Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 25
Текст из файла (страница 25)
1!9): те = Ф+ !44 = — сК2 "е-аглх=,'ЗВ5 = с(('е-") ". Но тогла Ряс. 5! 4!Ж =)ге ~ = СОП51. Мзв Отсюда и получнгся (19.6). Так решениям Татаренчика отвечает (2п = — 1) ф+ й'= 1 ~га. Здесь линни тока — семейсзво парабол с общей осью — осью Ох, а линии равных скоростей суть концентрические окружности (с центром в нзчале). На рис. 50 видно, как искажаются зги линии нз-за сжимаемости. Крафт и Д!4ббл рассмотрели детально случаи, когда а=+ '/4, 4' '14, Ь 1. На рисунке 52 изображены некоторые линии тока и линии О= солж. для случая и = — з/42). Отлельио показано в увеличенном зиле поле, ооведенное квалратом.
Здесь как раз появляются прелельные точки. Лишь вне некоторой линии тока возможно физически осуществимое обтекание, сходное с тем, что разобрал Татаренчик. В несжимаемой жидкости атому движению отвечает обтекание угла в 60', В прнвеленных примерах вопрос о возникновении или невозникновеннн прелельных линий решается залним числом — после того, как решение получено, применяется критерий (19.1).
Нельзя лн, ') )1 ! п я ! е ь Г., Вхаще ьозиппеп 4(ез О!!(егепа!а!я!е!сьппяеп е!пег ашаьа!!2Ьег Оааз!готипй, 2АММ 20, 1949. ') К г а1! а и Л 0 ! Ь 5 ! е, 0нпепа!Она! АйаЬанс Союргевз!Ые г!Ою Ра!. гегпз. )опгпа! о! !Ье Аегопащ 5с!. 11, ЛЪ 4, 1914, ') Постоянные, входяп!ие в а„, подобраны здесь гак, чтобы максималь- ная скорость была г = 1,8. а ю1 клАССиФИКАция сВЕРХ3ВУКОВых ТЕЧЕНИИ ПО ХРИСтиАНОВИЧ' 165 од„ако, выяснить заранее, получатся лн безразрывные, имеющие ,рнзический смысл, решения при обтекании данного контура, прн данной скорости на бесконечности и при условии возникновения ,верхзвуковой зоны. Этот вопрос тем более важен, что очень редко удается получить точное решение задачи обтекания.
Почти всегда приХодится довольствовзться решением приближенным, а благодаря неточности того или иного приближенного метода мы можем пропустить появление опасных областей. Так, например, при неудачном подборе вхолной части сопла Лаваля может оказаться, что непрерывное движение не осуществимо, и в сверхзвуковой зоне возникает поверхность сильного раарыва (см, й 21). Некоторый свет на условие отсутствия или возникновения разрывов проливают работы Христиановича, а также Никольского и Таганова.
Мы изложим в общих чертах солержание этих нсследовзний. $20. Классификации сверхзвуковых течений по Хрнстиановичу. Рассмотрим некоторую область течения газа, Ограниченную четырьмя характеристиками. Пусть криволинейный четырехугольник М,МаМЗМ4 (составленный из дУг эпицнклоид) нзобРажает Рассматриваемую область течения в плоскости (о„, о ) (рис. 53), Пусть Рис. 53. луги М'М, й! М,' принадлежат к эпицнклоилам 1-го семейства, а дуги М'М', М,'М' — к эпициклонлам 2-го семейства. Как в плоскости (у, ф) расположатся точки М, М, М, М, Р 2 3' 4 являющиеся изображениями точек М1, Ма, Мз, М4 соответственно? Минимальное значение у может оказаться в одной из четырех точек Ми Мм Мз, М„.
Мы не рассматриваем злесь вырождающихся случаев, когда в плоскости (о„., о ) мы булем иметь, вместо 166 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ !ГЛ. 1 четырехугольника, дугу характеристик 1-го или 2-го семейства. Эти случаи полностью были разобраны раньше (см. 3 12). рассмотрим все четыре возможных случая. 1. 54ннимальное значение ф Оказалось в точке М,.
Двигаясь от М, по характеристике 1-го семейства МЗМа, мы будем попадать в область с большим ~7; следовательно, по (18.6) ф в точке Мя должно быть больше, чем в Мз. Аналогично этому, чтобы попасть в М, надо двигаться по характеристике 2-го семейства МЗМ,, и значение ф в точке М4 лолжно быть по (18.7) меньше, чем в Мз. Таким образом, в этом случае взаимное расположение точек Мя, М, М, будет таким, как показано на рис.
54. Далее, двигаясь от М, к М4 по характеристике 2-го семейства, мы будем получать по (18.6) для тангенса наклона с!ф7л«7 касательных к характеристикам 1-го семейства все меньшие н меньшие (по модулю) значения, ибо при передвижении по эпициклоиде от Мз к М1 О растет и значение (! Х) убывает, Аналогично, двигаясь по характеристике М,Мз от Мт к Мы мы по (18.7) будем встречать все меньшие и меньшие значения ) пф/с!у ) для характеристик 2-го семейства. Таким образом, можно установить хзрактер выпуклости характеристик обоих семейств.
Схематическое иэображение нашей области в плоскости (ф, ф) дано на рис. 54. Христианович') называет движения такого типа «течениями расширения». гр Криволенейные характеристики Рнс. 54. как !-го, так и 2-го семейства ведут себя здесь, если перемешаться в направлении течения (т. е. по линиям ф = сопя!. от меньших ф к большим) так же, как ведут себя прямолинейные характеристики 1-го семейства в задаче о движении газа вне выпуклой поверхности ($12, рис.
23). Возникновение предельной линии !п;ресечение характеристик) здесь невозможно. !1. Минимальное значение ф пришлось нз точку МР Передвижение от точки М, к точке Мт позволит теперь заключить, благодаря прелположенной минимальности ф в точке М, и на основании (13.7), что ф в точке Ма должно быть меньше, чем в Л!,; аналогично — ф ') Хрис«за нови ч С. А., О сверхзвуковых течениях газа, Труды ЦАГИ, вып. 543, 1941. а ю! КЛЧССИФИКЛ1!ИЯ СВЕРХЗВУКОВЫК ТЕЧЕНИИ ПО ХРИСТИЛНОВИЧУ 157 в М, булет больше, чем в МР Таким образом, точки М,, М2, М, р~сположатся так, как показано на рис. 55.
Если теперь мы будем перемещаться по характеристике 2-го семейства МзЛ!ч от точки М, к точке Мм то мы булем В плоск01 ги (ох оу) дВи гаться в сторону увеличе- Мч ння о н, значит, по (18.7) будем получать все меньший и меньший (по модулю) яа- аг, клон характеристик 1-го семейства (см. рис. 55). Аналогичным образом при перемещении от М, к М2 булем получать все меньший ллг и меныннй наклон характеристик 1-го семейства, Такие движения Христиановнч называет «течениями сжатия».
7 Двигаясь по течению (слева Рис. 55. направо по линиям ф = = — сопз1.), мы будем встречать характеристики Обоих семейств, ведущие себ1 так же, как вели себя характеристики (прямолинейные) в задаче о движении около вогнутой поверхности (8 13). Характеристики сближаются по направлению течения. Предельная линия может здесь возникнуть как огибающая кажлого из семейств у характеристик. Христнановнч говорит в таких случаях, что течение стремится к разрушению.
В случае !! тече- а$ ние стремится к разрушению М1 в трах направлениях: в направлении Возрастающих ф, 17, в направлении убывающих ф, в направлении движения. гр П!. Минимальное значе- Рнс. 56. ние ф приналлежнт точке М,, Движение по характеристике от М, к М приведет теперь, вследствие (18.6), к росту ф; лвижение от М к М,, по (18,7), — к уменьшению ф (см. рис. 55).,При лвиженни от М, к М мы будем попадать в область меньших о, значит, характеристики 2-го семейства, встречающие М М, Р 2 3' удуг подходить [вследствие (18.7)! ВСЕ круче и круче по мере перемещения от М, к Мз.
Напротив, если двигаться от М к М, мы 2 И 168 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОЗОИ ДИНАЬИ4КИ 1гл. г будем встречать вса менее и менее наклонанные характеристики 1-го семейства. Наконец, как и в предылущих случаях, при перемещении по любой хзрактеристике мы будем иметь монотонное изменение тангенса наклона втой же характеристики (неизменность знака кривизны). Такое решение стремится к разрушению в направлении убывающих ф, но в направлении течения оно может не претерпевать разрушения — рззрыв может и не возникнуть, ввиду того, что характеристики разных семейств ведут себя злесь по-разному. Этот тнп можно назвать «смешанным». 1Ч. ф достигзет минимума в точке М4. Теперь рост ф получим, двигаясь от М4 к М,, и убывание — двигаясь от М, к М,, При передвижении от М„к М, будем попалзть в область с меньшими о н, значит, по (13.6) характеристики 1-го семейства, пересекающие М4М, будут становиться все круче по мере перемещения от М, к М . Напротив, двигаясь от М к М,, будем встречать все менее и менее наклоненные характеристики 1-го семейства.
Дви>кение стремится к разрушению в направлении растущих ф (рис. 57). Как и в прелылущем случае, вопрос о возникновении линии разрывов останется открытым. Течения такого типа Хрнстгганович также называет смешанными, объединяя их с прелыдущнми. Мы имеем таким образом три типа течений. й(оигно было бы провести Рис 57. классификацию н по поведению характеристик в плоскости (х, у) непосрелственно, но алесь число классов пришлось бы удвоить. В самогл деле, рассмотрим направление вогнутости характеристик в плоскости (х, у). Имеем: — = — (а(р +- а). лу а'х Так что лау ! л() ха) лп Мх' ' соз'(3 =: а) ао ах ' Но вдоль характеристик 1см., например, (10.3)! 41р, сгй а Ло Р а по (9 22) да 2 сйп а соз а — „= — (и+ 1) — = — ( — + з!па а) —. 2 Таким образом, де, ! = + — — ! Созта — — з!Пта~. дхе соз'(5 ш а) нх о мп а соз а ! 2 1(ризвана обратится в нуль при значении а =а, где 1 3 е 4 з|п аа = 0,6325, соответствующее число Маха будет Мо = .— —— 1,565, о— Прн »=1,4 а о =у2.
Такае точки перегиба на характеристиках Отчетливо вилны, например, на рис. 49 и рис. 51 там, где наши характеристики пересекаются с линиями о = )/2. Таким образом, классифицировать пришлось бы отдельно для М «.. Мо и М~Мз. Посмотрим теперь, к какому классу движений принадлежит движение, получающееся срззу же за «переходной линией» (так мы будем называть линию, где о=а„) в сверхзвуковой области. Отправляемся на этот раз от уравнений (9.2): т дех Где» дет! 1 1 дет (11,— а) +о о ( — + )+(ет — а) — =О дх х У(,ду дх) т ду и условия отсутствия вихрей де„ до„ вЂ”" — — = О. дх ду Вводя величину скорости о и угол р, так что тт„=осозр, е =оз!пр, мы можем переписать наши уравнения в виде (ту — ая) !совр — + 51п р — — ) — ато ~СОз р — — з1п р — ) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
