Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 19
Текст из файла (страница 19)
часть 1, глава шестая, формула (1?.1О)). 2 12] ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ. ТЕОРИЯ ЧАПЛЫГИНА. ПРИМЕРЫ 12] Чтобы решить задачу о струе газа, разло)ким (16.22) в ряд и отделим его действительную и мнимую части. Имеем сначала; -~)-я»=2]пз!п(~ — 11п — 1 — !п) з!п ~~ — 1]п — ) — яп т~.= 2 =2]пяп(~ — !!п — ') — ]п~соз2т — соз2(р — !!и — !й+!п 2 = !п — '+!!] !п — '+ 1Р— !т !п — '+!Р+ !т Р Ю Р =2!пз)п — 1п яп — !П 5!П Вводя вместо тригонометрических функций показательные, получим: — =2]п(! — е " ) — !п(! — е — 1п 1 — е -2)и — 2! (2-»л)~ и, о -2и1п— и» к' е (Š— 2ий- п)!+ в-2л(2+л»)! 2Е-2ла!)— и л=1 о» -2п )и— и, жп е = — 2 У (1 — сов 2ит)(сов 2и~ — ]яп 2иД. л=1 Наконец, для )е' получаем, вставляя 2 !по]/о=1пт))т] — )р= я — ( — ~ з!п 2и~(! — соя 2ат).
О ло1 Таким образом. для газовой струи можно написать — = г — 1( — ) — п(1 — соз 2ат) яп 2ир. (16.23) %2 1/, ' Уп(,) Ул(т!) Вследствие (16.21) мы можем затем написать (В=О): "т (! ) .-1,») — ( ~ ) Уп~и (1 — соз 2ит) соз 2и~ (16.24) 1 и т» у (т) (мы взяли С=О, что ф=б, но и 2»=О). и т; воспользуемся Для определения означает, что при т = р = О мы берем не только Остаатся только определить значение чисел (,) для етого известными нам величинами ! и !). представим поток жидкости через прямую, 122 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ !ГЛ. ! перпендикулярную к оси Ох и находящуюся на бесконечности исаева»„ двумя способами: во-первых, н +ь +ь ~ орг(у) = ~ огрга!У=2догр1, ь ь=-ьь -Ь где 1 РГ=РЬ 1 .
+1 во-зторых: таким образом, ' '=2до1 !в 2ао,р, Г о '( -1 Ра +1 цз х — 1 (16.25) Чтобы найти лг, запишем, что длина пластинки есть 2!. Так так при перемещении вдоль пластинки будет ф = сопз!., т. е. Ь(ф = О, то вдоль пластинки г(у = — г(ф+ — с(ф = — г(ф ! ду ду ду дт дф дт кроме того, на пластинке Р = сопз!. и Фф = — с(р+ — с(т = — с(т, д: дт Таким образом, вдоль пластинки ду = — — дт, ду дт = дт д- так что вдоль верхней части пластинки будет (Р = я/2)! 1 дт но, вследствие (16.6), ду ми 6 д:» о У ь!и Р '+ х — 1 а ий дозвтиовыи сКогости. твовия чаплыгина. пгимввы 12т и, следовательно, Воспользовавшись второй из формул (16.12) для выражения дат н вспоминая уравнение (16.!5), которому удовлетворяет з„= тиу„, получим для 1, вследствие (16.23): „,х ОЭ %т ( — 1)"+1 1 — сов 2лт Р 1 ела т,"ул (х,) Лг ° р'х ах Их В этом уравнении ! нам задано, а Я определяется по (16.25).
Таким образом, мы можем из (16.26) найти т. Остановимся еще на выражении сопротивления гс пластинки. Очевидно, что )с=2 /(р — Р,)г(у=2 / — — (р т) г!т — 2Р,1, 1 1 г дтт 0 о .+1, )7,-~ Ф . а, где Р,— давление, отвечающее скоРости ои т. е. давление позади пластинки. Но по уравнению Бернулли (формула (8.10)]: Р = Рз (1 — т) * ' ° Р1 = Ро (1 — "~) * ' где Ре= а,Р. Таким обРазом, бУдем иметь длЯ )с: я+1 г (') а х+ 1 %1 ( — 1)а 1 — соз 2лги в+1 ' 4 ~~~у„ х — 1 ч Х Р (1=.) *-' и Г х-1 ~ли Х ! !!х(1 т) «-1 — ",!т — 2Р,!. (16.27) о г'т Лг ат Интегралы, входящие в (16.26) и (16.27), легко вычисляются.
В самон деле, обозначая неопределенный интеграл (! 6.26) через Е= )' с!у =— х+1 о а„тг/ х — 1 ч г 1з! дозвгковыв скогости. тяояия члплыгинл, пгимвяы 126 Первый и третий члены правой части сокращаются (см. выражение для р!). Что же касается суммы, то она вычисляется в виде Х ( 1) 4«* — 1 4 (1 — соз т). (16.31) 1 у —.! Заменяя ~/ ! а,ф -.,=о, и вставляя (! из (16.25), получаем: ! „г !т = 1,)ре(1 — соз т) о, = 2Ьре 1 — + ' ~ (1 — соз т) о1а. — л„, (16. 32) Запишем еша, используя (16.28) и (16.31), ! из (16.30) в виде !! — (1 — соз т)+ х— С + ~~~~ ( — 1)«е 4 " 1 (1 — сов 2ит) ~ (1 — т1) " 1.
(16.33) « Р Легко видеть, чтох„=1+ — — "= — ! — "+у') = — ". Деля л у„ лу„ ! т «/ лл« ' (16.31) на (16.33), получим окончательно й = 2!р о~ х+ «г лл«(т~) Х( — 1)"' (1 — соз 2«т) 1 — соз т а«! 4«' — 1 1 (16. 34) где р,— по-прежнему плотность позади пластинки. Напомним, что т приходится определять из (16.33) после того, как ч! известно. В случае, когда Ь= со, т. е. на пластинку набегает поток бесконечной ширины, мы получим, очевидно.
В качестве второго примера рассмотрим истечение газа из беско. нечко широкого сосуда. Пусть дзвление во внешнем пространстве есть Рн давление внУтРи сосУда, на бесконечности, там. где скоРость о=О, есть Р . ПУсть Рз) Ро Обозначим шиРинУ отвеРстив !Ю ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 1ГЛ. 1 ВВ' (рис, 42) через 211, а угол, который составляют стенки с осью Ох. — через сгл)2 (при сг= ! получим истечение из сосуда, у ко.
торого стенки служат одна продолжением другой). Для соответствующей задачи в несжимаемой жидкости мы будем иметь (см. ч. 1, стр. 321 и далее; мы применяем рассмотренную там нумерацию линий тока): В=-Ф+1Ч'= с' — — с л[гс.[ ' )). В При этом, когда !! = О, мы имеем справа действительную величину. т. е. Чг =- 0 (ось Ох — середина струп).
Если 6 = лд/2 (прямая АВ), получим Рис. 42. Чс=- — (',)!2; то же значение Ч' будет на нижней границе ВС струи(о11гп= 1, 3 > 0). Если же 3 = — лсусс2, то Ч =сг!2 (стенка А'В'), и если 3 < О, о=о, (верхняя часть В'С' струи), то тоже будет Чг=(;)(2.
Мы можем представить и в виде: 111(а — с1с — ') 1 — 11С ! 1-1 1и — ) 1 лс с е — е э — 1п л 2 1 е[' ! — — 1 — '+ — !п — ' — !п2+!п~! — е а1сс """гс' ~ . (16.36) сс 1 11 Разлагая в ряд !и, получим: — '(Ф+ 1ЧГ) = е 1 о, 1 е ' "М 2л, 2п = !п 2 — — ~!п — '+ ф)+ 1~~~ — ( — ) (соа — !9 — 1а!и — — 6), л=1 так что.
если и1о, =(-.!ег)А, то , ам —" Ч'= — — ' — ~ — ! 51П вЂ” Р. сг л!с / с) л -1 Ряд этот — абсолютно сходящийся. и, применяя формулу (16,20), получим для функции тока ф, определяющей истечение сжимаемой жидкости нз того же сосуда и при той же скорости на струе: сы (! — !) " ' 1 /'(! — Т) а ,у=С-- + — / — а»т+ 2~у,/ т рр — — аз ! Г т 'Л»Р УЛ» 2ЛЗ +(1 — т) * 1,7 — ( —.) — "'" соя — ', (16.38) Уа»р, 1 а=-1 Остается только определить 1',». Чтобы сделать это, найдем, как меняется у вдоль струи.
Определим сперва вообще у как функцию от т до В. Для этого напишем выражение для ду/др. Имеем: ду ду дя ду дф — = — — + — —. ар = дт др др др Но ду 1 дф Р РМПЗ ат О дх Рр й ду 1 ат есор Р в ах в где 1 Р— !' 02 (1 ) -102 Рр Таким образом, ду . ат дФ ! т! — = 51п р — +с05 р — (! — 5)" а3 д3 дз Воспользовавшись (16.37) и (16.38), мы получим: Г к+1 2 ду -"- !/ — — а р — = !)» з — ! * а!з рр 2 — — Ч~ ч ( р )л»Р Уам ° 2 ла .
2ПВ ! Х ГдП вЂ” 51П В + СО5 — — Сов ~~— у да ! я ! 1 — — соя В (1 — т) Интегрируя по р', получим: -- )г а„ту= / л.1-! 2 2 =С(т) — — (1 — т) х- у 1 ") хз / 51п 51прар+ л 1 2ПР ! + соз — соз р а»р — — 5!и р (1 — '1) 17 » 16! ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ. ТЕОРИЯ ЧАПЛЫГИНА. ПРИМЕРЫ 127 Потенциал скоростей по (16.21) запишется в виде (В= — 1/17)! 12В теогетРИРескРРВ ОЕИОвы ГАЗОВОЙ дР!ИАмикн !ГЛ.
где С(т) — произвольная функция от я Так как при р = 0 мы должны получить у = О, то следует считать С (т) = О. Вдоль линии тока т=т, (граница струи) имеем '): Второй из интегралов, стоящих справа, легко вычисляется. В свмом деле, так как по известной теореме тригонометрии Б!и (2/и+1)— р ул соз л=! яп— мы можем написател 2т+! — 1 яп— Но У л япл 4' о причбм знак плюс надо брать, когда у) О, и знак минус,— когда р (О. Итак, — ) %л 2ПЗ 1/ совр ~~ соз — сгр = — ~ — Б(п~+д —,). 2( 2)' о л=! Таким образом, вдоль границы струи ! н / х+1 2 — „! 2 ! жч, 2пр я — 1 а т! (1 т!) у .! 5(п р ~ хл Бгп г(р+ о л=! призам — и/2 будет для нижней границы (р ) 0) и н!2 — для верхней (р < 0).
') Подробности о сходнмости рядов см. в работе С. А. Чаплыгина. ! — а лгу= — (1 — "Н) "-' — / Б!П!р Р) Г о Б -(-. ~ ..—.!) 2п~ о о л=! лл 2пз . 1 г 5!и сОБр соз — ггр = !!и! — ~ сОБ р 2 о л:1 о х (т )яп — пРр— 2пй л л=! ! (1 — т,) Б в И!! ДОЗВ5КОВЫВ СКОРОСтн.
ТЕОРИЯ !ЛПЛЫПШЛ, П! ИМЬРЫ 12П В точке В будет в точке В'. Таким образом, мы получим связь между Я и Ь в виде: 2ло Хл (т1) / 51П р 51П ар = О Д 1 СΠ— 17 а т (1 — т )' ! (т.=х — —, 2х Г.х+ 1 Π—,— ! 4 ът 1) У х — 1 "1 ! т! юи л=! 4лв 1 л=! 2 . и. = Х вЂ” — 5!П вЂ” 1! 2 Мы вернамся к несжимаемой жидкости, полагая у а т = -Г .+1 У х — 1 * л =ю, х чм1, ! — е -э1. Так как 1 о яп (2л! + !) — + сов ! 2лб Ч 2яп— т Х- л=1 то 2лз 5(п р 51п — атп = 4 л=! О причем верхний знак надо брчть при р) О и нижний при р' ч О. Теперь получим — (! = ° + — ! 5!и 'р С1о — атр, 2тто, 2 !' () х , ,l о что совпадает с формулой (17.6) ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
