Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 18
Текст из файла (страница 18)
дх ду решая эти уравнения относительно ох и с(у, получим: й Рй дозвтковые скоРости таояия члплыгинл. примввы П5 Нам остаатся только исключить х и у путем перекрестного дифференцирования уравнений, входящих в (16.7) соответственно. Мы получим сперва (роГр по (!6,1) зависит лишь от о): — Мпр дт ро Г дф спой дт . й дд д Уро! созй о о з1пр ' ( )' Ро до г дт соя 6 дт р,, дф МпР дт дд о1 /ро1 — — —.-'.
з1п3 — = —, —,+сов~ — ° — ~ — ~. Р де Рп ' дп Ро д(о дз 'дп(р /' Умножая первое нз этих уравнений на — гйп Р, второе на соз р и складывая, получим: (16.8) Умножая первое из наших уравнений на сов!о, второе на з(яр' и складывая, получим: дт оо дф д3 р дп' (16.9) Представляя ро)р по уравнению Бернулли (!6.1), будем иметь: РΠ— — 1 аз Ро РР' ] х+1 ат Ро де РР или, так как по (8.9) Уо — — 1 а 2 по — ~ — — = 1=Ма — 1, х — 1 по аа 1— х+1 а, где М=о/а, мы можем написать вместо (16.8) Мы получим окончательно: 1 2т (1 — т) -о — дф 1 дт ' х -1- 1 2о (1 — т) да дт дй (16.12) д, И вЂ” 1„ОФ де и р др Наконец, введем вместе с С, А, Чаплыгиным вместо о величину т: (16,11) х 1 * 116 теояетгшеские ОснОВы ГА30ВОЙ динАмики 1ГЛ.
1 или одно уравнение для ф: «+ 1 1 — 2«(1 — т) " ' — '~ -+ (1 — т) " ' — =О. (16.13) д! ! д: ~ 2«(1 — е) дре Уравнения (16.12) и (16.13) решают вопрос о движении газа, если известна область переменных т, р„отвечающая этому движению, если дано ф на границах этой области, если везде внутри области т, р.
функция ф со своими первыми производными конечна, однозначна и непрерывна, наконец, если всегда будет 0(т( ", т. е. 0(п(а„, (16.14) и только в отдельных точках контура области может быть т = 0 или « — ! т= —. Остановимся на доказательстве определенности вида функ- =«+1' пин ф, удовлетворяющей указанным условиям.
Применим доказатель- ство от противного: пусть есть две функции ф, и фз, удовлетворяю- щие нашим требованиям; покажем, что ф,— фа=О. Функция фз — — ф,— фз в данной области (т, 'р) конечна, непрерывна, удовлетво.яет уравне- ниям (16.13) и обращается в нуль на контуре. Умножим (16.13) на фас(тг(р и проинтегрируем по всей нашей области (т, р). Обозначая результат интегрирования через !', получим без труда ! Г= — ))~2!!— 1 7+1 ! 1 ч-/ (2*!! — ') ' ь ~.'ч!чдф, «+1 + «1 (1 — т) "-' ф дф! !(т =О, 2«(1 — «) ' з дз где двойной интеграл распространен на всю площадь (т, 3), одно- кратный — на еэ контур.
Но на контуре будет фа=О, значит, равен- ство 1=0 может иметь место лишь при условии равенства нулю двойного интеграла, а при высказанных выше условиях подынтеграль- ная функция в этом интеграле не может быть отрицательной. Ясно, что надо принять эту подынтегральную функци!о равной нулю, так что внутри области будет везде —.! = — ~=0, т. е, уз=сопя!.=О. дт дз В работе С. А. Чаплыгина доказывается, на основании (16.14), что и ф и ф, рассматриваемые как функции координат х, у, не имеют Э ]б] ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ ТЕОРИЯ ЧАПЛЫГИНА ПРИМЕРЫ 117 в области течения нн максимума, на минимума; далее доказывается с помощью (16.10) и (16.11), что р как функция от ф и ф не имеет ни максимума, нн минимума, а т не имеет максимума (мш<имум -.=О). Отсюда следует, что в области ф и ф не может существовать замкнутых кривых, вдоль которых х, у, т.
]3 сохраняли бы постоянное значение. Наконец, из (16.12) заключаем о невозможности существования максимума или минимума функций ф и ф от т и р. После того как функция ф, а зз ней р определены, остается ещв показать, что эти функции действительно представляют функцию тока и потенциал скоростей, т. е. надо показать, что формулы для ф и ф определяют т и р в зависимости от х и у однозначно. Для этого достаточно показать, что якобиан 0(х, у)/В(т, ])) не обра]цается в нуль внутри области (т, р)] рассчитаем этот определитель: )У(х, у) В(х, у) !У(т, ф) (У(., й),0(т,ф) ' !У«, 6) ' Но на основании (16.6), (16.7) и (16.1): ! 7](х, у) (1 — т) " ! а — 1 .0 (т, ф) а~> к + 1 и на основании (16.!2) 1— ! ! п(т, ф) ! — — Гдф]! а+1 — „!дф~* В«, Р) 2 (1 — ) ],дР/ — (1 — т) "-' ( — ) — 2т(1 — т) 1 д: Отсюда видно, что если всюду будет 1 — т )~ О, т. е.
о < а„то а+ 1 равенство В(х, у) возможно лишь при обращении в нуль обеих производных дф]др и дф(дт одновременно. Это может быть лишь в исключительных случаях. Обратимся к задаче о струях. Будем рассматривать течения газа, прегражденные плоскими стенками, с краза которых газ срывается, обтекая затем области постоянного давления. Будем искать частное решение уравнения (16.13) в виде: ф = л„(т) б1н (2лр+ а„), где дл(т) — функция одного -., а л и а — постоянные. п Для определения зб получаем уравнение ! ! —— «+! ! —:тб — -.> "- — — б — б -' '* =О П»>! 116 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАЗ1ИКИ [ГЛ.
1 ИЛИ т (1 — с) —" + т11 + " тс — — п 11 — т) г = О. 2 асгл / 2 — к ! ссгл з! л+! асс л Положим теперь: ал=тлУл(т) П) 0; мы получим для определения ул уравнение: с (1 — с) —."," + ~ 2л + 1 + ( — — 2п — 1) т ~ — "— + + (2+1)у О ул (16. 16) Это есть известное уравнение для гипергеометрнческого ряда. Составляя характеристическое уравнение для показателя р в области точки т = О, имеем: о(р — 1) +(2п+ 1) р = О, т, е.
рз — — — 2п. Сохраняя то решение для ф. которое остаатся конечным при Т=О (т. е. беря р, = 0), мы будем иметь, пользуясь обозначением Гаусса: ул(с) = В(ал, дл, 2п+1; с), (16.17) где а +Ь =2п —; а Ь„=-— 1 л(2п+1) л л л л, ] Посмотрим теперь, какие из задач указанного выше типа могут быть решены при помощи функции ф = А + В~ + ~р~ Влал (т) з|п (2пр + ал), где и пробегает счатную последовательность возрастающих положительных вначений, А, В, Вл, зл — постоянные.
Так как газовая струя ограничена линиями тока, то вдоль контура области (т, р) функция ф должна принимать те или иные постоянные значения. При зтом, если рассиатриваемая часть контура отвечает плоской стенке, то вдоль нее 1) =сопз1.; если же речь идет о своболной поверхности, то там будет р,=сопз1., и по уравнению Бернулли о=ос=сена(., а значит. и „з 1 = т, = сопя!. +1 — а к — 1 Сравним теперь нашу задачу с задачей о течении еесжимаемой жилкости при тех же граничных условиях, т. е. при том же располо- женин стенок, при тех же скоростях в бесконечности и при тех же скоростях на границе струй.
Задача о струйном течении несжимаемой жидкости была решена по методу Жуковского в части 1. Следуя атому методу, найдем связь между переменными !п — '+!р= !п ~/ — '+!р тв = Ф+ Я', где Ф и %' — потенциал скоростей и функция тока в соответствую- щей задаче о несжимаемой жидкости. Пусть мы получили ш = у' ! !и )/ — '+ !р); (16.16) предположим, что г" может быть разложена в ряд вида: та=К+В~!п~~/ — ')+ !р~+ ~ К„( — ") е-т"З (где К, В, ʄ— постоянные), так что чг = А + В!!+ ~~ В„( — ) з!п (2пр+ а„), (! 6,! 9) где А, „— некие постоянные.
Наша задача о течении газа разре- шится тогда формулой: !т'= А+ Вр+ ~~ В„( — ) — ' з!п(2ир+ а„), (16,20) где у„(т) есть гипергеометрический ряд (16.17), у„,=у„(т,), ),— постоянные, а А, В, В„имеют как раз те значения, которые входят в (16.19). В самом деле, при т=т, правые части (16.19) и (16.20) совпадают, — значит, если было 9г = сопя!. при т = т,, то будет ф = сопай при т = тн Далее, если при каком-нибудь значении р.= ра функция, определяемая (16.19), не зависит от -, то это будет лишь, если з(п(2ара+а )=0 при всяком и, участвующем в сумме. Но гогда и правая часть (16.20) будет постоянна при том же р.
Таким образом, ф из (16.20) будет удовлетворять граничным условиям задачи. Формально (16.20) удовлетворяет уравнению (16.13). Таким образом, если ряд (16 20) будет сходиться при всяком т «н а при будет стремиться к тому же пределу, что и ряд (16.!9), причйм не только ряд (!6.20), но и ряды, составленные формально из (16,20) путем его почленного дифференцирования по т и будут сходиться абсолютно и равномерно, то мы вправе считать, что частные производные дф/дт и дф/д!! находятся путЕм дифференцирования ряда (16.20) и что ф будет действительно искомой функцией тока; тогда, используя (16.12) и (16,6), мы сможем по известному ф з щ дозвяковыи скояостн.
тиояня члплыгинл. пяимвяы п9 120 тиояитичискии основы глзовои динлмики !гл. ! найти а, х и г. Задача будет решена. В частности, по (16.12) имеем для и!а: Л г!!у = Л вЂ” т и!Р + Л вЂ” дт = д дт дй 'дт л+1 ! 1 — — т ! д-. 2 (1 -.) ар =Л2т(1 — т) "-' — ~с(6 — Л вЂ”, " (1 — т) -! дф г(ив 2В 1 ! тв (т(1 — ) * г 5!п(2ир+ал)!гр а+1 1 — — т ! — и (1 — т) "-' г„соз(2и6+а )с(с~в 2т(! т) л в а+1 — В (1 — т) "-' с!т.
2т (1 — т) Заменяя члены, стояшие при г(т под знаком Е, при помощи (16.16) и выполняя интегрирование, получ!гм без труда: ! ! -! Лр=С+В(1 —.) - — ~ 1 ", ' дав 2 д ! — (1 — т) *-' !' В„~ — 1 У" х„(т) сов(2и~+ а„), (16.21) Уж ! где ув х =1+ — —. и у„' Доказательства сходимости даны у Чаплыгина. В качестве первого примера на применение метода Чаплыгина рассмотрим удар струи газа в пластинку, перпендикулярную начальному направлению струи; предположим, что струя симметрично делится пластинкой на две части, причем лана длина пластинки 21 и толщина струи на бесконечности — 2д, а также задаиа скорость на границе струи. В случае соответствующего движения несжимаемой жидкости потенциал Ф и функция тока чт связаны с 1по!/о и р формулой тв=Ф+1!Лг= — — !и 1 — '", ), (16.22) з!и' (Р— !1п о' ) ~ где !",!(2 и — ф2 суть значения !е' на верхней и нижней внешних границах струи соответственно, а ги — угол, под которым каждая из двух частей струи наклонена к оси Х на бесконечности [см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
