Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Графический метод, изложенный в предыдущем пункте, позволяет и здесь решить задачу до конца. Однако, он не дает готовых окончательных формул расчзта (для С и С, например), а заставляет решать задачу для каждого случая отдельно, так сказать, арифметически; кроме того, графический метод может здесь привести к большим неточностям, так как характеристики МА, М,В и др.
(рис. 35) будут практически почти параллельны линии разрыва АО. Однако для случая тонких и мало наклоненных к оси крыльев (малые абсолютные значения углов р, и 13») можно провести промежуточные операции в общем виде и дать готовые формулы, по которым, зная форму контура крьша, можно найти непосредственно давление в каждой точке крыла, а также С и С . Это было сдех у' лано впервые Аккеретом (1925 г.) для случая, когда углы настолько малы, что членами, содержащими их квадраты, можно пренебречь по сравнению с единицей (линеаризация уравнений); Буземан и Вальхнер (1933 г.) дали формулы, учитывающие квадраты углов (~(, наконец, Донов (1937 г.) учзл третьи и четвертые степени углов ~р1.
Мы изложим ход рассуждений и окончательные результаты Донова; попутно мы получим, как частный случай, результаты предыдущих авторов. Рассмотрим произвольную точку Аг на нашей кривой линии разрыва 04Г (рис, 39). В этой точке гидродинамические элементы меняются скачком от значений ту (пп 0), рп рн Ь4 до значений Ъ'«(Ох, О ), р, р, 9. Любая пара значений элементов «справа» от 90 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 1ГЛ, 1 разрыва может быть связана одним соотношением. Уравнение гипоциссонды (7.14), в частности, связывает между собою т»л и о, У' и значит, о и р. Замечая, что скорость после прохождения разрыва в точке»»г обРазУет с осью Ох Угол Рлг, котоРый бУдет ииеть тот же порядок малости, что н углы р', контура крыла, решим уравнени гнпониссоиды (написанное в координатах о и р) относительно т», представляя о в виде ряда по восходящим степеням р.
Простые вычисления дадут нам (так как мы ищем четвертое приближение, то мы ограничиваемся здесь и далее членами с рз): ОА»= о» (1 + Ь»Р»+»»2р~ + и р»»+ 5 Р»»+ ° ° ° ) (14 3) где Ь» = — (М2 — 1) Ъ, 1) = — (М2 — 1) '*~ — + — М2+ — (х — 1) Мз+ + Зх — 12х+5 Ма, (х+1)' ! М2 1 -з ~" 1 + 5 М2 17 — 29х М„1.»-27х — 12х' Ма+ ! 24 8 24 24 5+5л х'+ лз Мз — 5+х+Зхз Злз М»о~ 16 48 м= — '= . о 1 а» Мпа, С другой стороны, формула (7.2) позволит вместе с (7.10) найти отношение 818» в функции от !Е»р, а !(1х по (7.11) выразится через о и О и, следовательно, по (14.3) в виде ряда по рл».
Производя выкладки, получим '): =1+ (зрл+ 14А+ (14. 4) » где 14= * 16 М (М вЂ” 1) !4+ 2(х — 2) М вЂ” (х — 1) М~). То замечательное обстоятельство, что ряд (14.4) не содержит первых и вторых степеней р,», позволяет заключить, что если мы пожелаем ') При разложении в ряд здесь удобно ввести сначала др = р/р» — 1 и разложи»ь отношение 676» по степеням Лр (величина того же порядка малости, что н 8), используя лишь (7.2) и (7.10); уже в зтоз» разложении будут отсутствовать члены с Ь в первой и второй степени. 4 1о) кРылО В плОскопАРАллелънОм свегхзвкковом потоке д1 учесть лишь первые и вторые степени р, отбрасывзя члены с рз и далее, как малые (приближения Аккерета и Буземана), то мы в праве будем считать Ем(81=1; это значит, что в первом и во втором приближениях вихреобразование можно не учитывать и считать всюду Ь = 01 = сопз1, Остановимся несколько подробнее на первом и втором приближениях.
Так как с точностью до малых второго порядка включительно вихрей не будет, характеристики будут здесь снова эпицнклоидамн 12+ ь( — ) = сопз1. Рассмотрим на нашей линии разрыва ОО какие-нибудь точки Ж1, Агя, ... (не изображены на рисунке) и через каждую из них провсдЕм по характеристике второго семейства до пересечения с контуром в точках Мп М2, ...
соответственно. Точкам Ж1, А12, ... отвечают в плоскости (о, о ) точки гипоциссоиды А1О Аго, ... Так как углы ~А1 малы, то зсе точки Агг, И2, ... будут располагаться поблизости от двойной точки гипоцнссоиды (р = О, О= о,). Обратим теперь внимание на то новое обстоятельство, что с точностью до малых второго порядка включительно уравнения гипоциссоиды и эпнцнклоид, выходящих из точки (О = ОР о„ = О), совпадают. В самом деле, для эпициклоиды будет по (10.3) и (9.22): (лв) 2 'А о (Мя 1)-'А лз /о=м ' 'о=о' о=о 1 так что 2-о' 1 что и доказывает наше утверждение. Но тогда все точки Аг1, Агт, ...
можно считать, с точностью до малых второго порядка, расположенными на эпициклоиде (14.5) а если это так, то, выходя из точек А(1, Агя, ... и двигаясь по характеристикам второго семейства А(1МР АГМ,,..., мы будем в пло<.кости скоростей выходить из Аг,, А12 ... и перемещаться приближенно всегда по одной эпициклоиде (14.5), пРоходащей чеРез(о = Оо р = О) (ибо все точки А(1, Агя, ... на этой одной эпициклоиде при- теогетические ОснОВы ГА30ВОЙ динАмики [ГЛ. ! ближйнно лежат), Это значит, что с нашей то шостью для всей «верхней» области скорости связаны уравнением одной эпицнклоиды (14.6), совершенно аналогично тому, как это было в случае отсутствия поверхности разрыва.
В частности, имеем для точек контура крыла: (14.6) Решая это уравнение относительно о, (в виде ряда, расположенного по степеням ра), получим: — о (1 + (р!Р + ррзн + ° ° ° ). Нам остается Вставить это о, в уравнение Бернулли, чтобы найти давление р, в функции от р„т. е. в функции места на контуре. Уравнение Бернулли ! — 1 ся карр " е! хз!р! — +- — — — — +. 2 х — 1 2 .р,— 1 удобно заранее решить относительно р, взяв его в виде: р=р,~ — ) [~ " 1 и ( — — 1)] НР7) (для второго приближения надо затем положить Ь/Ь! —. 1).
Вернемся к третьему и четвертому приближениям. Здесь нам придется считать 0 переменным по (14.4), а тогда, вместо уравнения эпициклоид, на основании (9.24) мы должны написать вдоль характеристики рчМ, например: с! ~~+ч( — )~ = — г(1п 8. (14,8) яп а! соз а, Прибавим и отнимем в правой части (14.8) член — — г) 1и Э. Получим: о 'р1 арпа!воза! с 1 Э Брп асов — зю а! сова! ~ Проинтегрируем теперь (14.9), двигаясь по характеристике от точки М до М. Получим: М ява! сова! ! Эл! Эм'! !" яп асов а — яп а, соа а, ИЭ вЂ” !1п — — 1п— — Э, Э, ( х — 1 Э ' АР а ы! Квыло в плоскоплвлллильном свсвхзвтковом потоки дЗ что мы можем записать ещЕ, если применить к стоящему справа интегралу теорему о среднем значении в виде: г а э„1 — Н ~!и — — !п — ), (14.10) яп а соа а — яп аг соа а~ где Н вЂ” аначение разности— для некоторой среда — 1 ней точки кривой ММ. При помощи (14.10) найдвм теперь ом в функции от рм., для этого нам надо выразить входягцие в правую часть (14.10) величины через элементы в точке М.
Прежде всего замечаем, что ом=йо тле 0 — значение Ь на передней кромке (в верхней области), ибо Э сохраняется после прохождения разрыва вдоль линии тока, каковой является линия контура крыла ОМ. Теперь вследствие (14.4) мы можем написать ам ам ао '" э — '"У=-'"У вЂ” '"-Г='Р' — В)+' Р' — ~')+ " 1 1 1 (14.1!) (как всегла, не выписываем члены, содержащие З в пятой степени и выше); таким образом, наша разность логарифмов выражается через известные величины (!з, 1, Зе) и через угол ~,, Выразим теперь Ку+0(олма„) также через угол ~,д.
01ы уже знаем, что с точностью ло малых второго порядка пялючительпо изображение скорости точки !Ч лежит не только на гипоциссоиде в плоскости (ох, о \. но и на эпициклонде, проходящей через точку о = оо 'р = О. Значит, мы можем ожидать. что р, — !-0(ол/п„) =0(о,)а,)+ б. и. третьего и четввртого порялка. Чтобы найти эти малые третьего и четввртого порядка, улобно ввести в рассмотрение величину о, определяемую равенством "+ц'";! ='-(9 Разлагая о з рял по степеням го . получим; я == ог ( ! + !'1р_#_ -1- лзрл'+ !гз~!ж+ л41тм+ ...) Э и! КРЫЛО В ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ 95 Но теперь ясно, что член, содержащий Й, может быть отброшен. как имеющий пятый порядок малости.
В самом деле, Й имеет сама, как разность двух функций, вычисленных при бесконечно близких значениях аргумента, первый порядок малости; величина же рз — ~м з з имеет по (14.13) четвертый порядок малости ((г(91гГх)з — мало]. Вставляя (14.13) в правые части (14.11) и (14.12), внося эти выражения в свою очередь в правую часть (!4.10), получим, собирая члены: 3 м+' ( а ) (и ) ь (Ьз Ьз)ВО Ь, — З„' 2!), (з, ь,') 1 Ь 1 зз ~о ! 3В ( Зз — Зз Мпя, сов и, 21, З, + я 1 з/ м~~о( Л / + решая это уравнение относительно о и выписывая члены до четвйртого порядка малости включительно, получим: олг оз ~ 1 + Ьн м + ЬУм + Ьз~м+ Ьзгм + тЬЗ Ьз) го + +~Ь,— Ь; — ф(Ь, — Ь,'фЦ+ф(Ь,— Ь,~3 йм+ Нам остается сделать последний шаг: вставит. это ом в правую часть выражения (14,7) для давления, и мы получим давление в каждой точке М обтекаемого контура в функции от рм н от хм.
Выражение Ом/Ьг, входящее в (14.7), есть Ьз/Ь, и по (14.4) будет м з 1+(~з+(3ос+ 1 1 После элементарных преобразований получим окончательную формулу: р = р, +о [а,й,+ аф~ + а рз+ а ~4+ а,Д(0)+ а „~~ (О)+ ЛЬ +азлЦ(0)Р,+ а,„~з(0)( — ') х| -(-б, м. 5-го поРЯдка, где р, — значение угла наклона касательной в точке контура верхней части крыла, в которой ищется р„ х — абсцисса этой точки, 96 теОРети'(еские ОснОВы ГА3ОВОН динАмики (гл р,(О) — угол наклона касательной к контуру (верх крыла) в точке О, коэффициенты имеют следуюшие значения: Р(РЗ я (7 = —— 2 а, = 2(МЯ вЂ” 1) ая —— (М' — !) '(2 — 2М'+ — М"); аа —— (М' — 1) ч'~ — — 2Ма+ — (к+ 1) М4— 3 5+ 7х — 2'-' Ма + " + 1 МЗ1 б 6 а =(М' — !) "( — — — М'+ — — — М' — —, — '-М + ; (2 2 я 7+ 19к 21+43х — !8х' 13 3 б 12 15 + 20х — бх » + Зх» !2 21+20х — Зх» — 2х' („), 3 +2х — к» Г„!Ы) 48 + 48 24 10+ Зх — бхх+ х~, 9 — 7х»+ 2х а — 3+к+ Зхх — х» аз =М (М вЂ” 1) ( — —.+ аг х+1 7+2х — 5к' 24 М'— 4 — Зх — бх'+х» М4 3 — 7к — 7х'.+ЗА' „а) 24- + 96 а„= ' М" (М вЂ” 1)- !',— 1+ М + — '.— М").
(»'- + 1) а х — 4 / 3 — 3. 5 16 2 8 Совершенно аналогичным путам для точек нижней части крыла найдйм: р„= р,+(7 ~ — а,р +ОД вЂ” а Зз+ аД вЂ” а,„~„"(0)+ а „ф4(О)+ » к(» + а,~~(0) (4„+ а,„~ав (0) ~ — ") х1+ б. и. 5-го порядка. 4!4! крылО В плОскОпАРАллгльном сВеРхзВукОВОм пОтОке 97 Остановимся на характере различных членов, входящих в наши формулы. Если бы мы Пожелали ограничиться вторыми степенями р, то нам надо было бы со~ранить лишь члены с аг и ам Мы получили бы приближения Аккерета и Буземана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
