Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Если в несжимаемой жидкости мы могли написать д(> ду . ду дх' дф дт У дх ду где пу у о так что для ф мы имели просто уравнение Лапласа, то в сжимаемой жидкости мы должны положить р - д(> . р — дт . — дт — дт р х ду' рц У дх* х дх' У ду причем ') Несжимаемая жидкость получается как предельный случай, когда о,,/а, »» 1, так что в выражении для р(р, можно пренебречь членом, содержащим (оь/а,)'; зто приводит к приближенному условию р/р, 1 Дру.
гой предельный случай получится, если скорость оь будет сверхзвуковой и так что уравнение, получающееся для ф, будет содержать в кзчесгве коэффициента о !а, — число Маха на бесконечности. Сама конфигурация линии тока будет меняться с изменением числа Маха и, таким образом, одному профилю будет отвечать беснонечное множество линий тока, представляющих обтекание этого профиля при различных по величине скоростях на бесконечности '). $ !Я ПЕРЕХОД ЧЕРЕЗ СКОРОСТЬ ЗВУКЛ, ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ 157 Особенно резко проявляется изменение формы линий тока, когда в плоскости течения (обладающего еще дозвуковой скоростью на бесконечности) возникают сверхзвуковые зоны. Мы уже видели в одном из предылущих параграфов, на примере обтекания контура, близкого к кругу, что уже при Π— 0,36 на профиле появляется точка, где О ) а,; при дальнейшем росте скоростей следует ожидать появления сверхзвуковой области.
Но здесь возникает новая специфическая трудность. Дело в том, что течения сжимаемой жидкости обладают двумя особенностями по сравненщо с движениями жидкости несжимаемой. Во-первых, в сжимаемой жидкости незо:можны бесконечно большие скорости (максимальная возможная скорость есть — — а,), во-вторых, в сверхзвуковом потоке газа, в протих+1 х — 1 воположность жидкости несжимаемой, трубки тока расширяются с увеличением скорости (см.
9 8). Последнее обстоятельство приводит к тому, что в сверхзвуковой зоне линии тока будут, расширяясь, расходиться по отношению к обтекаемой границе; в дозвуковой зоне, напротив, линии тока будут сужаться и как бы сходиться с приближением к сверхзвуковой зоне. Можно ожидать, что прн заданном контуре будут существовать скорости на бесконечности, прн которых невозможно будет удовлетворить этим обоим законам. Конечность скорости, с другой стороны, приводит к тому, что там, где решение для несжимаемой жидкости дает бесконечные скорости, например, при обтекании острия, там решение для жидкости сжимаемой либо не существует, либо соответствующие линии тока не образуют острого угла.
Математически дело сводится к тому, что в сверхзвуковой зоне могут появиться точки и целые линии, нз которых производные от скоростей будут обращаться в бесконечность. Это так называемые «предельные линии». Такие решения уравнений газовой динамики, формально существующие, физического смысла не имеют и реализоваться не могут. В этих случаях движение перестраивается так, что возникает линия сильного разрыва (не совпадающая, конечно, с предельной линией), и решение с самого начала следует искать очень большой, т.
е. если МР = о /а )) 1. В этом последнем случае, так как по (9,22) (Ос» )а х — 1 1 1 1+ —— х — 1 Мэ мы полУчим, пРенебРегаЯ членом, содеРжащим 1/м', Р7Ра (1 — Рз) Таким образом, в этом предельном случае поток вновь не зависит от числа Маха иа бесконечности. а ж! плггход через скорость ззккл првдгльпые линии 169 гле А и  — постоянные, а ап по-прежнему булет лл = т'у.
(т) и у„удовлетворяет уравненшо гипергеометрического ряда (!6.16): П'уа 1 ч ду„л (2п+1) ; (1 — т) — — л+ ~ 2п+ ! +~ — 2п — 1) т1 — — "+ у =- О. дте х — 1 ) ~ дт Вдесь и — я~обое число. Вместе с Татаренчиком положим: 2п+1 = О, тогла для у„ получим: еу„ ! Лу„ (1 — т) — "+ — —" = О, дте .— 1 Это уравнение интегрируется и лает: уч = с1(1 — т)" + с2, гле с, и се — произвольные постоянные. Итак, мы можем принять в качестве решения: ф= (с;(1 — т)"-'+сД(Асозр — Вз!пр).
(19,3) При этом лля о получается [см., например, (16.2!)): ~ =- — — (с,(1+ т)+ Р' ся1(Аз!и~+Всея~). (19А) Рассмотрим частные случаи. Положим сперва l х — 1 с, =-А=О; — саВ = у — а„ =У .+1 и — 1 еа — ь — 11 тогла булет (т= — ' —,, = о' а+1 аа а+1) ~г — 1 . ю — 1 рр — =- ф = — = з1п р, — = ~р = = — ' соз 'р. (1 9.6) а о а„о р Найдем сперва, как выглядят в плоскости (х, у) линии о=сопя(, Так как влоль этих линий дХ= — „Сф; ду= — ь П6 дх ду др ' д;: и так как, по (16.7) и по (!9,6) дх 1 ре .
ду ь — = — = — зш 2р, — = !' сов 2~, ду ое р ' др рве то Фх= — =' — з!и 2~с(В; с(у= Р' соа23ф~. =р 160 теогет!Ечгские ОснОВы глзОВОИ динАмик!! 1гл. ! Интегрируя по й в пределах от л/2 до р, получим: х = х„(о)+ =' — (соз 2!3+ 1); у — — уе(о) +=' ейп 20, 27 у' 20 е! отсюда (х + — 2,-„,) ~+/!' — У,)'=-~ — "--)'. Остается найти лишь хе(о) и уе(о). Это суть значения, которые принимают х и у в функциях от О иа линнп ср=л/2. Но вдоль линии р = л/2 = СОПВ!. будЕт дх дх= — = до, до пРичвм (дх/до)ч я = Р /Роз 15 = л/2 в плоскости (х, оси Ох, и можно считать уе = — О, что же касается хе, то оно найдйтся квадратурой' ) 70 хо(О) / 5 г/О + сопз!' / л ~1 О / аю+соп51.
о' Таким образом, линиями о= сопз!. будет семейство кругов с цен. траки вдоль осп Ох и различных радиусов (см. рпс. 48, на котором 5о 9.200 Рнс. 48. изображена «верхняя» часть течения). Так как на линни у = 0 будет 1! = л/2 — все линии тока под прямым углом пересекают ось Ох. Рассмотрим линию тока ф=с.
По (19.5) там, гле эта линия тока пересекает ось Ох, будет О=1/с. Перемешаясь вдоль линии тока, ') Квадратура выполнигся, если положить л = 1,40. р -70 19 =75 )5=5 0' ,3=55 Р =00 а !ду/до)„., = О. Таким образом, линия у) переходит в прямую, параллельную прреход '!ерез скоРость звукл, предельные линии 181 % 19! мы будем встречать различные значения о. Попадем ли мы на предельную линию? Вдоль предельной линии (! 9.1) имеем по (19.8): Если двигаться вдоль линии тока ф=с, то будет по (19.8) з!пр=— = со, созе!8 = — 1 — с'оз, и на месте встречи нашей линии тока с предельной линией будет по (8.9): з к е 2 —, 1 — ое — — — ! (! — с'о') — с'ое — — О х — 1 х+! а — 1 илн, если собрзть члены и произвести упрощения, х+1 1 — х+1 ! о' — — от+ — = О.
2 с' 2 с' с В= — и х+1 с,=А=О, Тогда — 1 — оз~ — ьйп 8 х+1 1+ на = — соз 'р'. р 11 Теореенчеенан гндронечаннна, ч. У этого уравнения булут действительные корни только при 1 8 — е,~Р— + — 1 . Но, как мы виделн, !/с равно знзчению скорости в точке пересечекия нашей линии тока с осью Ол. Значит, на всех тех линиях тока, Г 8 для которых скорость о на оси Ох будет меньше, чем 1/ +1, бесконечные ускорения не возникают, и соответствующие течения имеют физический смысл.
На рис. 48 изображены эти линии тока, вплоть ло крайней возможной <(о)г „= . ~.дб' )3=55' = 1l + 1 ) Круги постоянной )а*55' о скорости сгущзются по мере приближения к линиям тока, на которых !б*85' возможны бесконечные ускорения. Любая из линий тока, изображенных на рис. 48, моекет быть принята за Рис. 49. границу обтекаемого контура, На рис, 49 изображена одна иа таких линий тока и нарисованы хара теристики первого и второго семейства, которые возникают в нашем движении в сверхзвуковой зоне, Второй частный случай Решения (19,8), (19.4) получим, полагая Вдоль .шнии о=- сопя(.
1 ! ох= — — =~! + оз)з(п2~0~; е' я+! ( 1 + гл, 2я с(у = ~ =- — соз 2,! — - — созе р) г(~. е' я+1 Так что можно написать: 1 1 х = хв (о) + — ~ 1 -1- — оя ) (соя 2~в + 1), 2с' «+1 где хс(о), Уе(о) — значения х и У в тек точкак, где 1)=я(2. Как и в предыдущем примере, определим хе и у, перемещаясь по линии 0 = я)2.
Получим без труда: 1л па '(хо = — по пуо = "* еи так что 1 .т„= — сопз1. — = — + !и о, у„— — О. 2па Вновь можно нанти связь между р и о на предельной линии, а также выяснить, па к:ких линиях р= сопя!. мы не встретим предельнои =55' -50' Ы5' 40' 05'50'05' 00' М5' 9 О 1Ъ )З 55' )5 =20' ~ 75' )5=80 й=85' ~ 00' Ряс. 50. линии. Картина течения (в области, имеющей физический смысл) дана на, ис. 80.
На рис. 81 изображена крайняя линия тока и характеристики, 1б2 твогегнческпе основы глзовоп динамики !гл. ! пеРехОд чеРез скОРОсть 3ВукА, ПРеделы!Ые линии 1Я 4 Ю! другие примеры точных решений для движений с до- и сверхзв!ковыми скоростями можем найти в статье Ринглеба') и Крзфта и днббла'). Эти авторы отпрзвляются также от решений Чаплыгина. Полезно отметить, что решения вила (19.2) переходят в несжимаемой жидкости в решения типа ач 41>+ !!у = гга2"-' (19.6) где а=к+ !'у. В самом деле, для несжимаемой жидкости мы имели бы вместо (19.2) просто (см, стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
