Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Заметим, что при вычислении старших производных нам придется иметь дело вновь только с определителем (4.15). Таким образом, если Я в задаче Коши есть характеристическая поверхность, то, если и существует решение залачи Коши, оно может не быть единственным.
Это значит, что могут найтись два различных решения, принимающих на Ь одни и те же значения, у которых, однако, уже первые производные на Я различны; таким образом может оказаться, что с разных сторон от Ь движение представляется разными законами, а на самой Я гидродинамические элементы обоих движений (но не их производные) совпадают. Но в таком случае мы назвали бы Я перемещающейся поверхностью слабого разрыва. В самом деле, не представляет никакого труда убедиться, что условие равенства нулю (4.15) будет совпадать с одним из условий (4.9).
Для этого стоит лишь ввести «скорость распространения» 8 характеристики: 1 (' ду — ду' — дУ вЂ” дУ ') Г Пх П Сл Гг дУ,г гду г ду гад! дх У дУ ' дс/ и заметить, что А= — 8~/ ( — )+®+[о ) Тогда равенство определителя (4.15) нулю будет означать, что 8' ~8г — ~ ) =О, (4.16) Р и мы вернемся к (4.9), Мы видим, таким образом, что перемещающиеся поверхности слабого разрыва и характеристические многообразия системы (4.7)— это одно н то же. Всегда ли можно говорить о характеристических многообразияху Всегда ли они будут действнтельнымиу Отбрасывая случай, когда 8 = О, мы должны иметь на характеристике 8г=(М вЂ” )у )г=аг нлн 28 твояьтичвскпв основы ГАзовоп динАмики [гл. 1 (мы отбрасываем черту над гидродинамическнми элемсптамн), гле а, как прежде,— скорость звука.
В нестацнонарных случаях уравнение (4ПТ) позволит, очевидно, прн любых оч, о, о„а найти дедствительную функцию у (х, у, г, О, и существование последнеи никаких ограничений на гндродинамнческне элементы, вообще говоря, не накладывает. Предположим, однако, что мы имеем дело с установившимся движением. Естественно считать здесь, что и поверхность разрыва будет неподвижна в пространстве, т. е. что ее скорость перемещения (но не скорость распространения) равна нулю: Х=-0 нли 9 == — У„. (4.18) Тогда на поверхности разрыва имеем уч он + ухов + УРА и ~ ут+уу+ую дУ дУ . дУ дх ' -~У ду ' Уч да) (4.1 9) или еще 1У„! =а, (4.
20) Пусть теперь установившееся движение жидкости таково, что скорость везде меньше местной скорости звука: ) У ( ( а. В таком случае, какую бы поверхность Я мы ни провели через некую точку М, всегда проекция У„скорости жидкости У в М на нормаль и к поверхности Я будет меньше, чем а, я равенство (4.20) нигде не будет иметь места. Напротив, если жидкость движется так, что ! У~)~п, то найдутся поверхности Я, проходящие через М, такие, что проекция У„ скорости У в М на нормаль к этим поверхностям будет в точности равна а. Отсюда вытекает весьма важное следствие.
Если жидкость движется стационарно (установившееся движение) и притом повсюду с дозвуковой скоростью, то действительные характеристические многообразия существовать не могут, Напротив, если движение жидкости совершается со сверхзвуковыми скоростями, го всегда могут быть построены денствительные харзктерпстики. Мы видим, что переход через скорость авука играет в установившемся движении весьма существенную роль, меняя тип дифференциальных уравнений движения (эллиптический при дозвуковых скоростях на гнперболпческид прн сверхзвуковых). Наличие действительных характеристик при сверхзвуковых скоростях значительно облегчает решешш задачи о движении.
Здесь могут быть развиты эффективные графические методы решения, с каковыми мы н познакомимся в соответствующем месте. Мы вернеьшя сейчас к слумю существования сильных разрывов, чтобы доказать несколько общих теорем, сюда относящихся. ф 5, Распространение сильных разрывов. Теорема Цемплеиа. Чтобы найти величину скорости распространения сильного разрыва, прибегнем сначала к соотношениям (2.15), (2.16). Умножая (2.15) скалярно на и, получим: 99 [1'Р] =- [р], (5.
1) и замечая, что вследствие формулы 9 = М вЂ” У„ [У„] = — [9]. напишем вместо (5,1) р9(92 — 9 )= (р, р ). Но по (2.16) 929. =р 9, (5.2) (5.3) (5.4) поэтому мы можем написать (5,3) В виде 2 92 р 9',— р 9 =р — р, или г откуда по (5.4): 2 92 р е = )г- — р ° р 9„( )=р —.р и мы можем найти 9 нз соотношения Р+ Р,— Р Р Ы (5. 5) 2 — Р 2 Ы' Особенно явной станет равнина между величиной скорости распространения слабого разрыва, всегда равной а, и выражением. получающимся из (5.5), если мы преобразуем (5.5), использовав для этого одно важное следствие соотношения (2,19).
Заметив, что Т= р/)сл и что с„— с,= А]с, приладим сначала (2.19) вид -2 9(г[У У]+ „1 à — ~= [рУР] (5 6) и — 1 Умножим теперь обе части (2.15) скалярно иа Уч + У: р9 (У „+ У ) . (У „— У ) = р9 [У У] = [Р] и ° (Уь+ У ) и вставим 99 [У ° У] в (5.6); получим: [р]н,(У„РУ ) Рч (5,7) Ея РАспРОстРАнение сичъных РАЗРЫВОВ. теОРемА цемпленл 29 Зо ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 1ГЛ. 1 раскроем знзки разрывов и перенесем все члены в одну сторону; получим: Р+(1'л++)'л ) — 2Р+)'л+ — Р (~л++~'.-)+2Р ~'. + + ЯРЕ (Р~ или после сокращеиий: (5.8) (Р) (х+1) Ы+( -1) Ы 2х Ы Р Р (х+ 1) Р— (х — 1) р (х+ 1) р — (х — 1) З Следовательно.
(Р) 2хР Ь! (х+ 1) З (х 1) Е+ (5.11) и по (5 5) 2р (5. 12) "Г ('+1)Р— (.— 1)Р+ ' Наряду с формулой (5,5) отметим выражение Р (Р) е (е)' получающееся умножением (5.5) иа рз и сравиеиием с Рз 8'. а также 2Р (5,1 4) р (х+1) р — (х — 1) р получающееся из (2,16), (5.12) и (5.10), (5.13) — (Р +Р )11')+ — '~~~=0. Но по (5,2) и (2.16) можно написать ' =- ' =-à —",1=-' Е и мы можем переписать (5.8): "" В+ —.' ~Ч= (5.9) Раскрывая. далее, знаки разрыва и отыскивая отношение Р /Р, мы придем к следующей важной формуле, заменяющей условие (2.19): Р (.+1) Р— (х — 1) Р Р ( +1)Р— ( — 1)Р+ ' (5.10) Пользуясь (5.10), преобразуем теперь выражение (5.5).
Вычтем для этого из обеих частей (5,10) по единице: $ В! РАСПРОСТРАНЕННЕ СНЛЬНЫХ РАЗРЫВОВ. ТЕОРЕМА ЦЕМПЛЕНА 31 Формулы (5.!2) и (5.!4) показывают, что скорость распространения сильного разрыва всегда отлична от местной скорости звука, В самом деле, по этим формулам равенство Рь нли равенство !1г„! < О. Для докззательства этого положения приходится привлекать второй закон термодинамики, согласно которому энтропия при физических процессах не убывает. Энтропия 5 может быть представлена в виде 5= — !П вЂ”, с„р А (5.1 5) и, таким образом, вопрос о возрастзнии энтропии эквивалентен вопросу о возрастании величины ргр". Итак, величина р/р' не убывает.
Пусть имеется у нас нестационарный сильный разрыв. Некая масса, находящаяся с одной стороны от разрыва, попадает затем на другую сторону. Могут представиться два случая: 0 ( О и 0Р ) О. Если О+ ) О, то массы, лежавшие с положительной стороны поверхности разрыва, попалут на отрицательную, и энтропия положительной области заменится на энтропию области отрицательной; так как энтропия не убывает, будет Р ) Ре одинаково влекут за собой условие р+ —— р ; но тогда по (5.!О) р = р , а по (2,!5) !1г! = О, и нет никакого сильного разрыва.
Нетрулно далее убедиться, что если ! 0~ ! ( а+, то ! 0 ( ) а и наоборот: если !О ) ( а , то ~0ь ( ) а„. Если обратиться к стационарным движениям, для которых М= О, т. е. 0 = — Р'„, то мы получим очень важное следствие: скорость )гь по крайней мере с одной стороны от поверхности разрыва превосходит местную скорость звука. Значит, неподвижные поверхности сильно о разрыва, так же как и неподвижные характеристики, могут существовать лишь при наличии сверхзвуковых скоростей.
Докажем ешв теорему Цемп лена: возможны лишь ши«ие сильные разрывы, лри «вторых 32 теОРетические Основы глзовои ди||вмики |гл ~Р1) О. Покажем, что в обоих случаях будет [[г„] < О. В самом деле, вслед- ствие (6.!О) можно напнсат|и (7+1) (К 1) Р+ (")' х+ 1 — (х — 1) —— Нетрудно убедиться, что выражение, стоящее здесь в фигурных скобках, будет положительно при р /р ) 1 и отрицательно при р Гр ( !.
Так как р и р положйтельны. заключаем, что если [р/р"[) О, то [р[) О; если [р/р"] (О, то [р] (О. Таким образом, если В„) О, то [р] (О, и если 6+ (О, то [р] ) О, но [(~,]= — [в]=о — о = — — '=р в рв рв [р] Р Р+ РРР и. значит, пРи Оэ ) О. [Р] < О бУдет [[г„] < О и пРи В < О, [Р] ) О также [Ъг„] ..О. Теорема Цемплена доказана.
Б. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИ)КЕНИЯ. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА 5 6. Плоская задача. Функции 6 и 1е. Рассмотрим стационарное движение газа, происходящее одинаково во всех плоскостях, параллельных плоскости (х, у), и притом так, что о, = О. Уравнения Эйлера представим в форме Лэмба: д о' до до„ д о' доу до„ 1 др р дл 1 др ду (6.1) (6.2) Уравнение нерззрывности дает дро„ дро — + — =О, дх ду (6. 3) Напротив, если В+ < О, то массы отрицательной области будут заменены массами положительной стороны, так что окажется плоская злдлчл ФУнкции 9 и о а условие алиабатичности: (6.4) Уравнение (6.3) позволяет заключить о существовании функции тока ф(х, у) такой, что д' оф лу' у лх' (6.5) С другой стороны, вдоль линии тока нмеели йх !е'у ТУ! ЕУ вставляя в это равенство о и о из (6.5), получим без труда —,!т'х+ — г(у=О, дх ду гак что уравнения ф(х, у) = сопз1.
суть »равнения линиИ тока (последние, вследствие стацнонарности, совпадают с траекториями жидких частиц и остаются во время всего движ иия неизменными). Умножая первое из (6.5) на и„, второе на о и вычитая, получим: (6. 6) !(о если очи О, соотношения (6.4) и (6,6) заставляют нас считать, !го ( — '") О(х, у) Отсюда заключаем, что —,. =9 (ф) (6.У) где 9 = — 9(ф) ') Кроме того, 9 есть, с точностью до постоянного множителя, потенциальная теипература. Под последней разумеется та температура -., которая получился, если газ адиабатнческв привести к нормальному давлению Ре Это бу.тот Е = сопл!. З.
Ве '= и!," 3 Теорем!не нен ~ ннрене ннн ч н И зависит от ф. Легко выразить 9 через энтропию Я, В самом деле, по (5,15) предыдущего равд~па имеем: 3 = —" 1п (9") = —" 1п 9 '). (6.8) ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 1АЗОВОП ДИНАМИК!! !Гл, ! Умножим теперь (6.1) на о, а (6.2) па о н сложим полученные уравнения, заменив предварительно р по формуле (6.7). Так как 1 — 1 1 / -1 — ' Рр=йр Рр= '", Чр ' = — — ", ')р~(Эр ° ) р * ЧЭ и так как вследствие (6.7) н (6.6) дв , дЭ о — +о — =О, ° дл мы получим после простых преобразований; ,—,(,, + —,)+.,—,( —,, +, ) =О. Это означает, что вследствие (6.6) -1 оэ я 2 +., 1 Эр =Та(Ф) (6.
9) где 1, — функция одного только ф. Чтобы уяснить физический смысл 1в, заметим, что оя)2 есть кинетическая энергия единицы массы, а -1 есть «теплосодер!канне» (принято обозначение срТ)А = — 1) '); таким образом, !в есть теплосодержание прн отсутствий скорости (о= — О). Величина !в определяется, коль скоро известна температура Тв той с! ) точки, в которой скорость равна нулю (!в=- — То) А Уравнение (6.9) представляет собою не что иное, как уравьенне Бернулли. Из уравнений (6,1) и (6.2) мы получили одно лишь соотношение (6.9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
