Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Христианович нззывает это лзижение фиктивным пото- ') Конечно, должно быть У < 0,7579, чтобы было о с 1; см. уравнения 1! 7.8) — (17.10). доззкконые скояости метод лгнстилновнчл !35 ком, Таким образом, как только мы сможем найти обтекание нашего контура С несжимаемой жидкостью — сразу же мы наядам Ч' (а значит, по (17.9) и и) и р в функциях от !в и ч. Вели мы теперь сумеем установить, какая точка плоскости (рч ч) отвечает той или иной точке плоскости (х, у), то мы узнаем распределение скоростей (о, р) в точках (х, у), а затем по уравнению Бернулли давление, и тем будет решена задача обтекания с некоторой скоростью на -о какого-то контура плоскости (х, у).
Соответствие между точками (р, «) и (х, у) устанавливается с помошью уравнений (17.6), (17.7) и условий 4), 6), 6). Именно, будет: !' г соз д — рв в!п д х= — ! !=Э~ — — '=Нф~+хл', О О А в О А (17.! 1) (х„, ул — координаты той точки плоскости (х, у), в которую мы переводим точку А плоскости (р, ч)). В частности, вдоль контура с будет (ф = 0): соз 3 — / в!и я х= ! ' г!7+ха, у = / =в(1~+уз. (17.12) о о Чтобы нагляднее представить степень отличия контуров С н с, построим функцию тока Ф и потенциал скоростей вв для введенного выше фиктивного потока несжимаемой жидкости, обтекающей контур С в плоскости (р, «) с циркуляцией Г н со скоростью Р на бесконечности. В частности, будет дм сов я дч з!а З дФ Р дФ так что (гп= О) по (17.12) Р д~ х= ! ==-др+х; е дФ А' в„ (17.1З) / Р вгт е дФ А Отсюла видим, что для малых скоростей, когда Р1о близко к единице (и у близко к Ф), контур С будет близок к контуру с.
Так как чг/о ч,.1, то контур с будет искажен по сравнению с С, !36 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 1гл. 1 Для точного опрелеления величин х и у по формулам (17.11) нлн (17.!3) нала выразить ф и ф через р и о из уравнений (17.6) прн условиях 4), 5), 6). Чтобы это сделать, Христианович разбивает каждое из ф и ф на два слагаемых: ф='7 +ф"1 'ф=ф +ф' фо и фз удовлетворяют уравнениям где К =К(о. ), и краевым условиям: фа=О на С; ( д"') =фгК (д ) =Ч (17.15) При этом ф* и ф' лолжны уловлетзорять уравнениям: — ',", = ~ук —",,' +(М'к — ~ук ) — ","-"; дт . г дм ~~г~ ~,г~ ) дфе при условиях ф' = О на С и оо* и ф' ограничены на Оо.
Интеграция (17,14) при условиях (17.15) совершается элементарно. Так как 1Г К вЂ” постоянная величина, уравнение (17.1 4) означает, что фа+1 )Г К фо есть аналитическаЯ фУнкциЯ от Р+(о, и кРаевые условия (17.15) позволяют эту функцию определить. фз и 1ГК совпалают с потенциалом скоростей и функцией тока в соответствующей залаче дла несжимаемой жилкости. Олнако пРи нахождении фо н (Г)' фо не следУет тоРопитьсЯ с опРеделением «циРКУлЯцинв из условия регулярности в остриа А контура С (как это надлежало бы слелать в залаче обтекания),. Не надо забывать, что гидромехани- ЧЕСКИЙ СМЫСЛ ИМЕЮТ НЕ ЕО И фе, а СУММЫ ога+Э' И фа+ ф', ПОЭТОМУ надлежит оставить циркуляцию, входящую при определении фо и фр, назовем еа У', неопределенной с тем, чтобы после нахождения ф* и ф' найти А' из условия 6) для ф и ф (т.
е. требуя, чтобы обратились в нуль интегралы типа (17.11) по замкнутому контуру, обходящему вокруг С). Для определения ф' и ф' Христианович пишет ф' = оу, + фа + Ф, ф* = ф, + фя + %', (17. 16) дозвуковые скОРОсти. метОд хгистилновича 187 где О„(п = 1, 2) удовлетворяют уравнениям: (17.17) афи1«: (17. 18) д 1 д причем ф,=ф2=$ =0 на С и все шесть функций ограничены на бесконечности. Уравнения (17.17) сводятся к уравнениям Пуассона. Пуризм остроумного и тщательного анализа, на котором мы здесь не останавливаемся, Христианович не только дает в эксплицитном виде (квадратуры) решения системы (1?.17), но и нахолит точные выражения главных членов функций у„ и ф„ (и = О, 1, 2) на бесконечности. Затем он показывает, что Ф и гл" на бесконечности регулярны. Но тогда известны главные члены функций у и г), и мы можем подобрать Г' так, чтобы выполнилось для у и ф условие 8).
Далее Христианович получает: Г= 1/ 1 аа2 где (а) к+1 2 1 — Ь2 а à — полное значение «циркуляции» в задаче о движении сжимаемой жилкости. Мы уже упомянули о том, что при малых скоростях искажение с по сравнению с С незначительно. При малых скоростях для опрелеления контура с можно ограничиться «первым приближением», полагая у ~уа, ф фр. Остановимся на первом приближении подробнее. Обозначим 'Ра+'~ 7( фо=ф'+рр"). (17. 19) ') Разница по сравнению с Ф+Ж та, что здесь циркуляция будег Г, а не 1'. В случае отсутствия циркуляции Ф*+Л'*: — Ф+ Й. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ !гл.
~ В работе Христиановича и Юрьева' ) дан анализ первого приближенна как лля циркуляционного, так и для бесциркуляционного обтекания. В первом приближении есть возможность выполнить квалратуры типа (17.13) в общем зиле и оценить сразу же то искажение контура, которое мы получаем в методе Христиановича. '!тобы слелать зто, заметим, что если мы ограничиваемся первым приближением, т. е. принимаем ф 'уе=ф ф фе= у — 1 ' у' к„. то пользоваться точными формулами (17.11) и (17.12), дающими х и у через р н ж — нет смысла.
Более того, если мы в этих точных формулах используем наши приближенные решения, то выражения спад „- м з1ЕР (17.20) ду = дф+ — ' — дф з!п Р— Р, соз Р е е не будут полными дифференциалами. Чтобы сохранить в правых частях полные дифференциалы, мы лолжны дать новые, уже приближенные, представления величин 1!о и ре/ро как функций от 5, Обозначим == 92), — "=а(Б) 1 е ГР и исключим ф при помощи (17.2), Мы получим дх =~Рсоа~)/ К вЂ” — Яз!п~ —, ф— — дф дф 1 дф дф 1 — ~)Г К соа~Р— + (;! з!п ~ — ~ дБ, да д8.1 ду = ~Р з!п р УК вЂ” е- — Я соз р — пр— дф дФ1 д дя з — ~3~ К з!и рР + Я сов р — я] ~Ы.
Напишем условие того, что г!х есть полный дифференциал. Это булет: д Г .г — дф дф 1 — [Рсоа~ !г К вЂ” — ЯЗ1п~— дб1 г дб дтпл — — ~гК сов)Р д +Яап~ — ~. дй ') Х р и с г и а ио в ич С. А. н Юрьев Р!. М., Обтекание профиля прн локр~тнческой скорости потока, ПММ, т. Х1, вып. 1, 1947. ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ.
МЕТОД ХРИСТИАИОВИЧА 139 а !т! Выполняя дифференцирование и исключая старшие производные от ф при помощи (17.2), мы получим следующие два равенства: — (Р~Р'К )+ Я = О; — +!ггКР= О. (17.22) Эти равенства выполняются совершенно точно, если Р = 1!о, Я=р</ро, а у'К имеетточное значение (17.3). Посмотрим теперь, чем нам надо заменить Р и Я, если у'К мы заменим на 1ГК (в этом заключается первое приближение). Наши уравнения нам дадут сразу; (С='у"К (с,е з — сзечв), (17.23) Р=с,е в+ сзе+з; где с, и са — произвольные постоянные интегрирования. Эти постоян- ные мы полберам так, чтобы Р и (С равнялись их точным значениям прн о=о, Так как 5=1пг' я так как по (17.3) и (8.9) 1/ К вЂ” — — ' у 1 — 1142.
где мы можем написать 1 с, — = —.=.'— + с Г; е !" с 1 = = — С2Ъ', Тг е 1/! — М2 откуда получаем Г / / 1 = 1+; сз= ! . (17,24) У! — М Итак, в первом приближении мы должны заменить (!7.11) на мв — ~ =+сзЪ' соз!3с(Ф* — =' — ст)г жпргй'*~+х, г с1 ге ~р — 2 7 А' мл мв у — / ((='+ сТЪ') жп р г(Ф'+~=' — саЪ') соз р гР!" ~+ ул, мл (17.23) где с, и сз определяются по (17,24), а функции Ф' и (р' как функции от р и т нахолятся нз залачн обтекания в несжимаемой жидкости.
Нужно отчетливо помнить, что в то время, как 17 и р суть скорость и угол соответственно в потоке несжимаемой жидкости, Обтекающей данный контур со скоростью на бесконечности Г и с циркуляцией А, функции Ф* и 'Г предстзвляют обтекание того же контура и с той же скоростью на бесконечности, но с другой циркуляцией — Г. Как найти эту цнркуляцню7 Она получается, как 140 твоввтичвскив основы газовом динамики Егл.
! и для точноге решения, из условий олнолистности плоскости (х, у), отвечающей нашему решению. Подробный и простой вывод имеется в упомянутой статье Христнановича и Юрьева. Оказывается, что надо взять, как и в точном решении Г =Р )71 М2 Если обозначить комплексный потенциал нашего потока с циркуляцией 1" через Р', комплексный потенциал Ф+г'е' через Р, наконец, р+Гч=г, то мы сможем написать, в частности: —;а ~'а е'х (1 7. 27) и привести подынтегральное выражение (17.25) к более компактному виду: 1, е'Р— „ ~7(х+ 7у) = с, = г)Г*+ са — а'Р", ' сУ а ех й'х (17.28) (1 7. 29) и (17.28) примет вид: — е г га Н(х+1у)= сгг(х+ сзГ 1! — =) йх, х~ так что — г г- 2 1 х+гу= с,х+с,(' 1г+ = — =~. зР 3 Искажение может быть теперь легко подсчитано.
В случае обтекания вллипса, уравнение которого имеет вид Р' (1 1 ге)е + (1 г.а)е достаточно перейти от плоскости х (=р+Гт) к плоскости ч по формуле г' х =(+ —. Область Д ~ 1 отображается в плоскости (х) на область, внешнюю где дР' — комплексная сопряженная с ~7гт*: ~~Р' = аФ' — 1 гРР*. Приведем пример.
Пусть в несжимаемой жидкости в плоскости (р, «) имеет место бесцнркуляцнонное обтекание круга радиуса 1 со скоростью Г на со. Тогда 5 гй ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ. МЕТОД КРИСТИАНОВИЧА !4! по отношению к нашему эллипсу. Равенство (17.28) мы запишем теперь в виде: 1 гГГ' ЗГ Н. /Л;! с((х+!у) = с = — г!я-к с — — ( — ' — ) г!г. = г,„р З,.
~ з Л~ ЛС (,Лз) к: (17.30) Прн отсутствии цнркуляции 7Р' = Р. Тогда, производя несложные выкладки, получим: га Т вЂ” з ! !+ге(гз — 2) ь — г — ! х+!у = с, (" + — )+ сз)г +(+ с ) ~ 2гэ с+с ггс ) Если эллипс снльно вытянут так, что г — 1 и ! — г = е, где е— малая величина, то можно приближйнно написать х+гу=с!~' + +сз1 о(г+ — )' Этот последний профиль будет весьма близок к нашему эллипсу. В общем случае циркуляцнонного патока уравнение (17.23) или (17,30) позволит сразу выяснить особенности, которые зозннкзют У из-за обращения в нуль функцвй г)Г/(." и )Г)у.. За подробностями мы отсылаем к цитированной работе Христиановича и Юрьева, в которой показано, что если контур в плоскости (р, ч) гладкий, то на контуре в плоскости (х, у) возникнут в местах, отвечзющик упомянутым особенностям, угловые точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
