Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Чтобы построить эту прямую, иы должны знать правую часть (13.4). Туда входят известные в точке В ввличины о, а, у', о и хр — хв. Таким образом, наи надо только у р, в' узнать ау ]в на х — ! Э 1!ф Заменим снова 1!Ь на ЬЬ и аф на йф, причем для определения ]з в точке В напишем: аь=']в ьл' аф=фв — ФА Так как «слева» от поверхности разрыва о„=о,=сопя!., ОУ=О. то, очевидно, там будет Ф = Рго]У (Р1 = з во]'" ) ] 1 но линии тока не претерпевают разрыва, а только излаиызаются прв переходе через поверхность разрыва, поэтому.
можно положить ФА = Р]о]УА' фв = Р]о]ув Перехоля к определению Ьл и Ьв, заметим, что злесь, очевидно, идет речь о Ь+, так что надо применить формулы (7.2) и (7.10): Нв ( +П вЂ” Р'( — !) в, (х+!) — — (х — 1) Р 2а + 2 ( +АТАЛ) Рв 1 (13.3) х+1 где фл и фв — углы наклона нормали к линии разрыва в точках А и В соответственно. Точка Р, (хр, ур) лежит на пересечении характеристики ВР, и характеристики первого семейства ]]! Рн Перемещаясь по ВРИ мы 84 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГЛЗОВОН ДИНЛМИКИ 1гл. ~ будем двигаться в плоскости (О„,О ) по прямой (13,4); перемещаясь по И,Р,, мы будем, очевидно, двигаться в плоскости (О„,О ) по прямой / лй)гвг лг Π— Отзг. +, (Ог О~аг,) = ( у (Хр — Хаг ). х т ° ~ ~ - г д з лг У лгг (1 3.6) Но (2),„=О, ибо Мт лежит еще в безвнхревой области.
Таким обЛгг разом, перемещение по (13.6) есть перемещение по элементу эппциклоиды первого семейства, проходящей череа М,', и мы найдвм точку Р; на пересечении этой последней эпицнклоиды с элементом прямой (13.4) Зная Р,', проведем обе характеристики Р,Р, и Р,С, где Рт — точка, лежащая на характеристике первого семейства, выходящей из гггз, а С вЂ” точка линии разрыва.
Скорость в С найдется как точка С' пересечения прямой (9.18) [тапа (13.6)1 с гипоцнссоидой, скорость же в Р, — как точка Р,' пересечения прямой (9.19) (типа (13.4)] с эпнциклоидой первого семейства, идущей из И,'. Нам придатся в обоих случаях знать й в точке Р;, чтобы определить (г(1)/гав)р заметим, что изменение е(ф, происшелшее благодаря перемещению от В к РР будет ~уф — — с'х + — г(у — — Р ( Π— у О„) г(х дф или ~г' рв (От У2 Ухвг ((Р В)' причем Р1 2ае что же касается ЬЬ, то оно может быть получено интерполированием. ибо, например, изменение Ь — Эл известно.
Нужно помнить только, что если окажетсЯ (гр ( г1гл, то надо пРосто положить ггР, —.— О. Определив скорости в С и Р,, мы можем по указанным выше рецептам ггайти в этих точках й, а также построить характеристики Сг,)1 и Рф,. Скорость з Я, (не обозначена на рисунке) найдется затем как пересечение в плоскости (О , о ) элементов линий (9.18) и (9.19), отвечающих точкам С и Р, и т. д. Наша задача, таким образом, будет решена.
Формулы (9.18) и (9,19) представляют то неудобство, что в правые части их входит е(х; таким образом, мы как бы отдайм предпочтение координате х перед коордвнзтой у, в то время как они равноправны. Вспомним, однако, что направление прямой (9.18) или (9.19) а 121 дВижЕНие Газа ОкОлО ВОГнутОЙ пОВЕРхНОсти Вб (ГДЕ ВМЕСТО ФО И Г(О СтОИт Π— (Ок),, И и — (ОУ)ЗГ) ЛЕГКО ОПРЕ- делается; чтобы провести эту прямую, нам, таким образом, доста- точно узнать, на каком расстоянии 3 от точки М' плоскости(о„, о ) к' у она проходит. Согласно известному правилу аналитической геометрии, чтобы найти Е, приведем (9.18) и (9.19) к нормальному виду, умно- Ф У2 У', жзя их на и соответственно.
Замечая, что эле- У)+у,'2 ~'1+у", мент дуги 12з вдоль характеристики первого семейства будет Гз,.=)Г(хз+1у =~ х~)У)+у,", а вдоль второго г(з~ — — ! г(х ! ~' 1+у' мы получим величину 9 в виде: а)ге' — а' у1у2 ,2 2,2 2 21,2 — ~'1+у," ~'1+у,'* Но Р У1 У2 у, юк 1У" 1+У1 У 1+У2 У1У2 У1) 2 (У1+У2) +(1 У1У2) и вследствие свойств корней квадратного уравнения (9,11): У1У2 и — а 2 2 о — а 2 2 у г /; в Таким образом, е= — Я112 1. О а а(пз (18 у) Остайтся только определить, в какую сторону следует отложить 3, для чего достаточно найти.
например, знак проекции о на ось Ох. 86 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОИ ДИНАЛ1ИКИ 1гл. а Рассматривая (9.13) и (9.14), легко убеждаемся, что, так как 5!еп (у, — у') = 5!ев р К лв 111 51е'и пр Ь = 5!~п ~(у — у ) —,- с1х~ Для практических вычислений удобно, как всегда, ввести безразмерные величины: о, а, Ь, ф, 3, з, связанные с о, а, ... соотношениями о= — а„о; а=а,л! 6= 6,Ь, й=рга„ф Ь=а„3, г=й, где 1 — произвольная величина. Замечая, что а1= хЬ|р1, и заменяя в (13.7) лт по уравнению Бернулли, мы придем к следующему выражению для Ь: З.-1 з — 1 515! — н (я+1)л ( з+ 1 ! (Вл — 1)'~' еа Г(5 Ю1 где о,= — ', а а,' 5= + — — (1+1етр) = совр— Изложенная здесь вихревая задача была впервые решена Ф.
Франклем. Несколько слов о решении задачи, о которой мы говорили в начале этого пункта. Пусть точка А есть первая точна характеристики первого семейства, выходящей из О, В которой образовался сильный разрыв (рнс. 37). В области между прямой ОА, контуром и характеристикой АВ второго семейства, проходящей через А, мы имеем, вообще говоря, течение с прямолинейными характеристиками первого семейства. Но дальнейшее решение задачи ничем не будет отличаться от решения уже разобранной задачи об обтекании Ряс.
37. углового контура, причем линия АВ будет играть роль линии АМ„(рис. 33), Рассмотрим теперь пример. Пусть на неподвижную пластинку АВ, наклонвнную под углом ре((р,) к оси Ох, набегает поток, обла- ') Для характеристик 2-го семейства. Для 1-го семейства знак будет обратным. з ы~ кгыло в плоскоплплллзльном свавхзвхковом потоке 8) дающий сверхзвуковой скоростью и, ) а„параллельной осн Ох. Посмотрим сначала, что происходит вблизи пластинки. Над пластинкой, начиная от точки А (рис. 38), поток будет непрерывно поворачиваться до тех пор, пока не станет параллельнь1м направлению пластинки (см.
предыдущий пункт: обтекание угла, ббльшего чем и); далее, от точки В пойдет линия сильного разрыва; пройдя сквозь нее, поток снова станет параллельным оси Ох (см. начало это~о пункта: движение внутри угла, меньшего чем и). Под пластинкой в точке А начнвтся разрыв, и поток станет параллельным к направлению пластинки; около же точки В вдоль характеристики поток начнет плавно поворачиваться (об- С теканне угла, ббльшего чем и) до тех пор, пока, пройдя последнюю выходящую из В характеристику, не станет вновь параллельным оси Ох.
Отметим теперь точки Е и О, в которых линии прямолинейнь1х разрывов пересекаются с край- д ними характеристиками ВЕ и АО, про- В. ходящими через В н А соответственно. Характеристика ЕГ, идущая через Е, будет, очевидно, играть роль характери- Г стикп АЖ„на рнс. Збь Таким образом, Е от точки Е начнется искривление линии разрыва, образование вихрей и искривление характеристик; аналогичную роль играет характеристика СЪ Таким образом, на больших расстояниях от пластинки Рис ЗЗ.
движение будет носить весьма сложный характер. Так, по Ландау, там должны возникнуть дополнительные поверхности разрыва. Мы можем ожидать, что только в области Ул ~(У ~уз мы будем иметь сзадв пластинки скорости, постоянные по величине и направлению. Заметим при этом, что скорости будут различны сверху и снизу от линии, проходящей через В параллельно оси Ох; в этом легко можно убедиться из рассмотрения эпициклонд плоскости (о», сх) н гнпописсоид, ф 14. Крыло в плоскопараллельном сверхзвуковом потоке. Приблнжбнные формулы Аккерета, Буземана, Донона. Гиперзвуковые движения. Парадокс Эйлера-Даламбера справедлив не только для несжимаемой, но и для сжимаемой жидкости, но лишь для случая дозвуковь1х скоростей КРыло, двигающееся со сверхзвуковой скоРостью, обяззтельно подвергается действию сопротивления (так называемого, волнового) и подъемной силы, причем эти силы, вообще 88 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЪ| ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ.
| говоря, значительно превышают обычные силы, происходящие за счет образования вихрей в пограничном слое крыла. Пусть крыло помещено в поток сжимаемой жидкости, бегущей параллельно оси Ох со скоростью и, » а.. Предположим, что крыло имеет острую передшою кромку (поместим на ней начало координат О) (рис. 39) и острую заднюю кромку (точка Р). Проекции на оси Ох и Оу сил, действующих на крыло, деленные на величину р)Т, где д = р, и|/2, а Т вЂ” «хорда» крыла, т. е, длина ОР, обозначим через С и С. Тогда, очевидно, будет: рв н Сн= у ~ Рва)п'||в|(зн ~ Рн зн|'гннгтзн ] ( о О нв рн н„= ( — / р.
3. р*.-|- / р. |. р „). |1|.2) о о где з — длина дуги вдоль контура крыла, 9 — угол касательной к контуру с осью Ох, знак «в» означает, что величина вычисляется в точках верхней части контура, а «н» вЂ” в точках нижней части контура. Угол р положителен, если он откладывается против часовой стрелки от оси Ох и отрицателен, если он откладыру вается по часовой стрелке. 6 Касательиая к контуру на- М правлена в сторону возран стания дуги г. Дуга з отсчитывается как для нижней, так и для верхней ветви контура от точки О.
Чтобы найти )р„ мы должны отдельно решить задачу обтекания контура, состоящего из отрицательРис. 39, ной части оси Ох, верхней части крыла и прямой, параллельной оси Ох и выходящей из Р(жидкость расположить «над» этим контуром). Аналогичным образом р„получится, как давление на крыле, образчющееся в результате обтекания контура, составленного из отрицательной оси Ох, нижней части крыла и прямой (параллельной оси Ох), выходящей из Р, Заметим, что если бы оказалось, например, что для всех точек верхней части контура я 14] кРылО В плоскоплРллг4ель440м сВеРхзВУкОВОм пОтОке 39 (крыло лежит «под» осью Ох), то характеристика первого семейства, выходящая нз О, была бы прямолинейна (так же как и все характеристики первого семейства, начинающиеся в разных точках верха крыла), и мы мо~ли бы найти )у, в функции от р„т.
е. в функции от места на крыле, совершенно точно. Для этого достаточно было бы написать "(й) ='"( — ".') — ~ (считаем, что р,(0) = 0), а затем, решив это равенство относительно О„ вставить полученное значение О, в уравнение Бернулли (например, в (8.10)), и разрешить последнее относительно р,. Аналогично можно было бы найти ря, если бы оказалось О. В случае, если (р,)а) 0 и (~)„)а < О, перед крылом образуется поверхность разрыва (рис. 35); предположим, что , '(3„)„, '< 13, и )(ря),~ «, 3„, тогда после прохожления разрыва скорости останутся сверхзвуковыми. Наличие кривых линий разрыва, исходящих в обе стороны от О, усложняет задачу, порождая, с одной стороны, искривление характеристик обоих семейств, с другой стороны, — вихри.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
