Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 27
Текст из файла (страница 27)
далее, дзФ/дх = 2В, дзФ/дхаду= 0; произволные же дзФ/дх дуя д'Ф/дуз определим путам дифференцирования (21.2) по х и из условия симметрии и т. д. Производя эти совершенно элементарные выклалки, получим: =«+А —,'+ —,+ ",')' х, +С + 4 +(я+1) А + хэуа+ ( + )' Азрг+ ... (21.4) ) Меуег Т,, ()евег хгуе!огпгепзгопаге Вегуеянпязя!егейиаа!и егпегл Оаз, дге глн $3еоегзсйаПяезсйх»Гвгггеие11 зГгогпг, Рогзсйяяййей 72, 1~8. возникновения разрыва. Как видно на рисунке, недалеко от линии перехода (на ней р/ре = 0,528) в сверхзвуковой области возник разрыв; он породил возмущение, отражающееся от стенок сопла и распространяющееся по всей длине сопла, равномерность потока оказалась испорченной. Как же следует построитг входное отверстие, чтобы скачок не образовался? Как построить безудзрное сопло Лаваля? В качеетве простейшего призма можно, казалось бы, предложить следующий' ).
На оси симметрии сопла, каковую мы примем эа ось Ох, с началом координат в точке линии перехода, зададим скорость О„ как некую аналитическую функцию от х. Пусть разложение этой функции в рял около точки х = 0 имеет вид: 176 теОРетические ОснОВы ГАзовоаа динлмики 1гл. ! Теперь мы можем написать разложения лля о и оу: А' о = 1+ Ах+-Вхг+ (х+ 1) — уг+ 2 +Схз+(х+1)А (2 — 1)А'+6Вху'+ ...
(21,5) о =(л+ 1) Агху+(х+ 1)А хгу+ (2х — 1) А'+ 6В (х 1 1)а Аа + — — уа+ ... (21.6) 6 и путем простых квадратур определить функцию тока Ф: Ф= — (о.г(у — о л(х), I Ра где а -Р-=! 1 — (ог + ег)/" а Р, =Г «+1, ° Олну из линий тока ф=сопз!. можно принять за стенки сопла. Схолимость участвующих здесь рядов обеспечивается теоремой Коши— Ковалевской, благодаря аналитичности функции о (х, О). Олнако радиус сходимостн по оси Оу заранее неизвестен, и зто сразу же заставляет отбросить изложенный здесь метод построения сопла. Действительно, так как неизвестно, на каком расстоянии мы еща можем пользоваться нашими рядами, то заранее мы не знаем, не встретимся ли мы с тем же затруднением, о котором говорили в прелыдущем параграфе: наше решение может оказаться не имеющим смысла за некоторым у.
Изложенные здесь подсчаты лают, олнако, совершенно строгие значения производных в точке О от Ф и ае' н полезны лля ориентировки. Они показывают, как велат себя явим<ение недалеко от линии перехола з случае аналитического решения на оси. Так, например, они позволяют дать уравнение линии перехода около самой точки О. Именно, если искать зто уравнение в зиле х = лгу + п4у4+ (21. 7) то, вставляя (21.7) в (21.5) и (21.6) и написав условие о~+ЕЛ = 1, получим без труда: х+ 1 (х+ 1)а х = — — Аут — — АВул+ ... 2 2 Далее, для характеристик обоих семейств, выходящих из О, будем н метан лГу — / х+! -г -г охеу = Р' 2 'а х+ у ) ПОСТРОЕНИЕ БЕЗУДАРНО!'О» СОПЛА !!АВАЛЯ э м! и если искать нх уравнение в виде х = ткут+ то для 1-го семейства (знак плюс) получим: х = '+ Аут -)- т.+ 1 2 (2 1.8) для 2-го: х = — Ау-+ к+1 4 (21.9) Иа рнс. 62 дана схема расположения линии перехода и обеих характеристик.
Чтобы избежать затруднения, связанного с необходииостью знать радиус сходимости, Христяанович, Астров, Левин и Павлов предложили способ построения всего течения в эксплицитном виде, а не при Хораклтереемика 1 Рис. 63. Рис 62. помоши рядов. В основу они положили построение входного отверстия по методу Христиановича (9 17). Именно они приняли в качестве фиктивного потока течение через так называемый насадок Борда.
Уравнение этого течения имеет вид 12 теоретическая гилроиекаиика, ч. и (р + гч) = Ф + тт)г — е !е+"'. Линии тока схематически даны на рис. 63. Стенки насадка получаются при ту= + п(ч = + к/рг„) — линия тока дважды повторяет стенку насадка. Отделяя действительную в мнимую часть, получим: 1 —, — 1 р = — [Ф вЂ” е-е сов те'1, ч = — (Ф+е-'р з)п тюг). У Линии тока, для которых Ф = — ' к)2, могут быть приняты за «стенку» С фиктивного потока. Уравнения этих стенок будут ч= + =.~ — +Е У 'а), Р 2 178 тпорптнчкскип основы газовом динамики !гл Потребуем теперь, чтобы (7 было в точности равно тому значению, при котором соответствующая скорость и в потоке сжимаемой жидкости равна единице: $' = 2Д 1/' = 0,7679. / (л !)ача / (д4 1)л,! др ра дф — =и — '=, др р де др М' — ! ра др до е р др затем принять за независимые переменные ар и ф, а за искомые функции о и р и, наконец, принять за неизвестную функцию г =.= от — 1.
Написав разложение Г и р по степеням р и б (практически можно ограничиться членами с пятыми степенями), можно при помощи этих рядов отойти немного от линии и = 1 в сторону сверхзвуковых скоростей. Определив вдоль линии ~р = сопя!. (упомянутые выше авторы брали у = 0,44721) скорости в нескольких точках, можно ') Это связано с наличием множителя и' К под интегралом выражений для х через Н. Ср.
приблнжвнные формулы сгр. 143. Как показал расчет упомянутых авторов, контуры в плоскости (х, у) укорачиваются, так что линия и = 1 оказывается на конечном расстоянии '). Далее, весьма существенно то, что линия перехода оказывается отрезком прямой, перпендикулярной к оси Ох, и вдоль линии перехола скорость всюду имеет одно и то же направление, параллельное оси Ох (в несжимаемой жидкости поток стремится к этому направлению на бесконечности).
Мы уже видели в прелыдущем параграфе, что прямая линия перехода обладает преимуществом по сравнению с лругими. Тот факт, что линия перехода прямая, позволяет считать, что разрывов в сверхзвуковой зоне не образуется. Практически ход построения входной части следующий. Пересечение прямой перехода с осью сопла принимается за начало координат в плоскости (х, у) (положительная ось Ох направлена по оси сопла в сторону сверхзвуковых скоростей, отрицательная — в сторону дозвуковых скоростей).
Начиная от линии перехода (в сторону дозвуковых скоростей), расчет стенок ведзтся вплоть до тех мест, где и — 0,8 по формулам типа (17.2), упрощенных за счет того, что здесь $~ К О, и 1; начиная от того места, где и = 0,8, расчет ведется по формулам (17.23). В сверхзвуковой части следует сперва отойти от прямой линии и = 1 путйм разложения о и р в ряды, но не по степеням х и у, как это делалось в начале это~о параграфа, а по степеням з и ф. С этой целью можно использовать, например, уравнения с(аплыгииа (16.9), (!6.10), которые можно записать сперва в виде ПОСГРОЕННЕ «БЕЗУДАРНОГО ООПЛА ЛАВАЛЯ 179 4гн ззтем уже строить сверхзвуковую чзсть по методу, изложенному В 912.
На рис. 64, заимствонанном из упомянутоя работы, изображен профиль сопла, рассчитанного так, чтобы на конце его было О= 1,7; тут же дано распределение давления вдоль оси этого сопла, найденное экспериментально, Сравнение с рис. 61 подтверждает, что здесь удалось избежать появления скачка и связанного с ним искажения потока. СГС» СРЛЛа гч де сг Р ГГГГГ;ЛУ 7ЛЛ 4Ю т Д КЯУ Рис. 64. Наличие плоской поверхности перехода обеспечило «безударность» сопла.
Однако условие, что линия перехода — прямая, является достаточным, но пе необходимым для возможности непрерывности движения. Как показал Франкль '), можно использовать непосредственно уравнения Чаплыгина для построения входной части безударного сопла. При этом линия перехода будет, вообще говоря, криволинеинои. Франкль показывает, как можно продолжить ряды типа рядов Чаплыгина (9 16) в сверхзвуковую зону, и нахолит условия, достаточные для того, чтобы решение оказалось безударным.
Главная трудность заключается в том, что функция тока ф, которая по ЧаплыГину отыскивается как функция р и и, оказывается неоднозначной функциеи этих переменных в сверхзвуковой области, прилегаюшеи ') Франк ль Ф, И., К теории сопел Лаваля, Изв. АН СССР, серия чатем., 9, 1945.
180 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ !гл, ! к линии перехода. Остановимся несколько на выяснении этого обстоятельства. Способ изложения, более простой, чем у Франкля, был дан позже Фальковичем '). Мы будем придерживаться именно этого способа. Уравнения Чаплыгина берем в виде дт ро др дт М' — 1 ро дф — =о — —, д3 р до ' де е р др ' Примем за независимые переменные ~р и ~), а за искомые функции о и р. Получим р 1 дп да ро 1 — М' де д) (21.10) ров дф дт' р е дт дд' (21.11) Величина эта будет действительной как при )!4 ( 1, так и при !о!) .Р 1, причем при о с. ! о!.Р 0 и при о > 1 т! < О.
Совершенно элементарные преобразования дадут нам тогда — — — =о, дч р, /1 — М дэ др р Р ч др (21.121 (21.13) ~ — 1/ р, /1 — Модч д) — — — =О, р Р/ ч д:р дф и, если обозначим (21,14) получим окончательно О =-~-,",-+д()) д„'. (21. 15) о= ! — — +.
дч 1 дч дт ь(ч) дф' (21.16) Такая форма уравнений удобна при анализе перехода через скорость звука. Функция д(о)) может быть представлена около о)=0 (т. е. около о=!) в виде ряда по степеням тр д (О) + З'(О) + ') Фа л ь к ов и ч С. В., К теории сопла Лаваля, ПЛ!М, !948. Вместе с Франклем введем теперь вместо о величину т1= о)(о) из равенства ПОСТРОЕНИЕ «БЕЗУДАРНОГО» СОПЛА ЛАВАЛЯ 181 А л! цо (21.14) при т, = 0 мы имеем неопределенность, которая легко раскрывается.
Действительно, подсчитаем, например, Ьа(0) 8 (г0 ~/ ! — М')' (Ре)з 1,. (1 — Ме)~л Так как по (8.9) !Пп — = — — (я+ 1) 1ип )/ 1 — Ме Л (1 — М')гп 3 де 2 и по (21 11) 1!ш =з)ч = — 1!и — (ЕГ! — 88я), ;,.1ло =, 2 то Ь(0)= ~'(х+1)ь=! )' (х+1)'.
(21.17) Чтобы выяснить поведение решения около линии перехода (з)=0), заменим в уравнениях (2!.15), (2!.16) член Ь(~)) на Ь(0). Мы получим при этом главные члены ряда, представляющего точное решение'). Теперь (21.15) и (21.16) примут вид: — +Ь(0) — =0; «) — — — С=О. (21.18) дч дд дч 1 д) дф де ' де Ь(0) д5 Пусть ось симметрии сопла есть линия ф=О.
Тогда ~(~, 0)=0. Кроме того, т!(у, ф) = 4(у, — ф); р (у, ф) = — ~(~, — ф). Таким образом, р' солержит лишь нечзтные степени ф, а т) — лишь четные. Частные, точные решения системы уравнений (21.18) будут поли- номы (а не ряды): ~з,,) 9З'; б — — — ~АΠ—. — фя1, (21.19) Ав 1 1 ~ А' = ь (0)з ( 6 ~ ' ь (о)' 1 где А — произвольная постоянная. Смысл этой последней легко установить. Действительно, из (21.19) ( —. = А дул -з Ь(0) с другой стороны, дл дл де дх ду де дх дт так что, полагая О1 = е = 0 (точка пересечения линии перехода с осью ( —;)„..=-'"Г'( Р)...
~С*Р„,, ~ 1 у,ю~ 6, а~ 182 теоветические ОснОВы ГАЗОВОЙ динАмики <ГЛ, 1 (мы совмещаем начало координат в плоскости (х, у) с точкой 1=ф=О) Итак, а к=у=а (21. 20) А<0. Полиномы (21.19) годятся, конечно, лишь в небольшом удаление от линии перехода 21 = О, но зато лля всей области движения. Посмотрим, как в плоскости (чь ф) представятся переходная линия и характеристики. На переходной линии по (21.19) будет (21 = 0): Л е,2 2 через точку р = О, о = 1, Вдоль характеристик, прохолящнх имеем (10.б)1 а 1 + р=ч(ю), где 1(о) Но так как з)па= „—, и с1е 1 а= е1' М2 — 1, то, привлекая (21.11), найдем без труда: С1Б)=2 — )"' ( .
1) Хараетееистееа 1 Хайак1ейеие1еиеа Л ееаеаеаеа 111 < 0 ври о > 1). Таким образом, влоль характеристик, проходящих через точку х =у=О, будет р = + — ( — 2))" (21.22) 3 (в плоскости р, и характеристики— полукубические параболы). из (2!.19), получим для характеристик Рис. 65. Вставляя в (21.22) р и 2) 1-го семейства: (21,23) и для характеристик 2-го семейства А 9 = — — 62, 2 (21.24) На рис. 65 схематически даны в плоскости (е, ф) стенки сопла, линия перехода и обе характеристики. Ось Ох направлена в сторону сверхзвуковых скоростей, так что 1до„)дх)„е з> 0 и постРОение *БезудАРИОГО сОплА лАВАля 1ВЗ 4 м! Дивна перехода и обе характеристики, выходящие из точки О, делят всю полосу плоскости (у, у), отвечающую решению, на шесть областей.
Области эти пронумерованы на рисунке римскими цифачн 1 — Ч!, так что, например, во всей области Ч! мы имеем дозвуковые скорости. Посмотрим теперь, будет ли ф всюду олнозначной функцией от р и т) С этой целью исключим 7 из уравнения (21.19). Получим: Азфз+ ЗАЬЕ(0) ъ)ф — Здз(0) ~ 0 (21.25) 0тноснтельно ф это — кубическое уравнение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
