х, через некое фиктивное время. При этом краевое условие (23.25) представит аналог краевого условия на поршне, движущемся по закону Р(хи у,) = 0 (х, — время), а условия(23.27), (23.29), (23,30), как легко вилеть, отвечают в точности условиям на поверхности разрыва в нестационарном случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
