Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Если, однако, наши эпициклоиды уже заготовлены, то, зная В, В, можно найти направления у', у, к' т' 1' 2' не производя вычислений по формулам (9.13) и (9,14). В свмом деле, достаточно вспомнить, что элементы эпициклоил, проходящих через М' (с данными 21, и и ), нормальны к элементам характеристик противоположных номеров, проходящих через л4; таким образом, чтобы построить, например, направление характеристики первого семейства в точке Л4, надо провести через М линию, перпендикулярную ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ !гл, ! Таблица ! 54 — а,'а Р Р а,'а ра/а р 90,00 0,527 ~ 67,28 0,471 61,96 0,449 58,18 0,424 55,12 0,401 28,98 28,42 27,88 0,116 2,062 0,110 2,098 1, 000 0,994 0,986 972 911 970 1,657 0,564 1,673 0,547 1,688 0,530 1,704 0,512 1,720 0,494 1,735 0,477 1,752 0,459 1,761 0,442 1,781 0,426 0,104 2,135 0,097 2,174 0,092 2,214 0,086 2,25! 969 27,34 968 26,82 0,9766 0,9 65 0,953: 967 26,32 966 25,80 965 25,33 964 24,87 963 24,42 0,080 2,296 0,075 2,339 0,071 2,378 1,401 1,299 1,435 1,322 1,470 1,344 1,505 1,666 1,539 1,387 1,572 1,407 1,608 1,428 0,066 2,422 0,062 2,466 962 961 960 959 958 957 956 23,98 23,54 ~ 23,12 ~ 22,70 22,29 21,89 э 0,058 0,054 0,051 0,047 0,044 0 041 2,508 2,550 2,595 2,640 2,689 39,48 0,245 0,233 0 221 38,47 37,53 1,641 1,448 0,2!О 1,675 1,467 0,199 1,710 1,486 1,49, 2,734 21,11 0,038 2,778 20,73 0,036 2,826 20,37 0,033 2,873 983 36,67 982 35,82 981 980 979 978 977 976 975 974 0,189 1,744 1,504 0,179 1,779 1,523 0,170 1,8!5 1,541 0,161 1,850 1,559 0,153 1,884 1,576 0,145 1,918 1,592 35,02 34,26 33,51 32,80 32,10 31,45 Л1,80 20,00 0,031 2,920 19,64 0,029 2,968 3,021 07 19,29 0,027 3, 4 3,131 3,188 3,350 18,93 18,59 18,26 17,97 0,00 0,025 0,023 0,021 0,019 0,000 0,137 1,954 1,609 0,130 1,989 1,625 0,123 2,025 1,641 2,012 0,188 2,437 0,000 913 29,58 к касательной к проходящей через Л4' эпнциклоиде второго семейства (оси х и о„всегда параллельны).
На рис. 1 изобаражбрр кусок плоскости (о, о ) (сектор в 70' в+1 круга радиуса у а. с центром в начале координат), на кото- У . — 1 ром нанесены попадаюц!ие туда части эпициклоид первого и второго семейств и некоторые круги О = сопз!. Если в (10,7) ввести вместо ". ЧИСЛО О, МЫ ПОЛУЧИМ 5+ ~' = ! 000 — — Х = 2 (8+ 1 00), 8 — ~' = 1000 — — р = 2 (т) — 100) 360 (р' — в градусах), где с и т! — новые постоянные, заменяющие Х и й. На рис.
7 эпициклоиде первого семейства, проходящей через точку о=а, (О'=1000), р'=О (на рисунке надписаны значения 1000 999 998 997 996 995 994 993 992 991 990 989 988 987 986 985 984 52,66 0,381 50,58 0,363 48,70 0,345 47,07 0,329 45, 54 0,313 44,16 0,298 42,84 0,284 41,62 0,270 40,51 0,251 1,000 1,084 1,133 1,! 78 1,220 1,258 1,295 1,332 1,366 1,000 1,068 1,107 1,141 1,173 1,201 1,227 1,253 1,276 0,940 0,926 0,912 0,897 0,882 0,865 0,849 0,832 0,815 0,797 0,779 0,762 955 0,743 ~ 954 0,725! 953 0,707 ~ 952 0,689 ~ 951 0,670 ' 950 0,653 ~ 949 0,635 948 0,617 947 0,600 ' 946 0,582 870,68 1,795 1,810 1,824 1,837 1,851 1,864 1,878 1,891 1,903 1,917 1,928 1,9 39 1,951 1 963 1,975 1,987 1 999 0,410 0,394 0,379 0,364 0,349 0,335 0,320 0,306 0,294 0,281 0,269 0,251 0,246 0,234 0,222 0,211 0,200 55 плоские ввзвихяевыв движвния пви е > а а не р), соответствует с = 400, эпициклоиде второго семейства, проходягцей через ту же точку, отвечает т1= 600.
Эпициклоиды проведены для 1 = 400; 401; 402; ...; для 5 = 399; 398; ..., для рнс. 7. т1= 600; 601; ...; я=699; 698; ... Круги 5== сона1. проведены для о'=-1000, 990, 980 ... Заметим, что в каждой точке Я=с+~, 8 =1 — 1+200, 56 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОИ ДИИАЫИКИ 1гл. 1 Покажем теперь, как при помощи характеристик можно численным образом определить поле скоростей и давление во всех точках плоскости (х, у) в отдельных задачах газовой динамики, $ !1. Использование характеристик для решения плоской безвихревой задачи при и ) а,. Мы увидим, что любоп случай движения газа со сверхзвуковои скоростью и при отсутствии Рис.
8. Рис, 9. сильного разрыва мы сможем изучить, если научимся решать следующие четыре задачи: Задача 1. Поле скоростей [т. е, тх(х, у) и о (х, у)) задано в плоскости (х, у) иа луге АВ некоторой линии 1. (Рис, 8), ие являющейся характеристикой. Определить тх и о во всех точках обла- сти, ограниченной дугой АВ и двумя В характеристиками (разных семейств), выхолящими из точек А и В (рис. 8) (в некотором криволинейном треугольнике). За дача 2. Поле скоростей известно С на дугах АВ и АС двух характеристик равных семейств, выходящих из точки А. 4 Найти ох и о в области, ограниченной х к У 0 этими дугами и дугами ВВ и Сс) хаРис. !О.
рактеристик разных семейств, выходящих из В и С (рис. 9). 3 а д а ч а 3. Поле скоростей задано иа дуге АВ характеристики какого-либо семейства, причем известно, что точка А лежит иа тввр- дОН СТЕНКЕ' ). НайтИ Ех И О В ОбЛаСтИ, ОГраиИЧЕНИОН АВ, таврдОП У стенкой АС и характеристикой ВС лругого семейства, выходящей из точки В (рис.
10). ') Направление последней в А таково, по вторая характеристика, про- ходящая через А, пойдет «взутри» стенки. испОльзОВАние КАРАктеРистик пРи» а 67 э ]г] Задача 4. То же, что и в 3, но вместо стенки АС речь идет о свободной поверхности АС, форма которой заранее, конечно, не- известна (рис. 11). Заметим, что в задаче 1 нам задана линия АВ, отрезки же характеь 4 ристик ВС и ВС заранее неизвестны. Напротив, з задаче 2 хзрактеристики л АВ и АС считаются заранее известными 8 (неизвестны АВ и С0), в задаче 3 хаРис. 11. рзктеристика АВ и контур считаются заданными, наконец, в задаче 4 дана дуга АВ характеристики, а свободная поверхность неизвестна, так же как и ВС. Чтобы приближвнно решить задачу 1, поместии на дуге АВ густой ряд точек МР М, ..., М„(рис.
!2). Так как значения (о, о ) на АВ известны, то з каждой из точек А, МР Мэ, ..., М„, В мы можем построить отрезки прямых по направлениям касатель- Рис. 12. Рис. 13. ных к обеим характеристикам по формулам (9.13) и (9.14). Проведенные нами отрезки прямых приближенно примем за элементы самих характеристик, выходящих из А, МР .., В; в точке А наи достаточно построить лишь элемент характеристики АС (пусть это будет характеристика второго семейства), а в точке  — элемент ВС (первого семейства), Пусть элементы характеристик разных семейств, проведенные из соседних точек луги АВ, пересекаются в точках 3]Р 33 твогвтичвскив основы газовой динамики 1ГЛ.
~ )чю ... (например, )тГз есть пересечение элемента характеристики второго семейства, выходящей из Мн и характеристики первого семейства, выходящей из М,). Чтобы найти и», о в точках Мн )чю.... рассуждаем так. Отметим скорости н„и и точек А, Мн ..., В в плоскости (о, оа); пусть это будут точки А, Мь ..., В (рис. 13). Перемешаясь в плоскости (х, у) по характеристике второго семейства из точки А, мы будем в плоскости (н„, и ) двигаться по эпи- У циклоиде второго семейства, проходящей через А'1 перемегцаясь же вдоль характеристики первого семейства из Мн мы пойдвм по плоскости (и„, и ) вдоль эпициклоиды первого семейства, выходящей из Мь Обе нужные нам эпнциклоиды могут быть заранее нарисованы, поэтому точка их пересечения М~ (рис. 13) может быть сразу найдена хотя бы графически.
Совершенно очевидно, что координаты о„и пх точки М~ и дадут скорости о и пх в точке Л'н Аналогичным обРазом мы найдвм скоРости точек тга и т. д. Ниже мы укажем на очень удобный призм графического определения скоростей о„, н в этих точках. Теперь мы можем взять за отправную сеть ряд точек Мн )чз, ... и рассуждать по отношению к ним так же, как мы рассуждали о точках А, Мп ..., М„, В. Именно в М,, Мю ... скорости уже известны; значит, можно во всех этих точках построить характеристики обоих семейств [по формулам (9.13), (9.14) или как нормали к эпициклоидам плоскости (о„п )) до пересечения их в точках Рп Р, Р,, ...; скорости же в этих точках найдутся как координаты точек пересечения эпициклоид, проходящих через точки )ч'г, )чю ...
соответственно. Так постепенно мы заполним весь криволинейный треугольник, о котором идат речь в задаче 1. Линии АС и ВС, неизвестные вначале, построятся прн этом сами собой (приближенно, как ломаные, а не как плавные кривые; это же относится ко всем характеристикам). Таким образом, в густой сетке точек (густота эта будет зависеть от густоты точек Мп Мз, ..., М„ на АВ) нашего «треугольника» мы будем знать скорости. Линии тока определить теперь легко, если вспомнить, что скорости направлены по биссектрисам углов между характеристиками, а последние по самому построению нам везде известны. Давление находится по уравнению Бернулли. Задача 1 решена.
Решение задачи 2 принципиально пе отличается от решения задачи 1. Поместим на характеристике АВ густой ряд точек Мн Мю ..., М„, а на характеристике АС густой ряд точек Мн йгз, ..., Ж,. Во всех этих точках скорости и, п, нам заданы. Через точки М,, Мж ... проведем затем элементы характеристик ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ПРИ е Ь а З Н1 второго семейства (считзем, что А — характеристика первого семейства), а через точки А1г, Мз, ... — отрезки характеристик первого семейства (рис. 14). Пусть пересечением характеристики первого семейства, вышедшей из АГР и ХараКтсристлки ВтОРО~О семейства, вышедшей из Мн будет точка Р,. Чтобы найти скорость в Р,, замечаем, что перемещение вдоль характеристики ЦР, означает передвижение в плоскости (и„, и ) вдоль некоторой эпициклоиды первого семейства, выходящей из з точки Аг~ с коорлинатам и, равными компонентзм скорости в точке Жн а перемещение вдоль М,Р, означает передвижение по эпициклоиде второго семейства от точки М,' с Ряс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
