Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Далее, члены с аг, а,, аз, а4 — это как рах те члены, которые получились бы, если бы мы из уравнения эпициклоиды (14.6) нашли О в виде ряда по степеням р и, вставив это выражение о в уравнение Бернулли (14.7) (при Ь = 94), ограничились бы затем четвертыми степенями р. Так, если р, ~(0, то, как мы уже говорили в начале этого пункта, линии разрыва О(З не бУдет, и тогда членов с ах„, аяю азю а4„не надо бРать вовсе при вычислении р„.
Наличие разрыва (~,О) О, !4„оч.0) порождает члены с агю ..., вел з р, и р,. Это — члены третьего и четвертого порядка малости. Интересно отметить, что влияние кривизны контура в точке О (и следовательно, влияние вихреобразования, ибо если контур прямолинеен около О, то по крайней мере на некотором участке, прилегающем к О, вихрей не будет) появляется лишь в четвертом приближении — это член, стоящий при вел.
Переходя к вычислению С и С по формулам (14.1), (14.2), введем вместо углов !1 углы, отсчитываемые от хорды ОР крыла; именно, обозначим Р =(4+ Рв, 'Р = Р+Рв' где р — угол наклона хорды ОР к оси Ох (на рис. 39 — отрицательный). В качестве переменной интегрирования в интегралах (14.1), (14.2) удобно взять длину Г, отсчитываемую по хорде ОР от точки О. При этом сгг = соз р гго; гтг = соя р„гто что же касается х, и х„, входящих в давление, то их следует рассчитать по формулам г Хв=1СО5~ — 5!В1 ~ 12~в"' о Х, =ГС05Р— 51В Р ~ !ьг о Тригонометрические функции углов 3, которые входят в формулы (1 4,1! и (14.2), издо, конечно, разложить в ряды, ограничиваясь членами четвартого порядка. Производя элементарные выкладки, получим окончательно С =Се,+Сх, +СО+ б.
и. б-го порядка, 7 теарегичееив» гиироиехввиив, ч. Н если р+р,(0) (О (нет линии разрыва вверху); аналогично, а„„=ава(п=1, 2, 3, 4), если ~~+(4„(0)(0 ав„=0(и=1, 2, 3. 4), если р+р„(0)) О. коэффициенты а,, ..., а4, аьп ..., авл вычисляются по-прежнему. т)то же касается вычисления интегралов, то оио в отдельных конкретных случаях сильно упрощается. Так, например, если контур крыла симметричен по отношению к прямой, перпендикулярной к ОР и проходящей через середину ОР (например, если контур есть луга круга), то будет в Отметим, что если р = 0 и рв = О, мы должны ожидать отрицательной подъемной силы, ибо здесь булет С, =О, С т ч.
О. — ут Выбрав контур конкретной формы, мы можем заранее подсчитать все коэффициенты, стоящие в С„и С при разных степенях р; мы получим тогда как для С, так и для С выражения в виде полиномов четвертой степени относительно р. Исключая р, получим С, в функциях от С . Остановимся более подробно на расчете сил, действующих на пластинку (рис.
38), Здесь мы имеем точные формулы как для верхией, так и для нижней частей профиля. для верхней части пластинки имеем по (14.5) и (12.2) ./ .— 1 ГУ +1 ре=а4 — ат +1 агс1е11гт — 1еа,)— — а +1т агс уф 1еа), (14,14) где а, — угол Маха набегающего потока (сйп а, = 1/М). С другой стороны, для коэффициента давления С имеем здесгп Р д — л 'и,— )т в р г ° Ьрйв 2 (14.13) э М1 кРылО В плОскопАРАллельном сВЯРхзВУкОВОм пОтОке 99 если ф+Ц(0)) 0 (если линия разрыва сверху), н а1в азв азв а4в а кй крыло в плоскопавлллвльпом свввхзвкковом потоке !61 то р, мадо считать равным нулю (р, „-2 (14. 21) 2 ! Если !1 «( — — —, н — 1 М' 2 11 и — 1 М7' Отметим теперь два весьма важных обстоятельства.
Во-первых, формула (14,19) получена лииеаризацией по отношению к 1/М, а ие по отношению к ре. Структура еЬ такова, что лииеаризация ев по отношению к ре даат неточные результаты. Поэтому формула (14.19) более точна при ббльших М, чем лииейиая формула. Во-вторых, формула (14.19) содержит комбинацию К = М1е. Зта комбииация характерна для гиперзвуковых течений, в чем мы убедимся в дальнейшем при рассмотрении общей теории тзких те- чеиий (см.
и 23). По (14.15) и (14.19) мы получим 2« с,.=,«, ((1«-* '«)'-' — 11м. (14. 20) Закрепим зиачеиие К. Тогда, по (14.19), р,/р, будет закреплеио, а по (14.20) коэффициент давлеиия окажется пропорциональным ква- драту угла наклона пластинки. для нижней части пластинки имеем еще более простые формулы.
Именно, аналогично (!4.15) пишем: С, = ~,(Р— 1). Но теперь для определения отношения р„7р, используем формулу(7,15), по которой Рн 2н 2.2 н — 1 !х(12 з!и ч— р, и+! '+! где ч=я/2 — 27 — угол наклона поверхности разрыва к оси х. Теперь мы имеем по (14.22) и (14.21) 21п ч= —,+ ! Ср 2 — + (14. 23) С другой стороны, деля (7.17) иа (7.16), получим !д~< —, сгк ч (з(па ч — ) ~! 1з!П2 ч— М 7!Ь! н+! 1 ' М«Я (14. 24) ВносЯ ч из (14.23) в фоРмУлУ (14.24), полУчим ЯвнУю зависимость !ЯРз ог Ср н Остаиовимся опять иа гиперзвуковых движениях. Здесь угол ч будет мало отличаться от Ц (см„например, построение ч по рис. 4 102 твоввтические основы газовой динамики 1гл.
г Заменяя здесь гйпч на ж сози на 1, (йре на ~)е, получим или для очень больших М: и+1 ро. 2 (14. 25) (14.2б) С другой стороны, по (14.23) имеем (14. 27) или для М»1 С Ф, т. е. по (14.2б) С (х+1)рае. 4 ~+1 н По Ньютону мы должны иметь Ср -— — 2ре. Обе величины будут со- 2 впадать при и = 1. Любопытно отметить, что выражение для скорости звука ~/хРТ будет совпадать с выражением ньютоновской скорости у'КТ также, если и=1. Формулы (14.25) и (14.27) для М » 1 ближе к точным формулам, связывающим С и ре, нежели аналогичные линейные формулы. лн Действительно, по линейной теории мы имели бы просто (стр.
98) 2 с, =,~р,~= — р,~. На рис. 40 нанесены значения С для величин М=3, 5 и 10соотгн ветственно по точным формулам (14,23), (14.24), по линейному закону и по формулам (14.25), (14.27). Из рисунка видно. что при М= 5 формулы (14.25), (14.27) дают почти точные, а при М=10— весьма тОчные результаты, и 5), Между пластинкой и скачком образуется очень тонкий слой весьма уплотнйнного газа. Картина течения напоминает ту, что отвечает теории Ньютона; согласно последней, частицы воздуха ударяют о тело и затем продолжают двигаться уже по поверхности тела. Нало отметить, что для М » 1 сходство с теорией Ньютона оказывается не только качественным, но и количественным.
В самом деле, легко можно убедиться в том, что при очень больших М и небольших ре коэффициент давления будет пропорционален рез, как это следует из теории Ньютона. В самом деле, сначала заметим, что по (14.24) при малых ( я ! (а значит, и малых ! ре ( ) величина з(пз ч — 1/Мз будет малой более высокого порядка, так что приближенно можно записать 2 соя~ I 1 ' 1п р — —.(з1пз ч — — ) . и+1 мпч аа 2, плоскоплпаллвльном свв»хзвкковом потоке 103 Так же, как и для верхней части пластинки, характерной величиной будет произведение К = ййра.
Именно, комбинируя (14.27) и (14,25), можно написать: ~» —, ', ~~""4'+~/ ( — 4')+ Ке~ Ка ~Я, (14.28) При значениях (р(О)!, близких к Ре (определанному в 9 13, стР. 79), но меньших, нежели Ре, можно пользоватьсЯ пРиближанным методом, Указанным в пРедыдУщем паРагРафе. Если Ре( фе !<~м,„, и г 4 б г 7р Рис.
40. ФвФх)о = (ф„/г1х)е — — О (кривизны равны нулю), можно ожидать еще, что поверхность разрыва будет «прилипать» к точке О, хотя после прохождения поверхности разрыва около О возникнут дозвуковые скорости. К анализу движения нужно теперь подходить с большой осторожностью; так как движение после прохождения Разрыва будет происходить (во всяком случае близ точки О) с дозвуковыми скоростями, уравнения движения будут теперь зллипти- 104 теОретические ОснОВЫ ГАВОВОЙ динАмики (гл. 1 ческого типа; даже если обтекаемый контур будет обладать конецным прямолинейным участком (как это было на рис. 35, или же, если рассматривается, например, обтекание пластинки, поставленной под углом ! р ~ > ~ч), поверхность разрыва, образовавшаяся перед ним, станет криволинейной, возникнут вихри, и задача окажется весьма сложной.
Более того, Крокко (Сгоссо) показал, что наличие кривианы контура ускоряет «отскакивание» поверхности разрыва, так что здесь прилипание может осуществляться лишь, если где ~.,„( ~),р с' ~,„, Но, пожалуй, самой большой трудностью явится то, что мы вынуждены будем обратиться здесь к исследованию движений, пролсходящих в одной части плоскости с дозвуковыми, а в другой со сверхзвуковыми скоростями.
В самом деле, если обтекаемый контур ограничен в направлении оси Оу (например, если речь иддт об обтекании пластинки (рис. 38)1, то можно ожидать, что его возмущаю. шее влияние на больших расстояниях пропадает и после прохождения разрыва скорость на некотором расстоянии от контура останется сверхзвуковой. В Я 19, 20, 21 мы изложим некоторые работы, относящиеся сюда. Особняком стоят здесь результаты Релея, который дал точную формулу для подсчета давления за поверхностью разрыва.
Речь идет об обтекании газом, имеющим сверхзвуковую скорость, тупого (встречающего пол прямым углом ось) профиля, симметричного относительно ося потока. Сосредоточим внимание на частице, движущейся по оси симметрии. На некотором расстоянии от профиля она пройдат, как показывает опыт, сквозь поверхность сильного разрыва, а затем добежит прямолинейно до профиля в точке Ме его пересечения с осью симметрии с тем, чтобы после этого начать двигаться по криволинейной траектории, огибая профиль. Найддм давление в точке М,. Если не учесть появления перед стенкой сильного разрыва, то давление в Мр следовало бы рассчитать просто по уравнению Бернулли, полагая в нем О=О, Релей первый обратил внимание на появление поверхности разрыва и на связанное с ним изменение давления в М.
Чтобы дать формулу Релея, предположим, что газ движется с постоянным давлением ри постоянной плотностью р, и постоянной скоростью п„г При этом *-1 Пусть Образуется поверхность разрыва, причем Р =Р11 =Р1' Я'л =Пг ° Найдем сперва Р+! полагая в (7.15) созе=1, получим Рт ех 2х х — 1 р, а! х+1 х+1 По уравнению Бернулли (8.10) !южно написать: ( —;;) ' = —.'", х — 1 э где Рт — давление в М, при наличии сильного разрыва, но по (8.9) '+ — '( — ".;)'= 1— «+1 х — 1 а (14. 29) так что (й) ' ='+ — ''( — ":.)' (14.
30) Но по (5.10) и (5.14): е+ х — 1 х+1 р, аа 2х 2х р и мы можем переписать (14.19) следующим образом: ~ — 1 — 1 ( — ) =( — ) ( 1 + 4 (х — 1+(х+ 1) -~ ~. (14.31) Комбинируя (14.29) и (14.31), мы можем составить отношение ря/Р! лля различных величин ох,(аг, Здесь приведены для сравнения две таблицы: таблица Л лает рт!р! в предположении, что существует поверхность разрыва, таблица Б даат Ря1р! по уравнению Бернулли, т. е, так, как если бы поверхность разрыва отсутствовала. Рядом с о,,/а! мы помешаем всюду более показательную величину ох,/ах.
Таблица А Таблица Б 2 3 4 ею а„ ел, а„ 1,96 1,63 2,13 1,63 1,96 2,13 7,80 36,4 ! 149,1 Ря Р! 1,89 1,19 12,4 ~ 21,т ~ 5,82 а !4! кгыло в плоскопакаллвльном свегхзвгковом потоки 105 ФУНКЦИЯ у ПРИМЕРЫ, ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ 167 9 !51 и условия адиабатичности Р=о (ф)Р ° одно из уравнений (15.3) дох дох 1 др о — х+ю дх У ду Р дх до„ до 1 др ох +о дк У ду Р ду (15. 4) (15.5) и определение ф; — Ро = дф дф х ду' У дх' (15.6) Замену переменных очень легко сделать, если написать по (!5,6): 5(ф= д 51 + д 5(у= — Р д~+Р~ (у дф дф дх ду сперва (15.7) и затем, заменив х на 1: дх=й, (15.6) решить (15.7) относительно 5(у: оу 1 ду = — ~с+ — дф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
