Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Поэтому (10.3) запишется в следующем виде: 1, + т' цу -;г!в= ! — — — —. (11,12) .в) " + в 2 2 Коэффициенты в (11.11), (11.12) — алгебраические функции. Сам расчет следует проводить итерациями. Именно, если для сокращения письма ввести обозначения: =а, т ' --=д, — 1+а à — --.
2.Я!+ (в) (х+ 1+ (х — 1) тв), В = (1+ дв) то мы можем написать (рассматриваем операцию А) в первом приближении гр — ув — ав(м — лв); у — у~ -.— — Ь (х — м ), ( - — Вв) В., (( — (в) Ь'в (в — г,)  — — ('( ') В л! е г в, тле щеглов! о! с1гагасгег!внсв !ог моеиегйенс внрегвоп!с !!Огвв аг!арген !ог !г!ЕЛ-вреег! г(!Ейа! сошригегв, в. Бес. !пг!. а. Арр!. Мань 7, 1939. з !т! ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ВПЕ ВЫПУКЛОП ПОВЕРХНОСТИ б9 или, решая эти уравнения относительно х*, у', 6*, т*: х'= У' У' ' ' ' ' у'=у +Ь (х' — ) (11.13) а,— а! Е! (т Е! + З!Е!) + Е~ (а«Е2 — таЮ * т!Е1 + а!Е! — Е!а' .,+Е„; ° Т вЂ” „( ) После того как первое приближение построено, надо перейтн ко Второму приближению, вычислив значения а:", (1«, В", Ев (по первому приближению) и вставив в формулы (11.13), (11.14) вместо аа, (У1, Е1, Ет, Е1, Ет величины ае + а' Ь! + 6' Е, + Е* ~! + ~* ~2 + ~ — соответственно.
Таким образом, получим новые 2 значения х, у, ч, .1 — второе приближение. Этот процесс нужно повторять до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность. На протяжении этого параграфа мы говорили несколько раз относительно ограничений, прн которых наши рассуждения были справедливы. Так, например, мы считали, что в участках, нас интересую1цнх, не возникало поверхности сильного разрыва, мы предполагали одно-однозначное отображение плоскости (х, у) на плоскость (о„ о,) (что су!Еественно было при оценке погрешности приближенного метода).
В 9 20, где мы будем говорить о движениях, происходящих в одной части плоскости с дозвуковыми скоростями, в другой — со сверхзвуковыми скоростями, мы вернемся, следуя Христиановичу, к детальному и строгому обследованию всех случаев, которые могут представиться в сверхзвуковом поле; а сейчас перейдем к конкретному рассмотрению отдельных простых примеров. 2 12. Движение газа вне выпуклой поверхности. Обтекание угла, большего чем ~. Выход из отверстия. Движение внутри трубы.
Сопло Лаваля. Рассмотрим некоторые движения со сверхзвуковыми скоростями. Предполагаем, как в предыдущем пункте, У А отсутствие сильных разрывов. Начнем с задачи о движении газа вокруг искривлЕнного контура, выпуклость которого всегда на- ! правлена в сторону газа. Прел- положим, что контур представляется при х «, 0 в виде отряцзтельной ося Ох, а при х ) Π— в виде кривой, лежащей «под» осью положительных х-ов и так, что кзсательная к этой кривой меняется непрерывно и в точке О совпадает с осью Ох (рис. 23).
Вдоль оси Оу поток безграничен. Считаем, что поток, бегущий над прямолвнейной частью контура, постоянен по величине и направлению и имеет скорость, по величине большую уо тРОРетические ОснОВы ГАЗОВОЯ динАмики игл. скорости звука. Пусть в этой области О«=п, ) а«; и =О. Проведзм характеристику первого семейства через точку О. Характеристика первого семейства ОА, проходящая в плоскости (х, у) через точку О, будет, как мы уже знаем, прямой линией [всем ез точкам будет отвечать в плоскости (и„, и ) одна и только одна точка М'(оп О)], значит, во всех ез точках у, 'будет иметь одно и то же значение.
Чтобы найти движение «вправо» от характеристики ОА, напомним, что вследствие постоянства скорости на ОА, по сказанному в предыдущем параграфе (задача 3), мы будем здесь иметь не только вдоль каждой характеристики второго семейства, но и вообще 1 ~ — ) + р = сопзй во всей части плоскости, ограниченной контуром и характеристикой ОА. Это значит, что скорости этой части плоскости все расположатся на одной и той же эпициклоиде второго семейства, проходящей через М'. Проведем эту эпициклоиду. Чтобы найти теперь скорость в какой-либо точке М, контура, достаточно провести в плоскости (Ог, П ) РаДИУС-ВЕКТОР, ПаРаЛЛЕЛЬНЫй КаСатЕЛЬНОй К КОНТУРУ в точке М,; пересечение М1 этого радиуса-вектора с проведвнной эпициклоидой и даст искомую скорость.
Зная Мь мы можем найти направление элемента характеристики первого семейства, выходящей из М,, в плоскости (х, у). Однако легко видеть, что вся характеристика первого семейства, выходящая из Ми бУДет пРямой линией, так же как и характеристика ОА. В самом деле, перемешаясь в (х, у) вдоль характеристики 'Л~,АИ мы будем пересекать различные характеристики второго семейства (не обозначены на рисунке), но в плоскости (пл, и ) всем этим различным характеристикам отвечает, как мы знаем, одна-единственная эпициклоида второго семейства, проведвнная нами через М', скорости вдоль М,А, найлутся поэтому как пересечение эпициклоиды первого семейства, проходящей через Мг, и всегда одной эпицнклоиды второго семейства, идущей через М', т. е.
все скорости вдоль М,А, будут равны по величине и направлению скорости точки М,, а отсюда и заключаем, что М,А, есть прямая линия. Таким образом, все характеристики первого семейства в нашей задаче будут прямые ли» и ~ (характеристики второго семейства будут, конечно, криволинейны). Отметим, что, как в этом легко убедиться нз рассмотрения эпициклоиды, выпуклость контура ведзт к тому, что, по мере продвижения вдоль контура «вправо», мы будем встречать всв большие 4 1Я ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ВНЕ ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТИ 71 у — х 1ц ф + а) = О. (12.1) С другой стороны, по (10.6), в нашем примере будет / х+1 Гх — 1 р+а=:11 — агс1д ф' с!Еа+ +1 Г.+ У-.=! +а,+ Еà — агс1е 1/ — с19 а, х — 1 х+1 (1 2.2) где а, — угол Маха, отвечающий скорости О1 (когда 3 равно нулю), т. е.
угол между прямой ОА и осью Ох, иринам на основании (9.22)1 . а +1/а 1Я х — 1 з!Ва а, = — 1х — я- 2 (,Р1Г' 2 и большие значения скорости, причйм характеристики первого семейства будут становиться все менее и менее наклонными к осн Ох. Рассмотрим теперь задачу об обтекании угла. Предположим, что контур при х ч.
0 совпадает с отрицательной ветвью оси Ох, а при х ) 0 имеет уравнение у= — ффех (рнс. 24); по-прежнему над горизонтальной стенкой О О()пэ)ОО, и мы можем провести характеристику первого семейства ОА, построив предварительно точку М' (О1, 0) в плоскости (О„, О ). Далее, начинается обтекание угла, причем поток должен в конечном счйте пойти вдоль стенки ОВ (рис. 24); чтобы найти величину скорости этого У ф нового потока, достаточно найти пересечение № характеристики второго семейства, проходящей через Л4', с радиусом-вектором в плоскости (О„, О ), параллельным направлению ОВ. Опреде- О лнв №, проведем характеристику перво- хв го семейства ОС.
Мы можем сказать, что Рис. 24. в угле СОВ поток будет обладать Всюлу постоянной скоростью, параллельной линии ОВ. Поворот потока совершается, таким образом, внутря угла АОС. Пучок прямых, выходящих из О (в том числе ОА и ОС), прелставит там характеристики первого семейства, причам во всех точках каждой такой прямой, выходящей из О, скорость будет иметь одно и то же значение, легко определяемое из рассмотрения эпициклоиды второго семейства, проходящей через Л4'.
Движение внутри угла АОС легко построить при помощи (11.4); именно, для обтекания точки будем иметь просто 4 !21 движение глзл впе выпхклои повввхности 7З еще прямолинейное движение, (Все продолжения линий тока образуют угол к(2 с осью 0,=0, ибо при 0,=0 будет по (12.5) а.=к)2,) Найдем еще крайнюю характеристику, после которой начинается обтекание стенки у = — 1д рех. Ей угол Маха ая будет удовлетворять уравнению ат — ро=У вЂ” +--~агс19(~/ "' 1да,) — асс 19(У "— '" 1да,)~+аи а соответствующее 0 найдатся по формуле 0 аз го' В том случае, если стенка у= — 19рех отсутствует и газ вырывается под давлением ри связанным с о, уравнением Бернулли, в среду с давлением рм причем рт < ри поток газа будет поворачиваться и скорость его будет расти до тех пор, пока не станет равной величине о„ получающейся из уравнения Бернулли при данных 9 и ге.
Тогда для последней характеристики получим значение а = аа из соотношения (9.21) (ат — скорость звука при о = оз); а, 2 ое Г'+1 .-. Г- +1 Г.+1 0, — — У вЂ”.— — У вЂ” асс 19 У вЂ” — 19 ам У а — 12 У х — 1 У х — 1 Наибольшее значение получим, здесь ая.— — Рт — — ат — — 0: 0 = У вЂ” — — '=219'19'. Гх+1, х — 12 когда газ вырывается в пустоту; Если р ) р, или если после угла О (рис. 24) газ должен дви- гатьсЯ вдоль стенки У =19 Рах, где я(2 ) ре ) О, наступает явление ь" сильного разрыва (см. % 13) Рассмотрим задачу об истечении газа из отверстия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
