Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Второе соотношение позволит нам выразить вихрь и показать, что если Ь и тв бУдУт постоЯнными величинами (не зависЯ- шими от ф), то движение будет безвихревым, и обратно — если движение безвихревое, то, вообше говоря, Ь и 1в постоянны. В самом ') Величина ! ыожет быть определена как сумма внутренней энергнн н отношения р/М 1 р с„Т р с„+ А)7Г срТ Кроме !ермака тевлосодержанне лля обозначения ! уяотребляются еща назвюшя: 1евловая функция единицы массы и энтальпня. ПОВЕРХНОСТИ РАЗРЫВА В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ деле, возьмем, например, (6.2> и вставим в него оа из уравнения Бернулли. Произведя сокращение.
получим: д д — (д Р ) нли, так как 6 и га зависят от у через посредство ф: 1 / суа х — "„' дв 1 дф е 11дф х — 1 дф/ ду ' (6.10) наконец, вследствие (6.5) можем написать: («1, х — "„(Э) Формула (6.11) показывает, что если б и га постоянны, то аз= — О. Обратно, пусть й = О. Тогда по (6.11) Жа „дз (6. 12) аГФ х — 1 4 (6. 11) значит, по (6.9) и о, будут функциями и если М/11ф чь О, то р, а одного ф: -1 р — дав ! дз х дф~дф (6.13) Случай этот не представляет интереса; ему отвечают движения с ли- ннямн тока — либо концентрическими кругами, либо параллельными прямыми (см. ниже В 15). Таким образом, вообще говоря, если Я = О, то должно быть дэ ~э — — О, а по (6.12) и 1(аа Ч.П =О.
12( )+» — 1[рз) Заметим, что может оказаться, что йр/дф Ф О а Ю/сгф= О илн же дга/сьф= О, а дб/дф+ О; пРи этом, РазУмеетсЯ, 11 + О. Мы >видим, 1то случай постоянного гр и переменной энтропии 0 представляет для газовой динамики наибольший интерес. й 7. Поверхности разрыва в плоской задаче. Покажем прежде всего, что в плоской стационарной задаче г„не претерпевает скачка при переходе череа поверхность сильного разрыва. Для этого обрзпгися к уравнению (5.6) и перепишем его, заметив, что, вследствие стацнонарности, Ъ', = — 6, так: 36 теОРетические ООИОВ1я глэОВОЙ динллтики [ГЛ, 1 или, что очевидно, р61~"' ] ', '~.= [~ рй~= — -рй~р~~, откуда, перенося все влево и собирая члень1 под знаками разрыва а это и означает, что если 0 чь О, то вследствие (6.9) и (6.7) ['а] 0 (?.1) В приложениях газовой динамики речь идет обьп1но о незавихренных потоках газа, обтекающих какое-либо препятствие (крыло, например) или вытекающих из отверстия (сопло и т.
п.). Так как в незавихренном потоке га — — сопз(. и так как по (7.1) даже наличие сильного РазРыва не нзменвет вели шны га, то, оставлиа з стоРопе влияние пограничного слоя, мы можем считать в практически важных и интересных случаях просто га = сои з1. ()братимся ко второй величине, характеризующей завнхрснность потока,— 9. Покажем, что если в набегающем потоке и было О = сопз1„ то после прохождения потока сквозь поверхность сильно~о разрыва обязательно, вообще говоря, станет ИО)11ф †' О, т. е. если поток до прохождения скачка уплотнения я был потенциальным, то после он станоиится вихревым.
Для доказательства обратимся к формуле (6,10) и умножим обе ее части на (р /р )". Можем написать тогда: р „я+. 1 — (к — 1) '= или, по определению Ь из (6.7): (7.2) Формула (7.2) показывает, что Ь,/Э =-1, т. е. [6]=О, лишь в том случае, когда р о, =-1, т е. [р] = — О, т. е. когда скачка уплотнения просто нет. Как мы увидим дальше, [р] будет, вообще говоря, различен в разных точках поверхности разрыва, но то1да и [6] будет меняться от одной линни тока к другой, так что если О «слева» от поверхности разрыва и было постоянно, то, претерпев в разных ПОВЕГ'лНОСГИ РАЗРЫВА В ПЛОСГГОП ЗАдЮГЕ 37 а у! точках этой поверхности разные скачки, оно станет функцией от (Г.
двГГжение, бывшее перед скачком уплотнения безвихревым, станет зГпем, вообще говоря, вихревым, Восемь гидродинамических элементов: р„, р+, ол, и + Р Р , Π— связаны вдоль поверхности разрыва четырьмя соотношениями [формулы (2.12), (2.13) и (5.!О)[: рй [и„[= [р[соз(а. х). рл' [о [.= [р[соз(а, у), [рй[=-0, а„(у. +. 1) р — (х — 1) р (7.3) (7.4) (7.5) (7.6) Р (. + 1) р — (.
— 1) у содержащими, кроме упомянутых элементов, еще девятую величину — угол между нормалью а к поверхности разрыва и осью Ох или ОУ. 0, вследствие стационаРности движениа, выРажаетсЯ чеРез !Ул: в = — [у„. (7.7) л-: Г' Р— =РГ' Р- =РГ' ох+ =Ох' оуч = ну' Ру =Р! Р+=Р' Пусть еще угол наклона (а, х) нормали а в точке М поверхности разрыва будет Р.
Тогда, так как о =О, имеем прежде всего у[Ул+ ОлсозР+Оуэ!пр' (7. 8) — 0 =- у л — — пГ соз ГР (7. 9) а используя (5.12), получим: О СОЗ Гр=х— 2 3 . УУГ 2р р, (х + !) р, (х !) р откуда без всякого труда найдем р[РГ через !пГР: Р х-1- ! РГ л, х — 1+2 —; (! + Гйу т) РГ (7. 10) Таким образом, мы можем, зная все гпдродинамические э,тементы с одной стороны от поверхности разрыва, найти связи мел<ду любой парой элементов по другую сторону от поверхности или между каким-либо из этих элементов и углом наклона поверхности.
Наибольший интерес представляет установление соотношения межлу обеими компонентами скоростей, а также выражение плотности через угол наклона поверхности разрыва, Рассмотрим произвольную точку М поверхности разрыва. Пусть нам известны величины р , р , о , о . Повернем ось Ох так, чтобы она пошла параллельно направлению скорости [У в точке М, и обозначим где, как всегда, буквой а обозначена скорость звука аз=х — '' .
Формула (7.10) показывает, что если 57 меняется от точки к точке вдоль поверхности разрыва, то р/р1 будет разным в разных точках поверхности, и по (7.2), если даже и было Э, =соп51., то 6 станет в разных точках разное, и возникнут вихри. Так, например, ес,чи )' сохраняет всюду постоянное направление, то прн кривой линии разрыва вихри образуются неизбежно; лишь если поверхность разрыва есть плоскость, движение останется безвихревым. Чтобы найти зависимость между о, и о, разделим сперва (7 4) на (7.3); получим: ет (др= е« (7.11) С другой стороны, по (7.3), после сокрашения на соз(п, х)=со522, РГО1(о« 211) = Р Р1 (7. 12) а вследствие (7.6) — — 1 Р Р1= 2»р1 х+! — (х — 1) — ' Р~ (7.
13) Сравнивая два выражения для р — р, ((7.12) и (7.13)), вставляя вместо р(р1 правую часть (7.10) и заменяя 1Р м через посредство (7.11), приходим после простых преобразований к слелуюшей формуле, связывающей и и о: 2 2 л 1 ., — — /-(ш —.л) ( 1 «л 2 2 +1 ~1 1 е«+ х+1 о, (7. 14) Остановимся на формулах (7.10) и (7.14). Формула (7.10) выражает Р(р1 через ~.
Представляют интерес также формулы, вырахсаюшие через о отношение р(р1, а также величины о„и о,. Внося (7.10) в (7.6), получим после элементарных преобразова11ий р 2» е1 х — 1 —, созз о— Р, »Ч-1 аз ' х+1 Вставляя это отношение в формулу (7.12), получим; 2 а 2 .,=. 1+ «1~ — — — — соз хт1 е21 хт1 (7. 16) 38 тЕОРЕГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ШЛ. 1 39 ПОВЕРХНОСТИ РАЗРЫВА В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧР а т! Наконец, внося Р из (7,16) в (7.11) и решая полученное уравнение относительно о, получим: 2 Тх а, о!1~17~ — ', — соза17 х ! ! 1 (х,2 (7. 17) формула (7.14) имеет многочисленные приложения, В плоскости (о, о ) при данных значениях а! ч о! уравнение (7.14) представляет кривую, симметричную относительно оси о„ пересекающую еа в точках О,.
=- О1, О„=- О (лвойная точка) и х — 1 2 а, а О О -1- — — ', х+! 1 ' х+1 Р, о =О Т н имеющую в качестве асимптоты прячую (рис. 4) 2 а 1 О =Р-~- — — —. х-1-! о, ' Рнс, 4. (О ) соз(-., м)-1-[ю ) соз(х, у) =О (= — касательная к линии разрыва в плоскости х, у), то, если обозначить через У, проекцию скорости на касательную к линии разРива, — будет (У ! =-О.
Отсюда следует, что направление поверхности разрыва должно быть тш:ово, что если на него спроектировать ~корость ~а «после разрыва, то эти дзг проекции будут одинаковы Эта кривая мо1кет быть полученз путам якверсин гиперболы в еа вершине и называется галоциссоидой (обычная циссонда Диоклеса может быть получена путам инверсии параболы в ее вершине). Если скорость в точке М отрицательной области имеет величину От (пРи этом скоРость звУка а, полУчктсЯ, если !з известно, из УРавнення Вернул;ш), то конец векторз У скорости в точке М„ будет лежать где-то на упомянутой гипоциссоиде. Если бы нам было известно напрзвление У , мы могли бы, воспользовавшись гипоциссондой, найти и величину вектора У „; совершенно аналогично, зная Величину Уе, мы нашли бы без труда и направление (вернее, абсолютную величину угла, составляемого Вектором 1ге с направлением О1).
Наконец, прн помощи нашей гипоцнссоидь! можно найти направление поверхности разрыва в точке М, если известно направление скорости после прохождения поверхности разрыва. В самом деле, так как вследствие (7.3) и (7.4) 4О ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОПОЯ ДИНАМИК!! 1гл.
1 ((г „= К ). Имея гипоциссоиду (рнс. 5) и зная направление ОМ, а значит, и величину ОМ скорости 1' после прохождения разрыва, соединим двойную точку Р гипоцнссоиды (ОР = К ) с точкой М и опустим на продолжение прямой РМ перпендикуляр из точки О до пересечения с РМ в точке Я. Очевидно теперь, что направление ОО таково, что проекции на него $гт и Тг одинаковы.
Нам остается только перенести это направление на плоскость (х, у), чтобы получить нужное направление кривой разрыва. Заметим, что всякий луч, выходящий из точки О, пересечвт гипоцнссоиду, вообще говоря, в трех точках (рис. 5). Однако, в силу теоремы Цемплена, точки М', расположенные на уходящих в бесконечность ветвях гнпоциссонды, рзссматрявать не следует. В самом деле, желая получить прн поношк точки М' направление касательной к поверхности разрыва, мы должны опустить перпендикуляр ОО', но тогда О'№ есть нормаль к этой поверхности и о О'Р =- 'Р'„, („'1'М' = Ъ'„,, так что, вопреки теореме Цемплена (й 5), имеем: )л<-))л-' Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
