Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 7
Текст из файла (страница 7)
во всех точках плоскости о) а„. Наличие действительных характеристик позволяет здесь развить эффективные методы решения системы (9.2), (9.5). Чтобы построить характеристики, которые в случае плоской стационарной залачи будут, очевидно, линиями пересечения с плоскостью (х, у) цилиндрических поверхностей, предположим, что некоторая кривая 7. с уравнением у=у(х) плоские вихгевые движения л'в у'(а' — оу)+о о (а' — ьл) —" — о ш— = 0 *). (9.10) г(пу — — — Я Фл Обращаясь сперва к (9.9), по тучин, раскрывая определитель, следующее соотношение, связывающее у', тг„и о: ,2 2 2 2 2 2 (пл — и ) — 2п и у'+оу — и =О.
(9. 11) Заметим попутно, что это соотношение было уже получено нами в другои виде в обшей теории слабых разрывов. В самом деле, мы видели, что проекция (г„ скорости газа на нормаль л к характеристической поверхности лолжна равняться местной скорости звука 1(г„1 = а. В нашем случае г'„у' Ь;,=о„соз(н, х)+ну соя(н, у) = — —" — + М1+у" )Гй+я"' г и потому условие (г„ = а2 примет вид: (и — о„у')'= ая(! .+ у' ), что, как нетрудно убедиться, совпалает с (9.11). Таким образом, тангенс угла наклона у' характеристики может принимать два значения, опрелеляемые как корни квадратного уравнения (9.11): Г,В а)Р Сц — а х ь у = (9.!2) в„— а ,2 2 Ооответственно этому через каждую точку плоскости (х, у) можно провести два элемента характеристик, а вся плоскость (х, у) (в предположении всюлу сверхзвуковой скорости) может быть покрыта двумя семействами характеристик.
Если лвижение уже известно, т. е, о„ и и известны как функции координат, уравнения (9.12) представят лва дифференциальных уравнения, кажлое из которых, будучи проинтегрировано, даст одну систему характеристик в плоскости (л, у). В дальнейшем мы всегда будем называть ту характеристику, которая отвечает знаку плюс перед корнем в (9.12), характеристикой первого семейства, а ту, что лает у' со знаком минус перед корнем, — второго *) Равенство нулю определителя с замененным первым столбцом получается как слелстяие (9.9) и (9.10). семейства.
Будем писать соответственно у,(х) илн и (х), так что „„+ гтог,с э 'Х г о — а г г х оо — а~/г1 ге (9.14) к Обратимся, однако, к уравнению (9.10), которое должно выполняться вдоль характеристик наравне с уравнением (9.9). Раскрывая его и группируя члены, получим сперва ~от аса [у'(аг — о'-)+ 2о и ') — ' — (аг — ог) — = =(у'(аг — о')+о,о! Я, (9.15) нли вследстане (9.11) о — а ао Ио т т +гог аг) х го о +у~газ оД гт (9 10) г г откуда, деля на ' , и заменяя члены в квадратной скобке правой У части по формуле (9.12): аг о — а г — — + о У Их о — а г а'о а )' о' — а' ах о — а г г у у'ь:, (9.17) и тогда аместо у' У =Уз.
уравнения (9.11) где справа знак минус отвечает первому семейству, должно стоять у,', а знак плюс отвечает значению й(ы можем представить произведение корней в виде: г г У о — а угуг и потому вдоль харзктеристнк первого семейства будет а )Го~ аг Я вЂ” — у' г(х, ,г г ! о — а у 1 7о + —,~7о Уг а вдоль второго ао + —,гго = 1 Х= (9.18) а )го' — а' 11 — — — у, ах.
г г г У (9. 19) Соотношениям (9.12) и (9.17) можно придать более обозримый впд, если ввести вместо проекций о и о скорости величину ско- 48 теоеетнчнские основы глзовоп динамики !гл. г ПЛОСКИЕ ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ рости о и угол р, обрззуемый вектором скорости с осью Ох (рис. 6): о — о со 5 8 ° о — о 51п 11 (9.20) Заметим, прежде всего, что скорость Ъ' в точке М(х, у) будет Всегда направлена по биссектрисе между касательными к обеим характеристикам, проходящим через М.
В этом можно убедиться пз рассмот'рения (9.12), проще же это можно получить из равенства (1~и~ =а. В самом деле, тот факт, что проекция )д, на нормаль к обеим характеристикам скорости М точки М равна по абсолютной величине одному и тому же числу, указывает, что скорость составляет один и тот же угол с обеими касательными, проведенными в М к нашим характеристикам. Угол этот называется углом Маха. Обозначим его буквой а; тогда по определению а будет (рис.
6): (9. 21) о Следует подчеркнуть, что величина угла Маха а зависит исключительно от отношения о/а, но не зависит от угла р. В самом деле, по (8.9) мы можем написать: +1 Га та (9.22) Теперь мы можем представить 19.12) в виде: у' = 19(р + а). (9.23) Прежде чем преобразовать 49.!8) и 19.19), найдем, как изменяется 8 при перемещении вдоль характеристики. Вдоль последней будет 0 = 0 ~ф ) х, у т'х)Ц, так что или, по (б.б), аз аэ тгх у х —,= — р(о — о у') —, Но тогда можно представить й, стоящее в (9.18) и (9.19), в виде — иэ и — ' 1 иа .-1 к — 11 Ра' — еху 11х у 1 а' с11п З и — 1 ну — отул ах 4 теоретическая гидроиетаи|тка, ч 1т 60 тиовитическии основы газовой динлмики !гл, ! Вставим это значение г2 в (9.18) и (9,19) и ааменим еще а„и о по (9.20), а у' по (9.28). Получим: г( (и з)п 8) + с!ц (р: а) г((о соз р) = 1 а'ри' — л'!ц О.
) и!па х — 1 е (Мп ~8 — гя() -е ч) соа р) (еазнрр ег) ' Наконец, собирая члены с г)ю и ф, деля на коэффициент при И8 и применяя (9.21), получим после простых преобразовании: + е х — 1 (9. 24) Мы вернемся к вихревой задаче в 9 13, а сейчас приступим к решению отдельных конкретных задач в безвихревом случае.
Здесь мы будем иметь значительное упрощение формул (9.18), (9.19) и сможем значительно дальше продвинуться в общей теории. ф 1О. Плоские безвихревые движения прн и> а,. Если вихри отсутствуют, т. е. уравнения (9.18) н (9.19) могут быть записаны в виде: вдоль характеристик первого семейства: чат 1 х уз (10.
1) вдоль характеристик второго семейства: 1 ацс у~ (10. 2) о С 1à — 'а„. Г т.+1 --Гя,* Таким образом, интересующие нас точки плоскости (о, о ) все рас/ х+! положены в кольце между окружностями о=а,из= аг 1 а,. Предположим, что мы перемещаемся вдоль характеристики у =у,(х) в плоскости (х, у). В плоскости (ол, о,) мы будем перемещаться Рассмотрим, кроме плоскости (х, у), которая пся покрыта линиями характеристик у == у, (х) и у = уа (х), плоскость компонентов скоростей (и, о ). Мы имеем дело со сверхзвуковыми скоростями, значит, в этой плоскости мы должны рассмотреть точки, лежащие вне круга о=а,. С другой стороны, мы знаем (9 8).
что скорость движения газа ПЛОСКИЕ ВЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ПРИ и > а 5 1О! при этом, вообще говоря, вдоль некоторой линии. Эту линию назовйм характеристикой первого семейства в плоскости (22к, и ), На этой линии должно быть выполнено всюду соотношение (10.1). Аналогичное построение повторим для характеристик второго семейства. Через точку УИ плоскости (х, у) проведем элементы характеристик первого и второго семейства. Пусть точке М отвечает точка М' плоскости (эк, В ) (координаты точки М' суть компоненты скорости в точке М), Равенство (10.2) показывает тогда, что касательная к характеристике первого семейства, проходящей в плоскости (х, у) через М, будет нормальна к характеристике второго семейства, проходящей через соответствующую точку УИ' в плоскости (В„п ) (ось Ох параллельна оси 22к); также, по (10.1), касательная к характеристике второго семейства в (х, у) будет параллельна нормали к характеристике первого семейства в (и, и ).
Характеристики в плоскости (х, у) будут иметь В различных задачах газовой динамики рааличную форму. Напротив, характеристики в плоскости (пк, и ) будут для всех безвихревых задач иметь всегда один и тот же вид, так что мы можем их рассчитагь раз и навсегда. Действительно, пз уравнения (1О,1), например, вследствие (9.1 4), следует, что 1ГР У а — а 2 2 к ,1) "ек ак к у т, е., так как а2 выражается только через о'+па и правая часть, У таким образом, зависит только от о, и, но не зависит явно от х, У' у, то мы имеем для определения хзрактеристики первого семейства в плоскости (и, и ) обыкновенное дифференциальное уравнение. Для интеграции этого уравнения удобно обратиться в плоскости (о, о ) к полярным координатам и, р, уже введенным нами по формулам (9.20).
Именно, (9,24) даст нам для безвихревого случая (Ь = сопз(,) просто г(р + — г(п = О, С1я а (10.3) и так как с(й а зависит исключительно от и (вернее, от отношения о)а„), то переменные разделены, я достаточно выполнить квадратуру. Вследствие (9.22), имеем: твовятичвсхив основы газовом динамики [гл. г так что Квадратура легко выполняется, и мы получим р=+ — „1 атеей е — а, г — агс 1К ' + сова(. (10.5) т е — 1 к+1 Уравнения (10.5) представляют два (соответственно двум знакам правой части) семейства линий, зависящих каждое от одного параметра. Все эти линии располагаются в кольце Г +1 а, (о ( аг — а„. х — 1 *' Нетрудпо убедиться, что это — эпициклоиды, которые можно получить, следя за движением точек окружности радиуса катящейся по кругу о=а,.
Мы приходим к важному результату: характеристики в плоскости (о„, о„) представляются в случае безвихревой аадачи всегда в виде эпициклоид. Равенство (10.5) может быть ещв записано, если ввести вместо о угол а по (10.4), так: р = + ( аг агс уф с1да)+а) + сопз1. (106) Для удобства дальнейших вычислений мы будем писать для харак- теристики первого семейства (10. 7) а для второго 4 1О! ПЛОСКИЕ ВЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ПРИ а > а гле ) и 9 — постоянные, а а/а~ «( —,")= 1 агс !8' ,2 2 — агс !е — (10.81 2 к ! 2 а — — Р * к+! Через каждую точку Л4' плоскости (о„, В ) (в кольце а,~(В ( / +! ( 1г ! а„) проходит олна эпициклоила первого семейства я одна к — 1 второго семейства. При этом, по (10.7), разность соответствующих аначений постоянных р — ! будет в точности равна полярному углу 8 тОчки (В„, и„): Л 8 т. е.
будет сохраняться на асам радиусе-векторе, проходящем через М'! а сумма значений Х и р будет Л+р=С~ — "), т. е. сохраняется на всйм круге с центром в начале (проходящем через М'). г!а прилагаемой таблице 1 мы даем значения числа 5(О/а,)= =1000 — 180!я (, начиная от 1000 вниз через 1, и рядом соответствующие значения а в градусах и значения величин Р)РВ, 221а п1а, и рт1/а,р,. В плоскости (х, у) направление обеих характеристик. прохолящих через точку Л4, можно узнать по формулам (9.13), (9.14), если известны о„ и и в этой точке Л4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
