Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Оиерация А. Даны скорости О и и в двух соседних точках М, и Ма плоскости (х, у). Найти скорость в точке И пересечения характеристик разных семейств, выходшцих из М, и Мя соответственно. Чтобы проделать эту операцию, достаточно найти точку пересечения эпициклонд разных семейств, выхолящих из М, и М' [точни плоскости (О, О ), координаты коих сугь заданные компоненты скоростей точек М! и М, соответственно!. Операция Б. Скорость в точке М плоскости (х, у) известна. Дана линия Л, не являющаяся характеристикой (точка М лежит вблизи ней) и такая, что на Вей мы знаем направление (или величину) скорости. Найти величину (или направление) скорости в точке И встречи характеристики МИ, идущей из М, с линней 1, Здесь достаточно в плоскости (О„, в ) разыскать точку М' с координатами, л' у I равными данным в точке М значениям О и о, и провести через М У' эпициклонду до пересечения с радиусом-вектором, параллельным направлению скорости в И' (нли до пересечения с кругом, отвечающим известной величине скорости в И').
Для примера рассмотрим подробнее операцию А. Точно мы можем провести лишь половину этой операции: мы можем найги точку №, т. е. скорость в точке И; положение последней точки нам, однако, неиавестно, ибо вид характеристик в плоскости (х, у) заранее неизвестен. й(ы можем, однако, построить отрезки касательных к характеристикам в точках М н М [по формулам (9.13) н (9.14)[. Зтн отрезки мы и принимаем приближенно за характеристики М,И и МзИ (рнс. 20). Пересечение этих отрезков даст точку №, а не И, но мы можем в случае одно-однозначной зависимости между О, Оу и х, у заключить каждую из кирволинейных дуг характернстий в некий угол и такич образом оценить погрешность, получающуюся отгого, что вместо И мы взяли И'. Для этого, пользуясь упомяиу- ИСПОЛЬЭОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСлнк ПРИ и > о той однозначной зависимостью, надо лишь доказать, что делается без особого труда (см.
уравнения эпициклоид), что наклон касательной к характеристике монотонно меняется вдоль соответствующего участка характеристики; если это так, то, проведя через М, отреаок прямой Мл№л', параллельный направлению касательной к одной нз, характеристик в лл! (это направление мы можем вычислить заранее, хотя положение точки !Аг в плоскости (х, у) неизвестно, совершенно точно, используя (9.!3) илн (9.14) и найденную точно точку №], а через Мз— отрезок Мз№', параллельный Рис. 21.
Рис. 20. касателы<ой к другой характеристике в льл, мы лшжгм утверждать, что криволинейная дуга Мтллл' характеристики лежит вся внутри угла ~. М'МлИ", а дуга Мз)л! — внутри угла / М"Мз!л!"". Таким образом, точность вычисления зависит лишь от близости точек М, и Мю Решение всех прнведйнных здесь задач производится при помощи постРоения в плоскости (к, у) характеристик обоих семейств, проходящих чеРез точки, в коих скорости известны. Мы ссьыались при этом все время на Формулы (9.13) и (9.14), позволяюпгие всегда проделать расчет направлений у! или уэ. Хотя этот расчйт и элементарен, он требует всб же неприятных выкладок — извлечения корней и т.
и. Буземан дал графический призм быстрого определения направления характеристик в плоскости (х, у) в тех точках, где скорости уже известны). Пусть скорость точки (х, у) плоскости (х, у) будет у (и, и ). Отметим в плоскости точку М'(пл, и ) с соответствующими координатами и проведем через М' эллипс с центром в начале и с полуосями, равными а. и 1/ а" соответ/,+1 „ к †! ственно. Легко видеть, что таких эллипсов будет, вообще говоря, два (рис. 21). Покажем, что большие оси этих элли!!сов окажутся как раз параллельными характеристикам, проходящим в плоскости (х, у) через точку б! (оси Ох и и всегда параллельны).
Чтобы доказать это, представим себе, что вектор скорости У точки М Разложен на две составляющие: У, по касательной к характеристике (например, первого семейства), проходящей в плоскости (х, у) через М, н Уе†по нормали к этой характеристике 5 Теоретечеееее гидролюленихэ, ч. !! бб ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЛ ДИНАМИКИ !гл. ! в плоскости (и, у). Мы знаелц что ~ ('и ! = а. Обратимся к уравнению Бернулли (8.7) и заменим в нем ах на на 1'2+ )Г~. Тогда, собирая члены прн У2 и 1~„н деля на получим соотношение 1;2 а о2 и (х+ 1) 2(л — 1) ' (т2 1,2 — + — =- а,.
я+1 1 х — 1 (!! ") Спроектируем теперь радиус-вектор ОМ' = ~ )г! на большую ось одного из проведйнных нами эллипсов и на перпендикуляр к ней. Пусть первая проекция будет о„ а вторая пп, Тогда по самому построению эллипсов будет 2 2 о, оп = + — =1. ( / -ь 1)2 2 ат Так пах, с другой стороны, для точки М имеем )г = о + и„ то ве- Р 2 2 2 личины оп и о, удовлетворяют тем же двум линейным уравнениям, что 2 2 и величины !'2 и ры и поэтому моакно положить 2 и,= ри Оп= !'». Следовательно, направление большой оси нашего эллипса будет совпадать с направлением характеристики, идущей через М, а направление малой оси — с направлением нормали х этой характеристике.
Изложенный здесь способ построения характеристик в плосности (х, у) годится, естественным образом, не только для безвихревого, но и для вихревого случая, ибо ои основывается на равенстве ~ )гп( = а, одинаково справедливом в обоих этих случаях. Эллипс, о котором здесь идет речь (назовем его эллипсом Буземана), может быть заготовлен раз навсегда на прозрачной бумаге (нли иа целлулоиде); совместив его центр с началом координат, будем поворачивать его вокруг начала до тех пор, пока точка М', дающая в плоскости (пю о ) скорости точки М, не окажется на эллипсе; нам останется тогда лишь снести направление большой оси эллипса в этом его положении на плоскость (х, у) — направление характеристики, проходящей через М, будет найдено.
Направление второй характеристики иайдйтсн нак направление большой оси второго позможного положения эллипса. Эллипс Буземана позволяет построить также и характеристики в плоскости (ою о ), т. е. эпицихлоиды. В самом деле, мы видели [формулы (10.1), (10.2)), что характеристики плоскости (о, и ) (эпициклоиды) будут ортогональны к характеристикам (другого номера) плоскости (к, у). Йаправление большой оси эллипса Буземана совпадает с направлением характеристики в плоскости (х, у) — значит, направление малой его оси (ортогональной к большой оси) булет совпадать с направлением эпнциклоиды (другого семейства).
Поэтому, чтобы построить элемент эпицинлоиды, проходящей через М', нам достаточно провести через М' эллипс Буземана и затем построить элементарный отрезок, выходящий из М' н параллельный малой оси эллипса (рис. 22). Вторая эпициклоида найдется прн построении вто- ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ПРИ ч > а Бт й 1Н рого возможного положения эллипса.
Отсюда получаем способ построения всех эпициклоид плоскости (о„, о ) при помощи эллипса Буземана. Поместим на эллипсе Буземана, находящемся в произвольном положении, ряд точек и проведем через эти точки отрезки, параллельные малой оси эллипса (рис. 22); повернем затем эллипс на мэлый угол и, отметив точки пересечения его с малыми отрезками, построим в этих точках новые элементарные отрезки, параллельные новому положению малой оси эллипса. Продолжая построение дальше (причем вращать эллипс придется как по, так и против часоной стрелки), заполним вой кольцо ц / к+1 и, «( о ( !г — а„эпициклоидами.
У' — У, = 1д фт+ а,) (х* — хт), у* — у1 = ф (р1 — а,) (х" — тс ). В то же время по (10.3) имеем; С1я ч, 1 — 1 = — — „' '(* — О), (1!.6) (1 1.7) (1 1.8) (1 1,9) Способ использования характеристик для приближенного решения плоских безвихревых задач при о) а„, изложенный в этом пзраграфе, был приспособлен для ручного счета и широко применялся до появления быстродействующих электронных вычислительных машин. Для вычислений с помощью электронных машин способ этот неудобен тем, что в расчет входят тригонометрические функции (это заставляет обра1цаться к большому числу подпрограмм и требует много машинного времени).
Рис, 22. В самом деле, рассмотрим, например, вновь операцию ч. Вдоль характеристик выполняются соотноп1ения (9.23) и (10.3). Это значит, что мы можем написать в точке М (рис, 20) для характеристики 1-го семейства: (~ ) =(е(рт+аг) где постановка инлекса 2 означает, что соответствующая функция взята в точке М, С другой стороны, в М, имеем для характеристики 2-го семейства: (ЛУ) =!Е(Б,— а,) (индекс 1 относится к значениям в точке М,). Заменяя произволные конечными разностями (это фактически мы все время и делали), мы найдйм коорлинаты (х*, у") точки пересечения наших характеристик из соотношений: теоретические ОснОВы гАЗОВОИ динАмики !Гл. 1 где ~", о' — значения этих функций в точке Л1*. Таким образом, х', у*, 8", о определяются из системы линейных уравнений (11.6)— (11.9), а коэффициенты этой системы содержат тригонометрические функции.
Элсрс') предложил приспособить расчйты с помощью характеристик для электронных вычислительных машин следующим образом. В качестве искомых величин следует принять не а и р(о, р), а две новые величины т=с!да, в=гд~. (11.10) В этих новых величинах соотношения на характеристиках (9.23) привгтт вид: (11.11) В то же время по (9.22) лв х — 1 2 1 ев х+ 1+в+1 1+Зв так что, после элементарных выкладок, мы получим гГР ! Ул 1в у от е 2 !о/ гх+1, х — 1 (! + тв) + тв) 2 2 ! н г(р = .,агв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
