Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Оно будет иметь только один вещественный корень. если 4г+' (21.26) Таким образом, в лозвуковой области, в области Ч1, тле т( > О, однозначность функции ф, а значит и у, обеспечена. Далее, (21.26) сохраняется и при ч) < 0 до тех пор, пока не будет — Рз+ тз — О, 9 4 Следовательно, олнозначность булет иметь место еща н в областях !Ч и Ч. Итак, в областях !Ч, Ч, Ч1 мы можем написать — =ф 2 + Е 4 +т! + 2 — 1!' 4 +т!з. (21 27) В чзстности, на переходной линии, гле т)=0: Аф А дф 1 — = 1' З~, причем — — = —,. (21.28) ь (о) Ь (О) дч ьь'Зз Отметим, что аналитическое решение, которое мы приводили в начале этого параграфа, давало при т! = О, как показывает простой подсчет, те же ф и дф/до, что получаются по (21.28).
Решение в областях 1, !1, РД изобразится в виде складчатой поверхности. Интересно отметить, что мь! можем расширить нзше рещение, предполагая, что в облзсти 1Ч (а значит, и Ч и Ч1) мы имеем (21,19), в котоРых А = АР а в области 1В имеем (21.19), но с А = А + А, (скачок произволной дп„,'дх ~~~рости в точке О). Оба эти решения могут быть «склеены» при помощи переходных областей 1, П следующим образом, В областях 1, П ищем решение (21.18) в зиле 1=~®9' ~=~ф)ф' Тогла первое из уравнений (21.18) ласт 27 — 2г — + д (0) — „= О. д) зР' 184 твогвтнческив основы газовой динамики !гл, ~ где (=ф(фе, а второе приведет к соотношению Ь (О) г" — — ЗЬ'+ 21 — = О. ну ~и~ лг лг Исключая отсюда Р, мы придем к одному уравнению Щ+ 4гз) у" + Ьз~' — 2(!у' — У) = О уравнение это можно записать в виде Л Ье(0)У'+21 ггг 2!У' — У Таким образом, мы можем написать где с, — произвольная постоянная.
Это уравнение сразу интегрируется и дает; Ье(О) г'= 4с,( — 8сз+с )à à — сг где сз — вторая произвольная постоянная. Постоянные с, и се мы должны теперь подобрать так, чтобы при Г = А,!4 (характеристика, отделяющая область ! от области 1У) было У = — А1/4 и при г= — Аз(2 (характеристика, отделяющая ! от !!1) было г = — Ае. Итак, мы исследовали поведение главной части частных решений (2!.19) системы (21.15), (2!.16) в сверхзвуковой области, примыкающей к линии перехода.
Эти частные решения будут аналитическими (величина ф н производная дф/до, если их получить из (21.28), в точности совпадут со значениями ф и дф/до, построенными из аналитического решения Мейера, данного в начале етого параграфа. Опасность появления скачков может возникнуть а с.чучае склеивания решений, отвечающих А=А, и А.= А, но здесь могут быть даны неравенства, связывающие А, и А, выполнение которых достаточно для безударностн решения' ). Чтобы построить входную (дозвуковую) часть сопла, Франкль предлагает теперь использовать ряды типа рядов Чаплыгина, следующего вида: л„,(т) з!и 2лс~ «„(т') л ь где А н с — постоянные.
Детальный анализ, за которым мы отсылаем к статье Франкля, показывает, что на окружности т=т* будет: ф = Ь Р'88+ О ®, ~х = — "+ О (!гР), дч у'лз 'Ъ Сль упомянутые выше работы Франкля и Фальковнча. 185 ПОСТРОЕНИЕ БЕЗУДАРНОГО СОПЛА ЛАВАЛЯ з гп где постоянная м определяется через с и А. Сравнивая зто с (21.28), замечаем, что главные члены ф и дф/дт) совпадают с главными членами нашего частного решения, построенного для сверхзвуковой области. франкль устанавливает, что ряд (21.29) годится для сколь угодно далекого расстояния от критического сечения в глубь дозвуковой области.
Мы можем теперь построить сопло следующим образом. В дозвуковой части использовать ряд типа (21.29), вблизи линии перехода использовать решение вида (21.19); начиная с некоторого расстояния от линии перехода, в сверхзвуковой области, применить графический метод, изложенный в 9 12. Параметры А, с, а также наклон стенок в дозвуковой области на большом расстоянии от линии перехода могут быть использованы для приспособления к заданным техническим условиям. 1(ак показал Франкль в другой работе '), ряды Чаплыгина можно использовать при решении задачи о струе, вытекающей в пространство, в котором давление будет меньше критического. В 9 16 мы видели, кзк происходит истечение струи, если (р, — давление во внешнем простран стае, р, — давление внутри сосуда там где газ покоится). Посмотрим теперь что будет в том случае, когда (21. 30) р, (' 2 *Д" — и — < 1, ,1* Рнс.
Еб. Имеем сосуд с симметрично расположенными стенками, угол между которыми равен Еп (при г)= 1 стенки будут служить одна продолжением ДРУгой) (Рис. 66). ЧеРез отвеРстие сосУда А,Аг газ выРываетсЯ во внешнее пространство. Следуя Чаплыгину, будем искать функцию тока и потенциал скоростей в зависимости от величины и направления скорости. Вместо уравнений (16.121 теперь удобнее будет взять уравнение (17.35); кгт о,р дг бр об д» ' да д где е и К зависят только от ес 1 — К=- .— „~йг=- в+ ). (21.31) р ~й~ 1 — от г в 1' Ро е 1 — ' ,.+1 ) ') Ф ра нк л ь Ф. И., О задачах Чаплыгина для смешанных до- н сверх- звуковых течений, Изв.
АН СССР, серия матем., 9, 1945 186 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОП ДИНАМИКИ 1гл. Исключая из этих уравнений ~7, получим для О: Уравнение будет эллиптического типа, когда а > 0 (и < 1, К > 0), и гиперболического при ч ( 0 (о > 1, К ( 0). Посмотрим теперь, для каких границ и при каких граничных условиях мы должны решать уравнение (2!.32) нашей задачи. Обратимся к плоскости скоростей и отметим в этой плоскости направления скоростей, отвечающие стенкам сосуда (рис.
67). Эти направления продолькнм до пересечения с кругом критической скорости. (21. 32) л,' Рис. 67. Назовйм точки пересечения А| и Аз. Проведем теперь из точки Аз эпициклоиду 2-го семейства, из точки С' (ох=а„, о„=-О) — обе эпициклоиды (изображены пунктиром) и из точки А~ — эпициклоиду 1-го семейства. Пусть эпициклоиды пересекутся в точках В1 и Вз. Вследствие предположенного симметричного расположения стенок точки В, и Вт лягут симметрично относительно оси Ох на одну окружность.
Исследуем сперва частный случай. Именно, пусть давление р, во внешнем пространстве в точности равно тому давлению, которое по уравнению Бернулли отвечает кругу ВзВ~. Такое давление, мы назовем его рв, есть функция одного только д, По Франклю, картина движения теперь будет следующей. Точка А, плоскости (х, у) отвечает точке А~ в плоскости (и„, о ); точка Ая г' отвечает точке Аз. Таким образом линия перехода проходит через края выходного отверстия (пунктир на рис. 66). Далее, отрезку эпициклоиды А,В1 отвечает в плоскости (х, у) одна точка Ан отре- 187 постяовннв .ввзкдлвного сопла лаваля Э г11 Р зок эпициклоилы АгВг стягивается в олпу точку Аг, Эпициклоидам а второго семейства в криволинейном треугольнике С А|В| отвечает пучок характеристик, выходящих из Ан а характеристики первого семейства в С АгВ, изображаются пучком характеристик, идущих из А, Так как ралиусу-вектору ОА~ отвечает вся верхняя стенка сосуда, а радиусу-вектору ОС' — ось симметрии сосуда, то четырех- Р угольник ОА1В~С отобразится на верхнюю часть области лозвуковых скоростей и на область, заключенную между верхней частью АС перехолной линии и характеристикой А,С (двуугольник А,С переходит в треугольник А,В~С ).
Таким образом в четырбхугольнике 1 ОА1В1С мы должны решить уравнение л (21.32), удовлетворяя краевым условиям '): ф =-2 на ОА1В,, Я (21.33) ' =О на ОС'. Рис. 68. Аналогичным образом область ОАгВгС отобразится на нижнюю часть дозвуковой области и на лвуугольник САг, причйм мы должны решить здесь (2!.32) при краевых условиях ф= — -- на ОАгВг, 0 2 ф=О на ОС'. (21. 34) а ') Значение ф на характеристике С В, мы найдем при этом в конце Решения задачи.
Задавать зги значения заранее мы не можем. Дело в том, что мы имеем здесь дело с обобщенной залачей Трикоми. Последняя заклю- чается в следующеи. Имеем дифференциальное уравнение второго порядка дгз дал — +у — =О, где а=л(х, у), да дха ~о~орое меняет тип нз эллиптического на гиперболический, ногда мы попадаем из верхней полуплоскости (х, у) в нижнюю. Рассмотрим область О, ограниченную кривой ь', лежащей в эллиптической области (с концами на оси ОХ), и характеристиками ь', и Ла разных семейств, исходящими нз концов й (Рис. 88). ПУсть заданы зпачениЯ з на кРивых ).
и ь, (но не на йа), Трнкомн доказал существование н единственность решения этой задачи. Иаще уравнение (2132) является обобщением уравнения Трнкомн (вместо а мы имеем К (а), положительное при а > 0 и отрицательное прн а < 0). Заланнь ф на прямых ОА, и ОС будет отвечат~ заланню г на ь, а залание ф на А,В, отвечает заданию л иа Сь Локаззтельство однозначности решений (2182) имеется у франкля. 18В ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЛ ДИНАМИКИ пл, г Предположвм, что нам удалось найти решения поставленных здесь задач. Это значит, в частности, что нам удалось найти движение и на характеристиках А,С и АЕС.
Но тогда мы будем знать скорости на характеристике А,С (и АЕС), а нам, кроме того, известно, что А,(А,) лежит на свободной поверхности, и мы можем, поскольку мы находимся уже в сверхзвуковой области, применить хотя бы метод, изложенный в 9 12 (задача 4), и найти вид свободной поверхности А О, (АаО ) и движение внутри треугольника А,СО, (АТСРТ), где СР, (СО ) — вторая характеристика, выходящая из С (рис. 66). Заметим, что линии СО,(СРз) отвечает в плоскости (в,, и,) характеристика С В,(С В1). Мы можем теперь решить задачу 2 (ф 12), пбо на характеристиках СО, и СОТ скорости будут известны, н найти движение внутри криволинейного четырбхугольника СО,ЕОа (точке Е будет отвечать точка Е' плоскости (Ол, О ), лежащая на пересечении крайних эпициклоид).
Далее, определим (задача 17) свободные поверхности, идущие от точек Ои Р, н т. д. Задача будет решена. Прежде чем сказать о том, как же конкретно решается уравнение (21.32) при условиях (21.33) и (21.34), посмотрим, что получится, когда р, + рл. Пусть сперва С рв. Проведем в плоскости (О„,о ) дугу круга с центром в начале координат и с радиусом, отвечающим давлению р,(с. рл) (рнс. 69), а также эпициклоиды второго (первого) семейства, выходящие из Ая(А,), Ряс.
69. и обе эпициклоиды, выходящие из С'. Отметим пересечение всех наших четырех эпициклоид с кругом, отвечающим давлению р, (точки От, Е1, Еъ 0~). Треугольнику А,СО, теперь будет в плоскости (и, и ) ПОСТРОЕНИЕ «БЕЗУДАРНОГО» СОПЛА ЛАВАЛЯ 1Вй Э м1 отвечать четырехугольник В~ЕГР1С . Аналогично этому, треуголь- Ф Р / нику А СРЗ отвечает в плоскости (о„,о ) четырехугольник ВЗЕяРЗС . далее, криволинейный четырехугольник С Р,Е Рт плоскости (о„,о ) (РГЕ и РяŠ— дуги эпициклоид) отвечает в плоскости (х, у) фигуре, образованной характеристиками СР,, РГЕ, Р,Е, СРЗ и т. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
