Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 2
Текст из файла (страница 2)
оч (Я) Все три уравнения [(2.1), (2.2), (2,3)! могут быть записаны следующим образом: 'П(") — <(И") =(ч<И ") причЕм в первом случае а=рУ, с„= — рл, во втором (2.5) (2.6) и=р, с„=О, еще ббльших температурах — с их ионизацией. Поэтому мы должны быть подготовлены к необходимости использования более общих законов термодинамики, чем те, с которыми приходится иметь дело в акустике, динамической метеорологии и в классической механике сжимаемой жидкости.
5 2, Уравнения гидродинамики в форме интегралов. Сильные разрывы. Уравнения движения могут быть записаны, в нашел~ случае, в виде (приращение количества движения равно импульсу силы): ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ )2 (гл. г в третьем У У РУ, 2 +А' с„= — рУ л. (2. 7) Если функции а и с„и их производные существуют и непрерывны в интервале от 1, до 1т и во всех точках об.ьймов, аанимаемых жидкой частицей (т) при движении ее от 1, до 1п то л~ы можем вывести нз (2.4) обычные дифференциальные уравнения гилродинамики.
Произволные от наших функций могут при этом претерпевать разрыв при переходе через отлельные поверхности. Предположим, однако, что всегда существует одна поверхность ')': (2,8) Р(х, у,г, 1) — — О, проходящая через точки (т) и перемещающаяся в пространстве [вхожление 1 в уравнение (2.8)[, такая, что сами функции а и ск претерпевают пр|г переходе через эту поверхность разрыв. Часть пространства, прилегающая к поверхности д, делится этой последней на две области: с одной стороны от поверхности Р(х,у,г,1)<О, Р(х, у, г, 1)) О. с другой: ܄— Ь =[Ь[ и назовем разрывом или скачком функции Ь на поверхности Х.
Сама поверхность Х называется при этом поверхностью разрыва функции Ь. Предполагая, что [а[ и [с„[ отличны от нуля, посмотрим, какие условия налагает на эти разрывы наличие уравнения (2.4). Предварительно введйм некоторые термины. Поверхность (2.8) в разные моменты времени булет занимать в пространстве различные положения. Рассчитаем скорость Глг, с которой поверхность эта будет в некоторой своей точке удаляться по нормали от своего положения.
Возьмсм некую точку А((х, у, г) на поверхности Х в л~омент 1 и проведем нормаль к Х в А4, направляя эту нормаль в положительную область. Пусть эта нормзль пересекается с той поверхностью, ') Мы ограничиваемся случаем существования единственной поверхности; никакого труда не представит перенести наши рассуждения на случай любого конечного числа поверхностей. Первую область назовем отрицательной и условимся обозначать значения, к которым стремится некая функция Ь(х, у, г, 1), если приближаться к Е, оставаясь в отрицательной области, через Ь'; вторую область назовем положительной, а соответствующие ей значения Ь на Х назовйм Ь . Разность Ьч — Ь обозначим через [Ь[: 14 и'л.
! твогетичсскпн основы газовой дннлникн Пользуясь понятием скорости распространения поверхности разрыва, мы без труда можем вывести соотношения, связывающие вследствие уравнений гидродинамики скачки (разрывы) различных гидродинамических элементов. Для этого обратимся сперва к моменту 1, и обозначим через Вп положение поверхности разрыва в этот моменг, а через Вь — положение в момент 1, тех точек жидкости, которые в момент !е (бесконечно близкий к 1,) окажутся нз поверхности разрыва.
На поверхности Вп отметим точку М и построим малый цилиндрик (рис. 1) с осью, совпадающей с нормалью к Еп в точке М и Рис. 1. Рис. 2. до пересечения с поверхностью Е,,'); объЕм этого цилиндрика и примем за объем интегрирования (т) (к моменту 1,) в выражении (2.4). Посмотрим теперь, что произойддт к моменту 1,, Вследствие движения жидкости, точка М перейдет в какую-то точку М'1 поверхность В,„переместившись и деформировавшись, займат некоторое положение В,,; наконец, точки поверхности Вь перейдут в точки поверхности разрьша ьь, отвечающей моменту 1з. Цилиндрик наш деформируется, причем в то время как в момент 1, он находился целиком в положительной области, в момент 1з он ляжет в отрицательной, отвечающей этому моменту области (рис.
2). Обращаясь сперва к левой части уравнения (2.4), оценим величины объемов интегРиРованиЯ (т)п и (т)ь. Очевидно, что пеРвый будет: ягт6+ (1з — Г,)+ е,ге(1 — 1,), ') Пусть нормаль эта пересекает 2, в точке Р. Считая, что нормаль направлена в сторону положительной области (не представит труда провести все рассуждения для противоположного случая), будем, очевидно, иметь лля малых Г, — Г,: ,МР = О „(Ге — т,) + 0((Г, — Е,)е). 21 уРАВнения ГидРОдинАмики В ФОРме интеГРАлОВ 15 где г — бесконечно малый радиус.
цилиндрика, а е, — величина беско. печно малая; второй л<е: пге8 (1з — 1,)+еаг'(~,— 1,), где е, бесконечно мала. При этом как в том, так и в другом случаях мГИ разумеем под 8 значения скорости распространения В одной и той же точке Л4 и в один и тот же момент времени 1,— значения, вычисленные при приближении с разных сторон к поверхности Еь'). Теперь чы можем написать; с ~ [Г алтч[ = ачпг'8+ (1,— 1,)+ езг'(1а — Г,), !ь < ~ ость[ = а кг~8 (Са — (,)+а г (1т — 1,) Гй /и (а,— всюду в дальнейшем бесконечно малые величины), н следовательно, = — кг ((я — Ф,)(а 8 — а 8 )+Вага(гт — ~,)= = — Рг ((,— 1,) [ай[+ езг (1г Г1).
(а, и а — значения а в точке М в момент Г,). Перейдем теперь к правой части (2.4). Поверхность (О) складывается из трех частей (рис. 3): боковой поверхности цилиндра, на которой, очевидно, ~ с»г(а = 0(1) г ((з — Е,), (з) и двух оснований ЬЕ и ЬЕ', Наш цилиндрик деформируется и перемешается так, что поверхность разрыва в момент Г, является его одним основанием, в момент Гз — его другим основанием, а в моменты 1, лежа- Рнс. 3. щие между 1, и 1,, занимает промежуточные положения, располагаясь где-то между «нижним» и «верхннм» основаниями (рис.
3). Отсюда получается, что ЬВ находится за весь промежуток времени ') Вообще говоря, [8) ~ О, ибо [)т„[ Вь 0; величина же Ф из (2.10) разрыва не терпят. 10 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ )гл, ) Совершенно аналогично атому ~' с„[в = с„,ягв+ е„гв (ьв') (нормаль, идущая в положительную область, направдена здесь во внешнюю часть пространства). Теперь мы можем написать, очевидно: ф~ „«.)««= = с„,яг (Е, — Е,) — с„пгв (Ев — Е,) + езг~(гв — Е,)+ О (1) г (Ев — Е,)в. Собирая вместе полученные оценки, будем имет)и Я"") -([О'"') — [(,(Г"")" = = — [ [а 0! + [с„[ [ пгв (Ев — Е)) + евгв (Ев — Е) + О (1) г (Ев — Е)в.
Переходя к пределу, полагая (Ев — Е,) — >О, а затем и г-ьО, получим основное соотношение [и0[+ [с„] = О. (2,11) Остаатся только вспомнить значения а и с„ нз (2.5), (2.6) и (2,7); пол)чим: [00[г]=]Фи, [00[= О, ~рй 2 + А 01=[))Г'.и], (2.12) (2.1 3) (2. ! 4) от Е, до Ев в одной области, а Ьв,' — В дрУгой. Г!редположпм, что йА находится в области отрицательной, а ЬА' — в положительной. Тогда в выРаженни [ [ с„с(в величина с«н как легко показать, отлн- (5) чается от значения с„, взятого в точке ))4 и в момент Ен на величину, исчезающую вместе с (Ев — Е,) и с г. Замечая, что вследствие (2,5), (2.7) всегда можно написать: с„= — с сов(л, х)+с сав(и, у)+ с,сов(и, в), где л — внешняя по отношению к области (т) нормаль, и сохраняя для нормали к Е)в", (вернее, для нормали МР) обозначение л, чы должны, очевидна, написать для ох; [нормаль, идущая в сторону положительной области, направлена здесь внутрь (т)]: елп(в= сл — гг +ебг ' ыв) 21 крлвнкння гидродинамики в еормв ннтвгрллов 1? Так как по (2.13) пронзвеленне р9 не терпит разрыва, то мы можем это пронзвеленве вынести всюду за знаки разрыва н написать: (2.15) (2.16) рбмк) =(р) н, (р61 = О, + А ) =(р1'.! Г к' )г ег'! (2.1 7) До снх пор мы не говорили о внде внутренней энергнн нашего газа.
Мы обратимся теперь к классической газовой дннамнке, газовой лннамнке так называемого идеального (в терчодннзмнческом смысле), нлн совершенного газа. В этом случае внутренняя энергия У еднннцы массы имеет внд (2.1 8) и=..т, где се — теплоенкость газа прн постоянном объдме (велнчнна постоянная), а Т вЂ” температура. Мы вернемся в 9 24 к случаю реального газа, а пока будем рассматрнвать только идеальный газ. Для него условие (2.17) дол'кно быть заменено соотношением 2 т А (2.
! 9) то поверхность разрыва не распространяется по частнпам, отделяя всегла одну массу газа от другой. Такая поверхность разрыва называется слеационарной. Здесь по (2.!5) (р] = О, а по (2.19) [)г'„) =-О; напротив, (р! н скачок касательных к В составляющих скорости совершенно произвольны. Примерами такой поверхности могут 2 теарегиееекая гиаречеааиика, я, ге Соотношения (2.15), (2.16) н (2.!9), коими связаны велнчнпы 6, р, У, р, Т по обе стороны поверхности рззрыва, носят название условий диналеичесной сов.неслености. Здесь имеется в виду совместность лвух двнженнй: с элементами Ъ'+, рч, ... н с элементами У, р ..., Весьма существенным является наше предположение о том, что существует всегда одна н только одна поверхность разрыва. В этом смысле условия дннамнческой совместностн необходимы, и если бы оказалось, что в некоторый момент в жидкости образовалась поверхность разрыва, такая, что гндродннамнческне элементы с обеих сторон от нее различны, но не связаны соотношениями (2.15), (2.16) н (2.!9), то такая поверхность разрыва существовать в дальнейшем одна не смогла бы; здесь возникает взрыв (см.
далее 9 37 этой главы), В тех точках пространсзва, через которые поверхность разрыва в данный момент не проходит, мы должны удовлетворнзь обычным уравнениям гндродннамнкн. Если 18 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЯ ДИНАМИКИ (гл. 1 служить: волнующаяся поверхность реки (отделяющая воздух ог воды), поверхность твплого или холодного фронта (в метеорологии), поверхность газовой струи. Значительно больший интерес для газовой динамики представляют сл»чаи, когда 8 чь О. Здесь обязательно будет [Р[чьО, [Рл[эьб — „" [ [/рУй= — ~/рпйз. (3.1) (з( (ь( Мы не можем внести слева дифференцирование под знак интегралл а, и бо о бьем (т) сам зависит от времени, н о мы може м написать, ') Последнее заключаем из уравнения состояния: р=крт. (если при 6 + 0 [р[= 0, то по (2.15) [У[=0, затем по (2,19) [Т[= 0 и, значит, [о[=0'), т.
е. разрыва вообще нет). Пример — «баллистическая волна», бегущая перед носом снаряда. Полезно отметить, что при 8+ 0 скачок касательной к Е составляющей скорости равен нулю (в этом убеждаемся, умножая скалярио обе части (2.15) на любой единичный вектор, расположенный перпендикулярно к и). Поверхности Е, на которых сами гидродинзмические элементы претерпевают разрыв, носят назвзние поверхностей сильного разрыва.
В том случае, если сами гидродинамические элементы непрерывны, но среди их первых производных по координзтам илн по времени найдэтся хотя бы одна, меняющаяся скачком при переходе через поверхность; последняя называется поверхностью разрыва первого порядка. Вообще говоря, если при переходе через поверхность Е функция Ь непрерывна, но производная по координате илн по времени, начиная с некоторого порядка, терпит разрыв, то Е называется поверхностью слабого разрыва для функции Ь. Употребительны также термины просто «разрыв» или «волна». Поверхности сильного разрыва, представляющие разрыв давления, называются еще скачками уплотнения или ударами сжатия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
