Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Здесь наступает явление сильного разрыва. Чтобы найти точку А разрыва, нужно определить предел,ккоторому стремится точка пересечения характеристики, проходящей через О, и характеристики, идущей через Мп когда М, приближается к О. Уравнение характеристики ОА будет (13.1) у = у, (О, О) х, 78 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 1гл. ~ где У,О, О) обозначает у', в точке х =у=О(0); уравнение характ.рнстики М,Л будет у — Ьуе — — у'(Ьхе, Ьу )(х — Ьхе), (13.2) где Лхе, буе — координаты точки М, контура. Выразим координаты вдоль контура — х,, Уе — параметричсскн через угол 113 наклона кривой к оси Ох; тогда У, вдоль контура будет функцией одного 3, определим хл (абсциссу А) из системы уравнений (13.1), (13.2) (нщется точка пересечения): ЗУВ У1(ахм ДУо) Дхо х А У',(о, о) — у,'(Ьхе ау0) Деля справа числитель и знаменатель на Ц (угол наклона контура в точке М,) и переходя к пределу, полагая Ь() — +О, а с ннм и Ьхз — ь О и Ьуе-ь О, получим ~~ — ~ = 01: ! гсуо 1 з=о у, (о, о) ( , ) ("",),.
Чтобы найти у', в функции р. вспомним, что у,' = 1д (р + а), где а — угол между характеристикой М,А и линией тока; но наш контур является в то же время и линией тока, поэтому, вспоминая определение а (9.22), а также принимая в расчет, что «справа» от прямолинейной характеристики первого семейства ОА будет выполняться (10.3) с нижним знаком, получим без труда: ! лхе 1 2 Мн чо соз' чо, (Ако ) 2 з!я'чосоз'ае где Впа = —. л( о — „, Прежде чем решать нашу задачу дальше, посмотрим, что будет, когда на контуре имеется угловая точка.
Сперва рассмотрим случай, *) Формула эта справедлива только в том случае, когда кривизна обте- каемого конгурз будет отлична от нуля в точке О. С. Валландер показал, что если ( — 1 = О, то разрыв образуется впервые не на характеристике / ду (,мх,)„о (13.1), а йа одной нз следующих характеристик. В некоторых случаах разрыв также может образоваться н не еа первой характеристике даже при ~д," ) +о.
Ч >з1 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ОКОЛО ВОЛ>УТОП ПОВЕРХНОСТИ 79 котла влоль контура (рис. 32): у=О при х (О; у=>ейзх при х) 0 (О <~а < т), где т — некоторая положительная величина, связанная с ои о которой будет сказано ниже. Поверхность разрыва начнатся здесь непосрелственно у точки О. Пусть слева набегает поток о„=о, Р а„; о„=О. По прохождении поверхности разрыва поток получит новую скорость и станет параллельным наклонной стенке. Найдем величину этой скорости, а также направление линии разрыва (последняя будет прямой, ибо после еб прохождения скорость опять будет всюлу постоянной). Обратимся к плоскости (о , о ) и з ней проведем гипоциссоиду(7.14), отвечаю>дую Рис.
32. Рис. 33. скорости ог Построим радиус-вектор МО> под углом 13з к оси о: точка М, его встречи с гипоциссоидой даст Вели~ни>у скорости потока наклонной стенки (рис. 33), а описанный в 9 7 прием позволит найти направление О>тг, параллельное направлению разрыва в О'). Существе>п>о при этом отметить, что наша задача попускает решение, о котором мы здесь говорим лишь в том случае, если Угол Ре не бУлет слишком велик. Именно должно быть Ре < 'Рз, где рь — полярный угол в точке пересечения круга о=а„с гнпоциссоидой, отвечающей нашему о,'). ') Из двух точек пересечения прямой ОМ, с гипоциссоидойодаа всегда находится в дозвуковой области (внутре круга радиусз а„), другая — в сверхзвуковой.
Мы выбрали сверхзвуковой режим (точка М,). Эксперимент показывает, что из двух возможных режимов осушествляегся ямеиио выбранный нами. Строгого математического доказательства необходимости выбора сверхзвукового режима еша не имеется. >) ЕСЛИ УГОЛ >Чч бУДЕт бОЛЬШЕ, ЧЕМ В>н КО МЕНЬШЕ, ЧЕМ УГОЛ 3м,х, ОбРазуемый осью о с тем ралиусом-вектором плоскости (о, о ), который касается гипоциссоиды, то можно говорить по-зрежнему о дв>>женин рас- 1гл ! во ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОИ ДИНАМИКИ Чтобы иметь возможность Решать задачи обтекания угла при различных значениях о,, следует изобразить заранее (в плоскости (и„, о,)1 семейство гипоциссоид, зависящих от параметра ог Вводя х Рис.
34. величины о,/аа, о /аь, ю,,1ае и заменяя в (7.14) а', через от посредством уравнения Бернулли, получим для этого семейства линий (:.'У-(.",':;)', ":,, На Рис. 34 изображено это семейство линий для различных ю,/а„ (сплошные кривые) '). сматриваемого типа, только теперь скорость после прохожления разрыва станет дозвуковой. Если Э > Р ,„ то Решения рассматриваемого типа не будет — поверхность Разрыва отскакивает от точки О (см, ниже).
') Здесь же нанесены пунктиром кривые постоянных значений р /ре (стр. 43). а 1з1 движение глзл около вогигтои повгрхности 81 В рассмотренном нами случае угла простота заключается в том, что после прохождения разрыва поток становится снова прямолинейным, что линия разрыва есть прямая и что скачок энтропии всюду постоянен (формула (тАО) и т. и.), а потому движение остаатся безвихрезым. Обратимся теперь к тому случаю, когда стенка С совпадает с отрицательной осшо У Ох при х (О, а начиная от ()ч точки О переходит в криволинейный контур, составляющий )аа в точке О с осью Ох угол ~и, игл малый, но отличный от нуля ').
~г а) Мы предположим для большей иллюстративности, что стенки ар дга от передней кромки до некото- д'Иа ' рой точки М является прямо- о к линейной (еЕ уравнение: у =-. — — гарах) и только потом на- Рис. 35. чинает плавно переходить в кривую (рис. 35). Строим гипоциссоиду, отвечающую скорости о, набегающего параллельно оси Ок потока, и находим направление разрыва ОА около точки О, так же как и в разобранном уже случае угла. Из точки М проводим характеристику первого семейства до пересечения А с построенным элементом кривой разрыва. Вследствие прямолинейностз Рис, 36 отрезка ОМ, отрезок ОА линии разрыва будет строго прямолинейным, скорости во всех точках области ОАМ будут постоянны по величине и напРавлению и изобразятся одной точкой А' плоскости (о, та ) (рис. 36); движение будет здесь безвихревым, н характеристика МА будет строго прямой линией.
Решим задачу 3 для области, ') Лостаточно взять а, < 3„, где р„есть угол, о котором речь шла выше, 6 тееретическа» гилрамекаиика, ч. и 82 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГЛЗОВОИ ДИНЛМИКИ [ГЛ \ ограниченной характеристикой МА, контуром МР7„ и характеристикой второго семейства (криволинейной) АР7„, проходящей через А. В этой области задача может быть решена точно, ибо вдоль МА скорости всюду одинаковьк тзк что здесь будет выполняться соотношение ч ( — 1+ р = сопзй ~ а„г (см.
9 11, а также 9 !5). Далее начинаем приближйнное графическое решение. Нанесем на характеристике АМ, густой ряд точек )(гн Мз, ...; им отвечают известные нам точки Й,', 7ч"...., эпициклоиды второго семейства, проходящей через А'. Прозедзы через точку Лг, элемент характеристики первого семейства М,В до пересечения в точке В с продолжением прямой разрыва ОА.
Скорость В' в точке В найдзтся на пересечении с нашей гнпоцнссоидой эпициклоиды первого семейства, прохолящей через 7ч'; Зная В' и И,', построим с помощью нх элементы хаРактеРистик ДГЕР, пеРвого семейства н ВР, втоРого семейства. Было бы ошибочно думать, что скорость в точке Р, может быть найдена простым пересечением эпимиклоиды второго семейства, проходящей через В', и эпициклоиды первого семейства, проведйнной через Ж'. Такое построение справедливо лишь для безвихревого движения, а движение, происходящее справа от поверхности разрыва и характеристики АМ„, обязательно будет вихревым. В самом деле, наклон линии разрыва в точке В найдется как направление перпендикуляра, опущенного из точки.
О в плоскости (о„, о ) на продолжение прямой Е'В', и так как В' не совпадает с А', то наклон в точке В будет отличен от наклона в О нли в А, .трого говоря, уже начиная от точки А, наша линия разрыва становится кривой, и только неточность графического метода заставила нас заменить прямой линией ОАВ кривую линию разрыва, в то время как на самом деде лишь касательная в точке А к линии разрыва совпадает с прямой АВ. В соответствии с формулами (7.2) и (7.10), бэ будет вдоль линии разрыва теперь меняться от одной линии тока к другой, начиная от точки А, а тогда в формулах (9.18), (9.19) нельзя положить й =- О. Чтобы найти скорость в РР обратимся к уравнениям (9.18) и (9.19).
Перемещению от В до Р, вдоль характеристики второго семейства, выходящей из В, отвечают изменения скоростей, связанные соотношением (9.19). Заменяя, как всегда, дифференциалы конечными разностями, пишем: а 13] движение ГАЭА ОкОлО ВОГнутОЙ пОВеРхнОсти 33 Вследствие (9.19), точка Р, 'плоскости (о„, о ) с координатами (о )р, в (оу)р найдется поэтому гле-то на элеиенте прямой у рв 1 вг ай 'ув оу — ау оу туув+ — (о. — Оув) — 1 Уз (хув — хв) (13.4) При 11 = 0 мы должны были бы искать о„и о на элеиенте прямой, проходящей через В' и параллельной элементу эпициклоиды второго семейства; если Я+ О, мы должны по (13.4) искать (о„)р, и (о )р, на прямой, параллельной той же эпициклоиде второго семейства, не проходищей через точку В'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
