Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 6
Текст из файла (страница 6)
5 Точки М и М" обе допустимы с точки зрения георемы Цемплена. Ветвь гипоцнссоиды, содержащая точки типа №, также может быть использована. Для это~о достаточно поменять местамя знаки плюс и минус при выводе формулы (7Ц4), положив ОР = 4г,, а векторы типа О№ принять за К . Теперь гнпоциссоида булет совокупностью точек, изображающих концы векторов тех скоростей, которые после прохождения разрыва могут совпасть с ОР. При таком толковании гипоциссоиды точки типа М не могут быть допущены по теореме Цемплена.
Сказанным здесь относительно сильных разрывов мы пока ограничимся; мы вернамся к ним уже непосредственно в прнло кениях к конкретным случаям движений. В 8. Критическая скорость. Трубки тока в сжимаемой жидкости. Мы знаем нз предыдущих параграфов, а также нз недавнего рассмотрения разрывов, как важно отличать случаи, когда движение происходят со скоростью меньшей, чем скорость звука, от случаев сверхзвуковых скоростей.
Введем теперь важное понятие «крнтн- КРИТИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ. ТРУБКИ ТОКА ческой скорости». Напишем для этого уравнение Бернулли (6,9) в виде: о' аг 2+. ! ='о (8П) (8. 4) мы можем дать для а„выражен>>е а„= )/ ао 0,9119ао / 2 к+1 при 2=1,406. Таким образом, критическая скорость всегда меньше той скорости звука, которая возникает в покоящеися газе, обладаюп>ем данным значением !о.
Уравнение Бернулли, если выразить в нам То через посредство а„ примет вид: (8.6) 2 „2 , 1 1 а2 к — 1 '>- — 1 2 (8.?) ') Это можно непосредственно установить нз (8.9) (см. ниже). (здесь и в дзльиейшем мы считаем, на основании сказанного в на- чале предыдущего пункта, что го=сонэ(.) и предполо>ким, что в не- которой точке >И скорость движения О оказалась в точности равной существующей в этой точке скорости а распространения звука: О=а. (8. 2) Соотношения (8. 1), (8.2) прелставляют собой систему алгебраических уравнений, из которой мы можем определить непосредственно в чис- лах величину скорости О в точке Л4.
Это будет о„: к — 1 Скорость эта и носит название «критической скорости». Соответ- ственно этому имеем и критическую скорость звука а„: / а„=п = )/ 2- ' !о, * * к+1 Мы видим, что величина О, не зависит от рода движения и поло- >кения точки. Для всех движений, обладающих одним н тем же !о, будем иметь всегда одно и то же о,.
Нетрудно убедиться, вслед- ствие (8.1), что если в какой-то точке оказалось о > а„, то будет также и О > а (скорость газа будет больше местной скорости звука), и если О < а„то будет также и О < а. Обратно — наличие нера- венств О ~ а повлечйт за собой, соответственно, наличие неравенств О ~ а„>). Привлекая еща скорость звука ао в тех точках, где скорость газа О = О.
л2 (8.5) ТГОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ !гл. ! формула (8.1) показывает, что максимальное возможное значение о получатся, когда второе слагаемое левой части обращается в нуль, т. е. Вто будет о,„- 1' 2)о По (8.7) мы можем написать / х+1 (8.8) Дальнейшее увеличение скорости газа привело бы к отрицательным давлениям и к явлениям кавитации. Таким образом, величина о/а„ заключзется всегда в сравнительно тесных пределах: о Гс.
+1 0< — <у —. а, У х — 1 'о ' 2 'о'Р 1 (1,а) х — 1 1а„/ х+! /о!2 ' х — 1 (а,,/ (8. 9) Видим, что число (()) может изменяться в пределах от 0 до со, Отметим ещв три употребительные фориы уравнения Бернулли, Введем ра(ф) — давление, которое возникло бы в некоторой точке линии тока ( =сопя!., если бы в этой точке скорость обратилась в нуль. Очевидно, что вследствие (6.9) и (8.6) * — 1 2х х+1 872а" = а*, 2 так что 2 -1 2 Заменяя аз в уравнении (8.7) зтим значением, получим ~ — ')" =1 —— * а„ х — 1 (8.10) Аналогичным образом, вводя р„(/) (плотность при о — — О) и имея в виду, что — ! 2х хЭр " =а'=26'р"-' и — 6 раь '= аз, х+1 Прн расчатах удобно пользоваться безразмернымя скоростями о„/а„о /а,. Отношение М =о/а называется число.и Маха. Деля (8.7) на о'-, мы можем затем найти связь между о/а и о/а, в виде: КРИТИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ.
ТРУБКИ ТОКА ф б'! мы получим (8.1 1) Наконец, вводЯ темпеРатУРУ Те пРи О=О и замечаа, что з Ч> -т ъгбт, +! а' Р « — 1 к †1 можем написать Т Рб — =1 —— 7,= х+! и и — 1 (8, 12) причин Ь /бт можно найти по (7.2) и (7.!0) через наклон поверхности разрыва. Формула (8.11) позволяет доказать очень важную теорему, относящуюся к трубкам тока в стационарном движении сжимаемой жидкости. Рассмотрим бесконечно тонкую трубку тока, и пусть скорость в элементарном сечении ее Ь/1 (ортогоналш1ом к линии тока) будет Оп а плотность Р„пусть какое-либо другое сечение !ггб характеризуется скоРостью об и плотностью Рз.
Так как масса междУ этими двУмЯ сечениями исчезнуть не может, мы должны написать цЛРгог = ббУТРзоз Таким образом, площадь Лг' любого ортогонального сечения нашей трубки будет сопб!. РР В несжимаемой жидкости (р = сопз!.) площадь, таким образом, обратно пропорциональна скорости (чем больше скорости, тем уже трубки тока, и наоборот). Для сжимаемой жидкости мы можем, пользуясь (8.11), написать: сонэ!. Величина 7б зависит лишь от а„и поэтому не зависит от ф; напРотив, Рб и Ра бУдУт постоЯнны лишь в слУчае безвихРевого двигкенив; так как Ре и Рб пРосто свЯааны с Ь, то легко найти скачки этих величин прн переходе через поверхность разрыва. Очевидно, будем иметь 44 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГЛЗОВОИ ДИНЛМИКИ 1гл. ! д «У сопя!. е' 2е' — — — 1 — —— (' —:=",".Г' " ' и(дбу(г(о)„, =О, а, как легко видеть,(а!2ЬГ/две)„, ) О.
Мы получаем следующий замечательный результат: при дозвуковых скоростях, так же как и в несжимаемой жидкости, трубки тока будут тем уже, чем больше скорости; наоборот, при сверхзвуковых скоростях трубки тока будут тем шире, чем больше скорости. 9 9. Плоские вихревые движения со сверхзвуковыми скоростями. Характеристики. Угол Маха.
Продолжим изучение дифференциальных уравнений движения, предполагая, что (р= сопвй б!ы ииееи два конечных соотношения: уравнение Бернулли — 1 е„+о хз(ф)р " е а и условие адиабатичности: р — О (Ф)р и два соотношения дифференциальных: выражение для вихря деу де« хр дх ду х — ! дф (9. 1) и уравнение неразрывности дрг« дре„ дх ду + — '' =-О. Исключим из уравнения неразрывности плотность. Заметим, что по определению Ь и а: х « — ае —. х~д"р" р Мол!но теперь написать уравнение неразрывности, введя 1пр, в виде д1п р д1п р дг«до — + о+ — — + — '=О, дх «ду У дх ду а потом, выражая; через Ь и а' и замечая, что да да «дх у ду Постоянная, стоящая справа, сохраняет свое значение вдоль всей трубки. Но такая функция будет иметь минимум, и притом единственный, при о= а,. В самом деле: ПЛОСКИЕ ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕИИЯ (см.
(6.4) и (6.7)), привести после простых преобразований к форме: Выражая далее ат по формуле Бернулли через пз и собирая члены при различных производных, получим: ( д~х дсх дог дп ат — о') — — и и — — о и — + Газ — т1з) — — = О. (9.2) хl дх ' х ду х т дх 1 х1 ду ~-1 я — дв С я — 1 'дф (9.
4) т1гда (9.1) напишется в виде днт дпх — — — = — 2. дх ду Нам надо научиться решать совместно дифференциальные уравнения (9.3), (9,5), В них входят две неизвестные скорости пх и и и, кроме того, неизвестная функция О. Функция ф входит, однако, только в (9.5), и притом нс пол знакачн дифференциалов. Для определения (1 необходимо еще прибавить (9. 5) Отметим, что (9.2) имеет один и тот 1ке вид как для вихревого, так и для безвихревого движения. В самом деле, заменив в (9.2) аз по формуле (8.7), приведем (9.2) к виду: г дп» 1 дпх )(я+ 1)(п — о ) — (х — 1) . 1 " — 2схо, 1, - + — 1 + +$(х+ 1) (а' — ю'„) — (х — 1) пз~ д — — О, (9.3) гак что 6 совершенно выпадает из уравнения (в (9.2) 6 могло входить через а). Уравнение (9.1), напротив, у казывает на наличие вихря (г(Ь/г(феьО). В большинстве аадач гааовой динамики функцию 8 приходится рассматривать как известную функцию от ф.
Если линии тока уходят на бесконечность (например, в случае обтекания контура безграничным потоком), задание 6(ф) входит как своеобразное условие ка бесконечности. Если мы имеем стационарное движение, в котором вихрь на бесконечности равен нулю, в таком потоке везде будет д =сопз1., если на пути несущихся в этом движении жядкнх частиц пе встречается поверхность сильного разрыва. Если же частицы проходят сквозь поверхность сильного разрыва, то Й в ннх изменится скачком, причЕм, как мы видели, скачок этот будет, вообще говоря, для разных точек разным.
Это и заставляет нас в общей теории брать уравнение (9.1) с правой частью, отличной от нуля. Введем обозначение 46 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ~ГЛ. 1 (6.5)! '): 1 1 о = — х"-18'-'(ае) "-' — ф. (9.6) у дх ' одно нз двух соотношений (см. 1 х 1 — — — дф о„= я' ' Э" '(ат) ду ' есть характеристика для данного движения. Обозначая произволную и /д 1ГУ д1 по х, взятую вдоль линии 7., через — =1 — + — — ) и прибавляя ах (дх дх ду ) к системе (9.2), (9.5) соотношения, выполняюшиеся вдоль 5; д"« ду до« 'Го« «+ «« (9.
7) дх ах ду дх ' до ау до доу дх Лх ду ах (9.8) напишем условие того, что 7. есть характеристика [т. е. условие невозможности однозначного определения четырех произволных до„)дх, до„)ду, до /дх, до /ду из нашей системы четырех уравнений (9.2), (9.5), (9.7) н (9.8)). Выражая до„)дх и доу)дх из (9.7) и (9.8) н вставляя их в (9.2), (9.5), получим: ~У'( з — ф+о„о ~ до« вЂ” ~У'о,от+а~ — о ~ — У= аг« ао =(а' — о') — — о о, — —, 1 «) с1х «>'ах' д"«доу "оу «,, У У 11 — +У вЂ” = ду ' ду дх гу где у'= — У .
Следовательно, влоль 7. должно быть ах ' у'(а' — ое)-~- о о — у'о о — а'+оз| 1 у' ') Каждое нз этих двух соотношений есть следствие другого, что вытекает нз (9.2). Мы начнем с теории наиболее простого случая. Именно, предположим, что движение таково, что скорость во всех точках плоскости (х, у) превышает скорость звука, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
