Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 17
Текст из файла (страница 17)
ох Рох (15.9) Мы можем теперь написатьл ду дЕ ду дф ох 1 Рох (15.1О) (15.11) заменяющее, в случае сжимаемого газа, уравнение Ф„,+Ф,„=О, имеющее место для несжимаемой жидкости, Рассмотрим, однако, общий случай, когда движение вихревое, т. е. х Ф О, Функция Ф адесь не существует, однако мы можем ввести некоторую новую функцию и построить для неЕ единственное уравнение в частных производных 2-го порядка, линейное по отно- шению ко вторым производным и решающее вихревую задачу. Чтобы построить зту функцию, перейдЕм сперва от независимых перемен- ных х н у к переменным 1 и ф, где ф(х, у) есть введенная выше функция тока (ф(х, у)=сопз1.— уравнение линии тока), а с=-х. Мы имеем, кроме уравнения Бернулли: -г „г+ "х+Оу + га(ф)р " (ф) (15.2) !ов твоветические ОснОВы ГАЗОВОН динАмики !гл. 1 Удобно затем перейти к переменным ! и ф в (15.5).
Получим: / де ди дф! де дф 1 др дф о 1=+ — у — !+ о — = — — — —. (15.12) «! д! дф дк/ У дф ду р дф ду' Теперь мы можем легко построить то единственное уравнение, о котором мы говорили. Из (15.13) заключаем о существовании функици Х(;», ф) такой, что д/ дт д! ' у дф ' (15. 14) Уравнение (15.10) может быть теперь написано, если принять в расчет, что па+от = па, в виде: к у ду 1 ду Р (д) где ое следует выразить по уравнению Бернулли и на основании (15.14), в виде: (15.
15) о1=2/о — О~д,~ " (15. 16) Уравнение (15.11) можно представить, используя (15.3) и (15.14), в виде: дф /, ~аХ1 '! д! ) (15. 17) Правая часть уравнений (15.15) и (15.17) не содержит функции у; перекрестным дифференцированием мы исключим таким образом у и получим одно уравнение для определения функции Х, уравнение, о котором мы упоминали выше: 1ак / *-1 ! Хрт+28ХВХе- "Хрл+ — „ХЕ * (,Х3 — д+хйх " ) Хе= «-1 / и!, .
да = Хр ! — ' — — ' — Хе " ) . (15.18) Р(дф х — 1 Ыф Мы считаем всегда Ь и !е заданными функциями ф. Определив из уравнения (15.18) функцию Х((, ф), мы можем затем, путем простых квадратур, найти у("„ф) из уравнений (15.15), (15.17). Линии тока в плоскости (х, у) будут таким образом найдены: достаточно положить Заменяя о и о (не входящие под знаки дифференциалов) по (15.6) и производя сокращения, получим окончательно простую формулу де др (15.
13) д$ дф' 109 ФУНКЦИЯ д. ПРИМЕРЫ. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ в!51 в функции у=у(с, ф), ф=сопз(. ((Омпоненты скоростей о и н давление р найдутся из (15.16) и (15.14) как Функции 1 н ф и, поскольку нам известны линии тока, легко могут быть получены как функции от х и у. Задача о дгижении будет решена. В качестве примера иа применение Функции К найдам все движения, пои которых давление сохраняется вдоль линии тока (см. 9 6). Здесь Р=Р(ф) т. е. по (15.14) — =Р(ф) дт д( и, значит, Х(с ф) =Р(ф) с+ 2(ф). где и (ф) — неизвестная, так же, впрочем, как Р (ф), функция ф. Теперь (15.15) и (15,17) примут вид: д) Р'6+ Ч' д = ) "-('-+ ) ' где Р' = дР(дф, д' = дд/дф, а о' на осиовзнии (15.16), зависит лишь от ф.
Предположим сперва, что Р' ни 0, т. е. что давление различно на разных линиях тока. Первое из уравнений (15.19) интегрируется н дает: у= фl —; — ((+ —,) +з(ф) (15.20) Р/ Р где з(ф) — произвольная функция от ф. Дифференцируя (15.20) по ф и срав. нивая полученное выражение со вторым из (15.19), получим: Р Р ВР-11 Но переменная с входит сюда явным образом; очевидно, что написанное равенство будет иметь место лишь, если дз дф ' дф Р' т.
е, з=сопзг., д'/Р'=сопэг., при этом четыре функции ф: о(ф), Р(ф), тч(ф), З(ф) будут связаны двумя соотношениями: уравнением Бернулли н Формулой — — = 23р' -И лфР Р 11О тногнтическик ОснОВы ГАзовои дипАыйкм !ГЛ. ! липни же тока, согласно (15.29), будут иметь вид (Е х): оэ (у + сопэ! )'+ (х+ сопл! )' = —, р 2 Это — семейство кругов с общим центром. Если р' = О, то давление одинаково во всем пространстве. Вследствие первого из уравнений (15.19): «)'Е ду «т «)' дз у = — +э(ф) и — = — Š—, )'о«, ' дф дф )«', ы дф ' Но по второму из (15.19): ду Э-р-гы дф )Го« поэтому должно быть =О, т.
е. = сопы„ дф Уо — р" г'о« вЂ” у'« и семейство линий тока будет семейством параллельных прямых; у = сопи!. х+ з (ф). В качестве второго примера рассмотрвм безвихревое движение с 6 = сопл!., !э — — сопки Попытаемся найти все те движения, в которых также н направление скорости (угол наклона ей 5) зависит лишь от давления: В=5(р), так что о = гсов ~Е = о (р); о = о (р). Тогда др дог «Го„др д дЕ тр дЕ ' и мы получаем, интегрируя это уравнение: л«ф дЕ с!о, т. е.
Е = — Ф + Л (Р) 1 до, ' др «тр (15.22) где Л (р) — неизвестная функция от р. Удобно далее ввести в качестве переменных вместо Е и ф величины р и ф = ф. Тогда до Е=х= — Ф+Л(р); Ф=ф, «!р и мы можем написать дт дУ ,то дУ дУ дУ У дтоу == — — "+ —; — = — — 'Ф+у~ дф дх «Гр дф др дх 1 дрт Здесь величина скорости о выражается по уравнению Бернулли через одно р: «-! о'= 21,— 2 — р «3 (15.21) — о ФУНКЦИЯ у, ПРИМЕРЫ ТОЧНЪ|Е РЕШЕНИЯ 1Н 4 !51 Вставим сюда ду/дх = ду/дс из (15.15), а ду/дф из (15.17); так как из (15.14): д» дф У' то получим: ду оу тф рк 2 2 «оу Эр — '+ У'„2 тР фг 2 2 «Р 2 о У «р Первое из зтих уравнений интегрируется и дает «ол У= — — "Ф+Л(Р) «р (15.24) где у; — произвольная функция р.
Вставляя зто у во второе уравнение, видим, что для возможности движения выбранного нами типа должно быть «~о» «тоу о — +о — =О, «рк У «рк (15.25) «ук е, у! «Л (15.26) «Р сл «Р '/Р Уравнение (15.26) показывает, что связь между 6 и р не может быть про- извольной; уравнение (15.26) мы используем при установлении краевых условий. Обращаясь к (15.25), замечаем, что ."+,, =-1(") +(,) )- .— 2 = — (ок)" — (о' соз 6 — о 5)н 66')к — (о' жп Р + о соз 66')к = еок — окй". Но тогда (15.25) дает! — =6 ° о",е о (15.27) С другой стороны, вследствие (15.21), З вЂ” 11 3 «ко бр-1М-! З! -2!к 42 -2!к к 2 о"— где а — по-прежнему скорость звука. Таким образом, (15.27) примет вил: Для возможности движений рассматриваемого здесь типа необходимо, чтобы выражение в скобке в правой части было положительно, т.
е. чтобы 112 твоиитичвскив основы глзовоп динамики !гл. т было и > а. Такии образом, отыскиваемое нами движение возможно только при сверхзвуковых скоростях. Далее, л) г(о г(3 Вр "* Ы,О во в(,Р Но (15.28) Поэтому, извлекая из обеих частей квадратный корень, получим "и' и' — а' л'е ап Р!о эта формула в точности совпадает с формулой (10.3), дающей связь между 8 и о вдоль характеристик. Следовательно, отыскиваемые нами движения будут такими, что одно из соотношений 1 ! — ~! ~ '„= сопя!. та, т у = Р(х), (15.29) где Р— заданная функция от х. Заметим, что (15.23) и (15.24) при ф = сопв!. представляют параметрические (с параметром р) уравнения линий тока.
Пусть на обтекаемом контуре ф = О. Тогла, вследствие (15.29), должно быть Л (р) = р (у1 (р) ). По по (15.25) с~у лР с~у, — — '= — — '=М вЂ” ' лр гК йр Лр следовательно, Нг — = !йй. «У, (15.31) Уравнение (15.31), решенное относительно уо и даст у, в функции 8, т. е. через р; уравнение (15.30) даст затем Л (р). Задача будет решена. Отметим, что по (15.21) и (!5.28); л'ох ссп сов 8 и'о и'8 = — сов 3 — ов!пй — ' ггр ггр ггр др ар-и" В!Пйбр-Н" Гпв = — — сов 8 гз и вг — — 1. о — У т. е.
-1 явр в!и (а т- 3) = — — в!п (а ш ~9) (15,32) оюна вв кпр мп в и аналогично иох о в!и а — сов(в ш 9), с!р 'Р.,э выполняется не только вдоль характеристики, но и во всей области движений. 5!ы уже упоминали [ й 11 (11.4)], что здесь могут быть ланы решения в замкнутом виде. Эти решении мы сейчас и получили, Обращаясь к определению у, и ув, привлечбм контурные условия. Предположим, что речь идет об обтекании контура 114 теооетичссхие ООИОВь! ГАзозои динАмики 1гл, г (1 6.2) с(х = — совр с(ф — — 51п Р аф, 1 Ро, ! о Ро ау = — 51п 'р' г(ф+ — соа Р Дф. 1 Ро о ро (1 6.6) Это значит, что дх до дх дд ду до — 5!П Р вЂ”, р! дф ро до' — ып Р— Ро .
дф Ро др — СО5 Р—, Ро ДФ ро до' — соз 'Р—. Ро ДФ Ро д!Ч ' СО 5 Р—— дт до С05 Р—— дт др 5!п !» — + др до 5!П Р вЂ” + др др (16.7) ду ф 16. Дозвуковые скорости. Теория Чаплыгина. Примеры. Переходя к движениям, происходящим со всюду доззуковыми скоростями, мы начнем с точных решений, получаемых в явном зиле. Эти решения были даны в замечательных работах Чаплыгина, содержащих обобщения теории струй Кирхгофа — Жуковского на случай безвихревого движения сжимаемой жидкости. Имеем безвихревое движение и берем уравнение Бернулли в виде: ! Р=РО 1 —.+1,- " ' где Ре=сопз(. вследствие отсУтствиЯ вихРей.
В фоРмУле (6Л) пишем Раф вместо ф (инаЯ нУмеРациЯ линии тока) Ро =Ре д Рот= Рз д Введем потенциал скоростей рч о = — ' о„= — ° дт др дх' у ду (16. 3) Оставим ф и ф в качестве искомых функций, но введем в качестве независимых переменных вместо координат х и у величину скорости о и угол наклона Р скорости по отношению к оси Ох. В этом и заключается преобразование Чаплыгина. Прежде всего имеем: Ох ОСО5Р О О5!П!» По (16,4), (16.3), (16.2) будем нметьч = — с!х + — — с(у = о (соя !» С(х+ зш !» Пу), дт дт дх ду дф дф ре (16.6) с(ф = — с(х + — с(у = — ' о ( — 5!п (» г(х + сов Р пу).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
