Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 20
Текст из файла (страница 20)
1, гл. Ч1; надо лишь, в согласии с принятым там обозначением, заменить о! на с, а я!712 на а. 9 теоретичеехвя тидроиехвииив, ч. И (1 яп (2т+ !)— + !1!и 5!п р О-Во ./ 2яп — ' ч О г(!) + — ~ яп р ~1~ — е(р = О 1 4 2 = + д — + — я и р с1д — агр. о 130 теогет1неские Основы ГА3ОВОЙ диВАмики 1ГЛ. ! 1 2У)/ ' ает (1 — т)'-1 =О, и мы будем иметь Ь 8 1 — — Мп з41 — 4,7 ( — 1)" л (-.,) л=! 41 — — 1 Нужно помнить, что движения, о которых мы говорили в этом параграфе, совершаются с дозвуковыми скоростями, в частности, в нашей задаче о струе, максимальные скорости не лолжны превосходить скорость звука, т.
е. должно быть о,с.а,, что эквивалентно условшо в одном из следующих параграфов мы рассмотрим обратный случай: $17. Дозвуковые скорости. Метод Христиаиовича. В нзстоящее время суи1ествует значительное число работ, посвящщ1ных приближщ1ному решению залачи о движении газа с лозвуковыми скоростями, Работы эти можно разбить на две группы: в первой группе работ решение дается последовательными приближениями, во второй авторы ограничиваются той или иной линеаризацией задачи, Мы изложим основные идеи метола послеловательных приближений, предложенные Христиановичем, отсылая за деталями непосредственно к его статье '). По-прежнему считаем движение безвихревым и скорости всюду дозвуковыми.
Введем прежде всего безразмерную скорость о=о/а, ') Х р и с т и а н о з н ч С. А,, Обтекание тел газом при больших дозвуковых скоростях, Труды БА! И, вып. 481, 1940. Определим еще «сжатие струи» в сжимаемой жидкости, Так же как и в жидкости несжимаемой, максимальное сжатие будет иметь место в бескокечно удаленной части струи (иначе скорость получила бы максимальное значение где-нибудь внутри струн). Если ширина бесконечно удаленной части струи будет Ь', то а 171 ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ. МЕТОД ХРИСТИЛИОВИЧА и новую искомую функцию 3(О), определяемую из равенства (17.1) где а — "+! ч — ! где Введем в рассмотрение комплексную величину 5 — 1р и обозначим через р + !ч некую совершенно произвольную аналитическую функцию от этого аргумента р+1 =.7 (5 — Ф). (1 7.4) Связь межлу 5, 3, р, ч определится с помошью условий Коши — Римана; в частности, будет: д5 д~3 д5 дЗ дн дч' дч дн' (! 7.6) Так как дт де дд дт д5 — = — — + —— дн д1З ди д5 дгч ' то по (17.6) и (17.2) будет дт ! д(7 д5 дф дрТ вЂ” д(ч — д=~УК~ — — + — — )=у'К вЂ” ° ..
п. ди 1д5 д» дй дч 7 дч Таким образом, если перейти в уравнениях (17.2) от 5 и р к р и ч, то получим: — = — у"к — '. дР— дф дч дн ' (17.6) Наконец, х и у можно связать с р и ч слелуюшим образом. Согласно формулам (16.6) предыдушего параграфа, можем написать: дл соа д дл дф дУ Ро др Р Р, 11п З Р е ду о д» 11п Р д7Р е (17. 7) соз Р е Уравнения (16.12) примут теперь, после простых преобразований, вид дэ 7 Ж' д5 7 дд ' (1 7.2) 152 теОРетические ОснОВьг ГАЗОВО!т динАмики $ГЛ.
1 Зная 5 (а значит, и о), р, ч и у в функциях от в и ж мы сможем, таким образом, найти х и у по формулаи (17.7). Обратим теперь внимание на то замечательное обстоятельство, что если о О, то г!Π— й)и, так что 8 !по+сонэ!., а р'К 1. Но тогла при малых о уравнения (17.5) и (17.6) будут в точности совпадать с уравнениями, описывающими в плоскости ($2, 2) движение жилкости, имеющей комплексную скорость езе "и комплексный (гг потенциал 27+ Р$2.
При этом, как нетрудно убелиться, булет х ж $2, ю 2. 48 Обозначим вообще Квадратурами можно найти из (17.1) выра!кение лля (г в функциях от ее Именно, произвола подстановку Р2 = иа, (17.8) Р2 1 —— А2 гу )7 О Я (д и пол у2пы! )г = с 1 + —, (17. 9) 27 (л — и)" 1+и постоянная. Эту послелнюю выберем так, чтобы вследствие (17.8) мы имеем Р Ф Р7 47 г)З г(Х 776 Рис. 43.
где с — произвольная !Нп (г)о = 1. Так как Р-2О с (Ь+ 1)"+' 2л (л — 1)" Ъ' . с !$гп —.= $!ш— Р.+О Р 2-21 " то получим / !а 1,6-1 с=221 $/ ' ' =0,7579. (А $1)2.1-1 (17.10) На рис. 43 изображены значения (г и $2ГК в функциях от о. Эти же величины даны в таблице !! '). Мы вилим, что расхожлепие межлу 12 и о становится заметным лишь в промежутке 0,6 (о (1, а $2ГК близко к елинице в интервале 0 (о(0,5. Отметив это, пойлвы палыче. 1(о сих пор функция 7' в (17.4), связывающая 5 — 18 с р+бн была произвольной аналитической функцией. Попробуем теперь, ') Рисунок н таблица заимствованы из статьи С, 22.
Христивновича. дозвгковыи скоиости. мвтод хгистилновичл 133 Таблица И $171 0 0,0500 0,0998 0,1493 0,1983 0,2467 0,2943 0,3410 0,3862 0,6080 0,6251 0,64! 3 0,6568 0,67! 7 0,6857 0,6988 0,7 ПО 0,7223 0,7324 0,741 3 0,7483 0,7546 0,7577 0,675 0,700 0,725 0,9350 0,9221 0,9068 0,8925 0,8672 0,8416 0,8156 0,7740 0,7271 0,6788 0,6015 0,5092 0,3728 0 ! 1 0,9995 1 0,9980 1 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 О,З! 0,35 0,40 0,50 0,55 0,60 0,625 0,650 0,9007 0,8930 0,8845 0,8758 0,8667 0,857! 0,8471 0,8365 0,8255 0,8138 0,8015 0,7882 0,7739 0,7577 0,9999 0,750 0,9996 0,775 0,9991 0,800 0,9982 0,825 0,9965 0,850 0,9940 0,875 0,9954 0,9917 0,9870 0,98! ! 0,9742 0,9655 0,4307 0,9571 0,9899 0,900 0,4734 0,9467 0,9840 0,925 0,9353 0,9754 0,950 0,92?4 0,9632 0,975 0,9156 0,9553 1 0,9083 0,9461 0,5144 0,5535 0,5722 0,5904 ориентируясь на указанное схолство с уравнениями обтекания в несжимаемой жилкости, поставить краевые условия лля лифференциальных уравнений (17.5) и (17.6) следующим образом.
Рассмотрим в плоскости (р, «) некий замкнутый контур С (например, профиль крыла с залней кромкой — острием — в точке А) и поставим слелующие условия: 1) на контуре С р совпалает с углом наклона касательной к оси р,: !д~= — „на С; д!А 2) на бесконечности !г = е~ — заланная величина и р = О; 3) если С имеет острую кромку А, то в А Р имеет конечное значение. Если тело острой кромки не имеет, то лано значение цир-га куляции Г вектора (Ге ' вдоль замкнутого контура, охватывающего С в плоскости (р, «). Эта группа условий позволит полностью найти из (17,5) функции 5(р, «) и р (р, «). Следующие условия позволят определить '«'(и, «) и ф (92 «): 4) на С ф=О; 5) на бесконечности (д ) 1 ~«ч«~ ««' ( ) г(С'(, ) 6) наконец, потребуем, чтобы х = х(р, «) у у(р, «), получаемые при посрелстве уравнений (17.5), (17.6), (17.7), давали взаимно однозначные отображения в соответствующих областях (р, «) и (х, у).
134 теоретические ОснОВы ГАЕОВОи динлмики !гл. р Прежде чем начать интегрировать систему (17.5), (17.6), (17.7) при краевых условиях 1) — 6), выясним. отвечает ли это какой-либо гидролинамической залаче вообще и если да, то какой. Вследствие условия 6), контур С булет в плоскости (л, у) переходить также в замкнутый контур с (так как уравнения (17,7) определяют х и у с точностью до произвольных постоянных, то можно побиться того, что точке А булет отвечать какая-то заранее выбранная точка а контура с).
Вследствие 4) на с булет 7=0; отсюда на с булет дх — ду дх==др, ду==~У9 др др и по (17.7) вдоль контура имеем — =1 Р. ду тХ ь Далее, бесконечно удаленная точка плоскости (р,ч) отвечает бесконечно удалвнной точке плоскости (л,у); прн этом в плоскости (л, у) на со будет вслелствие 2): р=0. о=о., где и — то значение о, которому по формуле (17.9) отвечает (г=Р . Наконец, используя (17.7), получим без труда вследствие 5) на сю в плоскости (х, у): ро дФ . др ро дф дх р ду ' ду р дх Если, например, мы сопоставим эти, полученные для плоскости (х, у), условия с уравнениями (16.1) — (16.3), то придйм к важному следствию.
Всякнй раз, когда мы решаем в плоскости (р, ч) систему (17.5) —. (17.7) при условиях 1) — 6), мы тем самым решаем в плоскости (х, у) аадачу обтекания некоторого контура сжимаемой жилкостью, имеющей определанную скорость на ОО, Система (17.5) — (17.7) может быть, однако, исслелована горазло проще, чем система ураннений для сжимаемой жилкоств. Более того, для (17.5) — (17.7) могут быть легко получены приближенные решения. Именно — залача интегрирования (17.5) при краевых условиях 1), 2), 3) ') замечательным образом совпалает с залачей определения логарифма и угла наклона скорости в несжимаемой жидкости, обтекающей контур С при циркуляции Т' и имеющей на бесконечности скорость )г .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
