Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Хрнстиановнч н Юрьев показывают, как можно избежать появления этих углов!ях точек в плоскости (х, у) подбором специального профиля в плоскости (р, ч). На рис. 44 е появления о дан прим р со бенностей в контуре на плоскости (х, у); здесь М = 0,333 н Г"(Ь' = 1, причзм обтекается в плоскости (р, У) круг радиуса 1. На рнс.
45 дан в плоскости (х, у) гладкий контур, обтеканию которого отвечзет в несжимаемой жидкости (в плоскости (сь У)) 142 твонвтичгскии основы газовом динамики !гл. г движение вокруг контура, изображенного на рис. 46. Этот последний контур есть крус радиуса 1, к которому присоединен отрезок дуги круга ббльшего радиуса (как и в прелыдушем примере М .= О,333, 1"!( „= 1).
Рис. 46. Рис. 46 При больших скоростях нельзя ограничиваться первым приближением. Вычисление функций чп ф, бывает громоздко, но можно воспользоваться следующим рассуждением. Для дт вдоль контура С имеем: ду = — дн+ — дч, — дт дт ди д» (17.3!) причам д», например, можно найти через дн при помощи формулы д»г» = О = — ИР;+ — дч = ф' К !Х вЂ” ди+ — чтч) . дГ дй — 7дф, дф, д!х дч ~ дп дч Таким образом, вдоль С 1 ! дт дфо ду дф» 1 дт = — — — — — — д!ь дф, (, дн дч дч дн 7 дч (17.32) С другой стороны, мы можем написать приближйнно: — — + — +— дт дт, дч, дуя дн дм дн дн пренебрегая членом дФ/дгс Пренебрежение функцией Ф (илн Рр) означает, вследствие (1728), что мы можем пренебречь в формулах (!7.17) (для и = 2) членами дф,тд» и дф»/дн, но тогда д =О '( У)(") д а 171 доз вукопьге скОРости. метод хо истиАновичА 143 а если вставить дф,/дз из первого из (17.17) для и =1, получим: Вспомним еще, что )/К дфс/дт=дт/дж мы получим теперь Ф=Нг'Е-')'1Ф у' —." 7.' Аналогичным образом найдбм, что -ь:-[' (Гг~к - д 0 ° .гтг,г '", Вставляя зто выражение в (17.32), используя еще раз (17.14) и пренебрегая членами, содержащими тн по сравнению с членами, содержащими т,, получкм окончательно у к (17.33) где г' — скорость в несжимаемой жидкости (отличная от )г, ибо за циркуляцию мы бербм Г*, а не Г).
Таким образом, вдоль контура с будет на основании (17.11): х / = — )гг — (2 — )à — ) сгр+хл1 "А у / — ~77 — (2 — ~/ — ) ггч + у А Остановимся еше на следующих весьма простых соображениях. Предположим, что мы изучаем в плоскости (р, ь) обтекание круга (хотя бы бесциркуляционное); в плоскости (х, у) мы имеем сплющенный круг. Пусть скорость фиктивного потока ))г = 0,35; ей отвечает скорость сжимаемой жидкости о =0,36 (близкая к (г. ).
Но максимальная скорость о„„, получающаяся в сжимаемой жи кости, будет близка к скорости звука. Действительно, о,„получится там же, где )г достигнет максимума. Но ))г„з„=21Т =0,70, а этой скорости отвечает по таблице о = 0,825. Скорость звука булет достигнута, когда булет о= 1, т, е. при )г=0,7577; значит, в нашем примере сплющенного круга при )г =0,757712=0,3789, т. е. о ж0,354, мы обязательно получим звуковые скорости на контуре. Очевидно, что это явление еше раньше возникнет, если контур с в плоскости (х, у) будет точным кругом.
Таким образом, можно с уверенностью сказать, что при о > 0,35 при обтекании круга возникнут сверхзвуковые зоны, ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 144 1гл Можно ожидать, что при обтекании вытянутого контура, например профиля Жуковского или профиля крыла современного самолета, искажение будет получаться гораздо менее значительным, чем в случае круга. Но если грубо считать, что профили с н С тождественны, то метод Хрнстиаиовича лавт замечательное срелство быстро рассчитывать распределение скоростей и давлений вдоль профиля крыла с учетом сжимаемости при любых дозвуковых скоростях, если известно обтекание крыла при малых скоростях. Действительно, пусть мы получили, хотя бы путем продувки крыла в аэродинамической трубе при малых скоростях о, на бесконечности, распределение давления вдоль крыла С.
Пусть о, настолько мало, что эффектом сжимаемости можно пренебречь: критерием этого может служить, например, то, что величина о,)а„будет почти совпадать с соответствующей величиной 1Г н с таблицей. По уравнению Бернулли для несжимаемой жидкости 2 ( ) ')нес:е Р— Р„, е7еееее я 2 Мы считаем, что е7 в каждой точке профиля известно, значит, мы можем найти 17(О, для каждой точки профиля.
теперь спросим себя, каково будет распределение скоростей и давлений вокруг крыла С, если скорость на бесконечности будет пя, причем оя)) О,? Рассчитаем сперва о,,/ае=пв; обратимся затем к таблице или к формуле (17.9) и найдем соответствующую скорость фиктивного потока несжимаемой жидкости; пусть это будет Р',; для этого фективного потока несжимаемой жидкости конечно снова будет где е)„„принимает прежние значения в соответствующих точках контура, Так как Рея известно, эта формула позволит найти 1Г для каждой данной точки нашего контура С. Тогда по таблице мы можем найти безразмерную скорость о для каждой точки контура с, близкого к С 1а грубо говоря, тождественного с С) и обтекаемого со скоРостью Оэ на бесконечности.
Распределение давления найдется затем по формуле $ >7! дознуковые скОРОсти, метОд христиаиовичх 146 В начале этого параграфа мы уже упомянули о том, что сейчас имеется много работ, посвященных приолижеиному решени>о задачи о движении газа с дозвуковыми скоростями. Из этих работ значительное число отправляется от уравнений Чаплыгина. Сам Чаплыгин предлагает перейтн от переменных р, т к переменным 1», о, где > лО а = — и! — 11 — Т) "-' дт+ сопз1. = — и! — —. + сопз1.
117.34) ,/ 2т Уравнения 116.12) примут тогда вид др дф дй дф др' дк ' да д~й ' где к+1 К— к — 1 1 — ок ) ( — ранее упомянутая функция, использованная Христиановичем. Если положить теперь приближйино К,-1, мы получим для е и ф в переменных р и а уравнение Лапласа. Чаплыгин произвйл это построение для приближенного решения задачи о струях в сжимаемой жилкости. Слезкин ') первый указал на возможность применения этих уравнений к решешию задач о бесцнркуляционном обтекании криволинейных профилей. !харь»ан з) и Сюэ-сань цянь з) исследоиали также бесциркуляцяонную задачу при помощи 117.35) и приняли К постоянным, но равным К '). Преимущество метода Христнановича заключается в том, что Хрнстиаиович, не ограничиваясь первым приближением, рассмотрел ') Слазя ни Н.
А., К вопросу о плоском движении газа, Труды МГУ, 1935. ') Каггпап ТЬ., Со>пргезз!Ьйпу Ейес!з !и Аегодупаш!сз., Зонги. Аег., Бс!. 8, 1941. ') Тз»еп Н. Б., Тжоийшеоз!опа! БиЬзон!с Р1о>У о1 Сошргезз!Ые Р)и!дз., уонгп. Аег. Бсн 6, 1939. ") Равенство К=К выполнялось бы точно, если бы мы приняли вместо формулы р = з" Пй) " !з=- сопя!., так как движение безвихревое) линейный закон Р=А-В1>р, связывающий давление и Удельный объем, при>ем А и В подобрали бы так, чтобы наша прямая в плоскости (р, 11р) была бы касательной к кривой р = з" П 11) ' в точке 7>.и (1/р) . В самом леле, при нашем линейном законе Пуассона !О Тккрмккегккк кклаккм ккккк, ~ И 146 теоветические ОснОВы ГАЭОВОЙ динАмики !гл общий случай обтекания прн наличии циркуляции и чта уже в первом приближении он получал большую точность ценой введения, вместо о, величины Я.
ф 18. Приближенный метод Христиановича дли решения плоских безвихревых задач. Сверхзвуковые скорости. В предыдущем параграфе мы рассказали о приближенных методах решения дозвуковых задач. Эти методы опирались на использование р н ф в качестве искомых функций, а плоскости скоростей — в качестве плоскости независимого переменнога. В сверхзвуковом случае такого рода искомые функции н независимые переменные также могут помочь решению многих задач. Христиановичу ') удалось, используя !р и ф в качестве искомых функций ат р и о, дать новый прибливгенный способ решения всех основных плоских безвихревых задач в сверхзвуковом случае. Идея решения заключается в следующем.
До сих пор, рассматривая движения со сверхзвуковой скоростью, мы строили характеристики В плоскости (х, у) или в плоскости (о, о ). Вместе с Христизновичем будем теперь строить хзракте- уравненне Бернулли запишется з виде ог В /1!г ог В/ 1 — — — ! — ) = сопз!. = — — — ~ — /! 2 2!р/ 2 2 Но тогда в уравнении (16.8) мы будем иметь: 1 г 1 о г о — В— О г Рг Ррго Л Ррг Р а г/о ро 2 !/о Вог о' В так что на месте К будет стоять постоянная величина С другой стороны Мы получим одно и то же значение К при В = зр /Р, но это как раз и означает, что прямая Р=А — В 1/Р будет параллельна касательной к кривой /г = з" (1/Р) в точке (р, 1/р ).
') Христианов ич С. А., Приближенное интегрирование уравнений сверхзвуковых течений газа, ПММ, т. Х1, вып. 2, !947. 147 пгивлижвннып метОд хгистиАновичА а !з1 или, после сокращения и приведения членов: о = + Рь с1аас(ф. (18.3) Р Величина (ро/о)с1иа зависит талька лишь от о=о/а. [см., например, (9.22) и (16.1)[: 1 к+1 ' 1 1 —— 2 ол 2 от — 1 — (18. 4) ~ -'.;,' ")=' Обозначим вместе с Христиаиовичем у(о) =, ). (18.5) ('-::~.')' ' Легко видеть, что у(о) есть монотонно растущая функция от о, не отрицательная при о )~ 1, обращающаяся в нуль при о = 1 и к+1 в бесконечность при о = . Итак, вдоль характеристик первого к — 1 семейства будет с(ф = ~(о, 1 У 7. (В) (18.6) а вдоль второго: 1 )7-.
(о) (18. 7) ') Х (о) = — К(о), где К(о) — функция, введенная в $ 17, только К(о) было определено для о<1, а й(о), напротив, мы рассматриваем лишь для о-,-. 1, 10ь ристики в плоскости (у, ф) (речь идет о безвихревом движении). Чтобы связать р и ф при перемещении вдоль характеристики, удобнее всего обратиться к соотношениям (16.6) 9 16. Вдоль характеристик мы имеем (см, 9.23): с(у=уф + а)гтх, (18.1) где верхний знак отвечает характеристикам первого семейства, нижний — второго, Значит, по (16.6) вдоль характеристик будет: — [совр 1д([) + а) — а[п 9[ г(~Р— Р' [з[п р !уф+а)+соа р[Фф = О.
(182) 1 пРивлижвнныи мгтод ХРистиАиовичл 4 ~з) 149 Кривая ~'у в функции от ь представлена на рис. 47. Христианович замечает, что для значений ь, не слишком близких к нулю, можно с большой точностью аппроксимировать нашу кривую как куски парабол; так в интервале 0 015 < Г < 0,57, (18,12) в котором о меняется в пределах 1,06 < о < 1,74, можно написать 1 у ж! 8,5 (ь5+ 0,185)а. (18.13) В интервале 0,57 < ч < 1,02 (1,74 < о < 2,07) (18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
