Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 9
Текст из файла (страница 9)
15. Рнс. 14. координатами — компонентами скорости в точке МР Точкз пересечения Р1 (рис. 15) упомянутых эпнциклоид и ласт компоненты скорости в Р,, Зная скорости в точке Рп можем провести через эту точку обе характеристики до пересечения с элементами характеристик первого и второго семейства, выходящих из Мз и из Мз соответственно. Получим точки Р, и Рз. Чтобы найти скорость в Р,, рассуждаем совершенно так же, как это делали при рассмотрении точки Р,, только роль прежней точки А будет теперь играть точка МР Роль точки М, бУлет игРать Рн з на место точки Мг пРидетсв стзвить Агз. Аналогично можно сказать про точку Р,. Продолжая построение далее, покроем постепенно весь криволинейный четырехугольник, о котором идйт речь в задаче 2, сеткой характеристик; на пересечениях последних мы будем знать всюду и и о .
Линии тока повелутся затем как биссектрисы между касательными к характеристикам, а давление найдется нз уравнения Бернулли. Задача будет решена. Отметим, что все заданные точки А, Аг1, Мз, ... Расположатся на одной и той же эпициклоиде второго семейства, точки же А, М,, Мз..., лягут на одну и ту же эпициклоиду первого семействз.
Обе эти эпициклоиды выходят из А'. !гл. ! тео!'ети'!еские ОснОВы ГА3ОВОЙ динАмики Переходим к решению зада щ 3. Пусть дуга АВ есть луга заданной характеристики первого семейства. Нанесйм на ней ряд точек М,, М, ... (рис. 16). Так как скорости везде на Ас! нам известны, мы можем в каждой из точек М,, Мю ... построить элементы характеристик второго семейства [хотя бы по формуле (9.14)], Проделаем это построение. Характеристику второго семейства, проходящую через Мн доведйм до пересечения в точке ДГ! с заданной нам стенкой.
Теперь мы можем определить скорость в точке М!. В самом леле, направление скорости там известно — это направление стенки. Проведвм в плоскости (О, и ) радиус-вектор под углом, Рнс. !6, Ряс. 17. равным углу между направлением касательной в Л', к контуру и осью Ох. Где-то на этом радиусе-векторе нам надо будет искать точку, координаты которой и„, о„ дадут скорости в точке )ч'!. С другой стороны, точка М! лежит на характеристике второго семейства, выходящей из точки Мн Пусть точке М, отвечает в плоскости (о, о ) точка М, (рис. 17). Проводя через М, эпициклоиду второго семейства до пересечения с упомянутым выше радяусомвектором, мы встретим последний в точке М!, которая, очевидно, и будет иметь в качестве координат скорости о, о в точке )!Г!.
У Зная скорости в М!, построим в плоскости (х, у) характеристику первого семейства М,МЗ до пересечения )ьгз с характеристикой второго семейства М,ЖЗ, выходящей нз Мз. Скорости в Огз найдутся как координаты точки о,, и пересечения эпициклоиды первого семейства, проходящей через )чг, и эпициклоиды второго семейства, иду!цей через Мз. Проведйм из Мз обе характеристики, причйм характеристику первого семейства доведем до пересечения Фас харак- ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ПРИ а > а„ 61 а п) теристикой второго семейства, выходящей из Мз, а характеристику второго семейства, выходящую из ОГа, проведйм до пересечения с контуром (пусть это будет точка Р,). Скорость в пга находится аналогично тому, как находилась скорость в Р1,; чтобы найти скорость в Р,, замечаем, что направление скорости там известно (так же как было известно направление скорости в Р),), и построим радиус- вектор с этим направлением в плоскости (О„ О ); пересечение Р~ У этого радиуса-вектора с эпициклоидой второго семейства, проходящей через Ма, и даст нам искомую скорость в Р,.
Зная скорость в Р, и в Из, проводим там характеристики и т. д. Задача наша будет решена, Обратим внимание на один очень важный частный случай задачи 3. Предположим, что нам известно, что вдоль характеристики АВ скорости имеют всюду одну и ту же постоянную величину и направление. Случай этот представится, например, в задаче обтекания профиля безграничным потоком, имеющим постоянную величину и направление скорости. В самом деле, пусть профиль этот начинается от точки А (рис. 16), причем безграничный поток набегает на него слева со скоростью, параллельной оси Ох. Тогда вдоль характеристики АВ (точка В может быть взята на бесконечности) совершается переход от режима прямолинейного набегания на контур к режиму обтекания контура. Вдоль характеристики АВ происходит «склеивание» двух различных движений (АВ как характеристика может быть такой линией слабого разрыва), и на всей АВ скорость постоянна по величине и направлению и равна скорости набегающего потока.
Отметим попутно, что в таком случае линия АВ будет прямая. Действительно, тангенс наклона у,' вдоль этой кривой, выражающийся при помощи формулы (9.13), будет всюду один и тот же, так как правая часть (9.13) состоит лишь из компонентов скоростей, а они считаются постоянными вдоль АВ, Итак, пусть вдоль АВ всюду 13.=ри а О=ОП Обратим внимание на хаРактеРистики втоРого семейства Мг)ч', и дР. Вдоль них будет, согласно формуле (10,у), где р — различные постоянные, характеризующие отдельные характеристики семейства. Найдем р для характеристики м,мп Последняя пересекается с АВ в точке М,; здесь р = 3, и О = Ои 62 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ !ГЛ. 1 следовательно, дол1кно быть ь( — ')+ р1= 2 н и уравнение, связывающее О и р вдоль М1)ч1, будет иметь вид: О( —,)+~ =(( — )+()Р (11.1) Но вдоль М,Р1 будет выполняться в точности то же соотношение, ибо Мз лежит нз АВ, а там О.— — О1 и !1=р1, так что и для этой линии должно быть выполнено (11,1).
Таким образом, в нашем случае скорость О и угол р во всех точках, лежащих между контуром и характеристикой АВ, будут связаны соотношением (1!.1) с одной и той же константой р, в то время как в общем случае постоянная будет меняться от характеристики к характеристике. Соотношение (11.!) играет здесь роль дополнительного конечного соотношения, связывающего компоненты скоростей (О„ и о могут быть выражены через О и р). Пользуясь этим соотношением, мы можем привести задачу к решению лишь одного уравнения в частных производных первого порядка с одной искомой функцией (напомним, что в общем случае мы имеем систему двух уравнений с двумя функциями), т. е., в конечном счвте, к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Чтобы получить это единственное уравнение, напишем, например, условие отсутствия вихря.
выражая О„ ИО ЧЕРЕЗОИР1 У до 5!и р до соз д О (1 1.2) дх ду Помня, что теперь О и р связаны соотношением (1!.!), мы можем, далее. выполнить дифференцирование и написать ( дэ х дя 1' я'о дя — 51п р+ О совр) — — ( — соз !1 — О 51П 8) — = О, ,) дх (,яй '/ ду или, так как по (!0.3) дв — = — О!да дв (мы имеем дело с характеристикой второго семейства), где а — угол Маха, мы можем написать, после простых преобразований: — — + 19' (р + а) — = О дэ дэ [здесь а — функция О по (9.22), а Π— функция от 9 по (11.1)]. Это уравнение в частных производных первого порядка интегрируется и дает: р = Р (у — 1и (В + 11) х ), (1 1.4) где  — произвольная функция своего аргумента, каковая может ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ПРИ и > АА 63 $!й быть определена, если задан контур АС; достаточно написать, что на данной линии АС р есть данная функция от координат х и у.
Итак, если отрезок АВ характеристики в задаче 3 есть прямая линия, то движение внутри треугольника АВС может быть найдено совершенно точно. Стоит только после того, как В из (11.4) известна, решить (1 1.4) относительно Р; мы получим Р, а аатем по (1!.1) и О в функциях от х и у. )йы еще не раз вернймся к этому вопросу. Р» В Рнс. 18.
Рис. 19. Перейдем к решению задачи 4. Пусть скорости ззданы вдоль некоторой дуги АВ характеристики, например второго семейства, и пусть известно, что А лежит на свободной границе потока. Надо найти форму свободной поверхности АС и движение между АС, АВ и отрезком ВС характеристики первого семейства, проходящей через В (рис. 18). Нанесзм на АВ ряд точек МР Ма, ... Проведем через точку А элемент прямой, направленной вдоль известной в точке А скорости; этот элемент примем за элемент свободной поверхности, проходящей через А. Проведем затем через М, характеристику первого семейства до пересечения с этим элементом в точке )чн На свободной поверхности величина давления р будет всюду одна и та же (это определение свободной поверхности), значит, величина О скорости всех точек свободной поверхности, по уравнению Бернулли, будет всюду одинакова.
Построим поэтому в плоскости (и„, о ) круг радиуса О = оп где о, — именно это постоянное значение. Чтобы определить направление скорости точки )чп достаточно будет теперь, тзк как п(, лежит на свободной поверхности, найти в плоскости (О„, о ) точку пересечения А(~ эпициклоиды первого семейства, идущей из точки М',, координаты которой суть известные компоненты скорости точки МР с окружностью и †"-О,(рнс. 19).
Определив б4 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЕ! ДИНАМИКИ !!'л. т скорость в точке ИР построим продолжение свободной поверхности как отрезок прямой, направленной вдоль этой скорости, аатем иа И, проведвм элемент характеристики второго семейства до пересечения в точке Иа с элементом характеристики первого семейства, идущей пз Мз. Скорость И, найдвтся как точка пересечения эпициклоиды первого семейства, проходящей через М' [изображение Мз в плоскости (ОУ, О )], и эпициклоиды второго семейства, идущей через И,', Знзя скорость в Ию проводим характеристику первого семейства до пересечения с элементом свободной поверхности в точке Р! и т, д, Задача будет решена. Прежде чем приступить к приложениям к конкретным задачам газовой динамики, ска>нем несколько слов об оценке погрешности излагаемого здесь метода. Нетрудно убедиться, что решение всех наших четыоех задач основано на умении пользоваться следующими двумя операциями, — назовем их А и Б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
