Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Для возможности счета в окрестности таких точек можно поступить, например, так: решение в окрестности регулярной точки 0 = 8„ близкой к особой, разлагается по степеням (8 — Ве) в ряды, по которым оно достраивается вплоть до особой точки О.= 8„ (л = 1, 2, ..., гч' — 1); затем в окрестности 8„ строятся ряды по (Π— 0»), которые дают возможность «выйти» из особой точки. В случае необходимости аначения 0„ и других величин в этой точке могут быть уточнены методом итераций по условиям склейки при В = 0 рядов, отправляющихся от В„с решением, полученным обычным путбм.
Как правило, это делать не приходится, а для возможности <выхода» из особых точек лостаточно бывает знать 2 — 3 члена разложения. Продемонстрируем теперь более детальный ход решения на простейшем случае, когда М=! («первое приближение»). Промежуточных линий здесь нет и все подынтегральные функции аппроксимируются линейно по их значениям на цилиндре и на волне, Искомых функций будет три: е(8), ч(0) и (а,),. Функции (о,), и (о,), на поверхности разрыва (т.
е. (о,), и (о,),) найдутся сразу же из (22,13) — (22.15) после того, как ~1(0) известно. Одним из трех дифференциальных уравнений, служащих для определения е, у, (оа)„будет уравнение (22,18), а два других получатся из интегральных соотношений (22.23) и (22.24). При й(= 1 каждое из этих соотношений записывается только один раз — для г, = г, = га+ е (0). Соотношение (22.23) приведет нас к равенству: Из' = — ~а~ дВ +2гаР,— 2г,(Р+~т,~+(Р+роа) +(Р+Ров)з (22.42) 0 Еп численные методы Решения плОских 3АдАч 2О3 Соотношение (22.24) записывается в виде: „' + — ' = — [(Е1 — Е,) — „— 2г, (Ро,)1~. (22.43) Здесь (!=а, 1): Е, = (о,т)1, а,=(рохо,)1 (22=0, так как (О,),=— 0), причем р, и Р, определяются через (ох)1 и (о,)1 с помощью (22,11), (22.!2), (22.!9) и (22.21).
С другой стороны: хЕгхм хг х(01 и (Рг)~ и (ор)> а0 ар ар (Ророг)1 —,~р (Охог)1 + Р1 ! (ОО)1 — 0+ (О,)! Здесь » и!ПЬ! ат 2 1 — ) Х Х [(ог)1 лвр ' +(ор)1 ар" ' ]~ (22.44) где гЕ!ЕЬ1ЕаьР находится по (22.19), Подставив из (22.35) выражения д(О,)1/Ю и хЕ(ор)1!хЕО через х(01(гЕО в (22.44) и (22.43), получим окон- чательно где Г»а!Ер, 2 х) = Р, (ох)1л21 — (о,)1 и, [ ' ',1[ » — 1 ат (о — о — о ) ахах 2 хЛ (22. 45) причйм га1 и п, по (22.13), (22.14) и (22,35) — известные функции яхн В. Аналогично, ат ~~ = ~~ (~~~) =П вЂ” „р — 21(о,)1 где 0= — — га — — [аа — О2) п .
' (о) „2 1 2 21 1 а1 а (22.46) Учитывая, что на поверхности цилиндра (о ),=О, получим также: Г В агх а о — 'х ~ая О2, (ор)х (22 47) 120 ах 2)х ар 284 твоявтичаскив основы газовой динамики 1гл. г Теперь из (22.45) и (22 47) мы получим оставшиеся двз уравнения аппроксимирующей системы при М=1: а(еб, е ат аг, аа а — (еа)х ' -. аб Входящие в правые части г(г,1г(б и Ж,/Ф находятся по (22.42) и (22.43), а г(1,1г(б определяется из (22.48).
Итак, мы можем выразить г(еГг(б, аьуфб, гу(о,) )г(В через б, е, ср, (о0),. Интегрирование системы проводится шагами по 8 от 8=0 (направление набегающего потока), где 8~=0, (о,),=0, ее=а(0)— неизвестный параметр, который определяется из усло,ф ~~' ф вия (22.41) конечности ФГ г((о ) /г(б: при (оа), = а, или (от) = [(х — 1)Ях+ 1 ) пт должно быть Е, = О. Во втором приближении (М=2) вводится одна проГГу межуточная линия (квадратичная аппроксимация), в третьем (М= 3) — две и т. д. В каждом приближении (М)» 2) лобавляется по одному неизвестному параметру (о,)) при 8 =0 и по одному условию (22.41) ЯГУ 47йУ (лат /а О конечности производной IЛл 4(гг,),~губ.
Совпадение реРяс. 72 зультатов с требуемой точ- ностью в двух последних приближениях свидетельствует о практической сходимости расчета. Следует заметить, что метод интегральных соотношений весьма быстро сходится, Приведем некоторые результаты расчетов обтекания кругового цилиндра (г, = 1, х = 1,40), взятые из работы О. М.
Белоцерковского '). Расчйты проводились на быстродействующей электронной вычислительной машине БЭСМ-1 АН СССР. Уже приведенный выше рнс. 71 отвечает случаю М =о 1а =3. ') См. сноску на стр. 191. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕЩЕНИЕ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ 233 Минимальная область влияния здесь ограничена двумя характеристиками 1-го и П-го семейств (обозначены цифрами 3 и 2 соответственно), что вполне согласуется со стр.
182. Линия перехода, 8~7 /д Рнс. 74. Рнс. 73. обозначена цифрой 4. Рис. 72 показывает, как изменяется форма и положение ударной волны и звуковой линии при возрастании М„ д Ро 1,д е7 аг рд г1 а' гт 3' 41г и~ Рнс. 75. от 3 до б. Там же нанесены результаты эксперимента гточки). Рис. 73, 74, 76 иллюстрируют сходимость метода по приближениям Юб теооетические ОснОВы ГАЗОВОИ динАмики 1ГЛ. для М = 3 и 5: пунктиром нанесены результаты расчэтов при И= 1, сплошной линией — при И=2, треугольниками — прн И=З и точками — эксперимент (Г. М. Рябинков).
Как видим, уже расчэт по первому приближению дает в основном правильное положение и форму ударной волны, распределение давления на теле, на волне. Для определения величин в поле при М ( 3 надо считать по крайней мере три приближения, в то время как при М Р 3 достаточно двух, $23, Движение с очень большими сверхзвуковыми скоростями, Гиперзвуковые течения и обтекание тонких тел. В современной газовой динамике, имеющей дело со скоростями порядка нескольких километров в секугту, возникает много теоретических и практических вопросов, требующих изучения лвижения газа при очень больших значениях числа М .
Обтекания с очень большими сверхзвуковыми скоростями обладают рядом специфических особенностей. В 9 14, а также в 9 19 мы уже обратили внимание на некоторые характерные свойства движенай, в которых М 'УР1. В настоящем параграфе мы остановимся на некоторых общих законах таких движений. С. В, Валландер доказал (1949) наличие прелельного, не зависящего от М состояния течения, возникающего при очень больших М '). Покажем, как это получается лля плоского случая.
Пусть обтекаемое тело помещено в поток газа, обладающий скоростью о . Образуется поверхность сильного раарыва, после прохождения которой начинается вихревое обтекание тела. Движение описывается уравнением Бернулли о+о а о а 2 2 2 2 2 (23.1) 2 +2 — 1 2 +я — 1 уравнением неразрывности, которое можно взять в форме (9,2): 2 дох до, до до (аз — оз) — х — о о — ' — о о — +(аз — оз) — =О, (23.2) дх х г ду х у дх у ду и уравнением для вихря скорости (9 6); !доу до 1 2 — „д!п Э ая д!п Ь «1дх ду l х — 1 ду х — 1 ду (23.3) ~) Результаты Валландера были получены также Осватнчем (К. ОатгаИ!2СЬ) в работе Апп1!сйненадЕэЕ!ЕЕ !Вг 1!урегэсна1!а!гбшапя, За. 1, авяеж.
Ма!!ь и. Раув., 1951. движение с очзнь вольшнмн сввзхзвхковымн скогостямн 267 пводя аэ из (23, !) в уравнения (23.2) и (23.3) и переходя к безразмерным скоростям о„/о„= о„, т« /о = о, получим два уравнения: — ) '-.~; «-(-1 "- ! е ". 1 1 ! дгух — / д«««д««у ! п2+ ое ',г о о « 2 У 2 Мз) дх «х! ду дх/ + — ' от+ — оз — — — — — = О, (23.4) 㫠— 1- х+1- х — 1 1 т дог 2 2 У 2МЯ)ду где р' — угол наклона касательной к поверхности тела к оси Х. На поверхности разрыва можем написать (см., например, (22.!9)): Кроме того, по (7,16) и (7.17) 2 1 2 о = 1+ — — — — соя~~, х -1- 1 М~ х + 1 2 Г 1 о = — совр з!п~« ~ — ! ) х+1 ~ М~ соя~э (23.8) Отметим теперь, и это является важным обстоятельством, что, в силу сверхзвукового характера потока, форма поверхности вдали от тела не влияет на течение вблизи головной части тела, Поток вблизи тела накопится пол влиянием лишь ограниченной, наиболее интенсивной "асти ударной волны.
На этой части соя э будет отличен от нуля, При обтекании тупого профиля сову будет близок к единице; при симметричном обтекании клина созе будет близок к косинусу угла раствора клина и т, д. Поэтому, на некотором участке будет всегда достигаться уравнения (23.4), (23.5) содержат три безразмерных функции: о, о„, !п б и, если не считать х, один безразмерный параметр гг! Последний вхолит таким образом, что при М )) 1 членом, его солержащим, можно пренебречь. Отсюда, однако, было бы поспешно сделать вывод о независимости нашего движения от йг! при весьма больших !!й..
Дело в том, что мы еше не знаем повеления функции !пй и не учли краевые условия. Опрелеление !пб тесно связано, как известно, с видом поверхности разрыва, Краевые условия надо будет как всегда записывать на поверхности тела и на поверхности разрыва. На поверхности тела: о о !к р, (23.6) твоявтмчвскнз основы газовой динамики !гл такое течение, при котором не только М.,в 1, но и М„совр)) 1.
Но тогда и в краевых условиях (23.7), (23.3) мы можем отбросить член, содержащий 1/М~„. Теперь параметр М„остается в одном лишь выражении для !прм !и з— = — „!и ~~„+ !) М' ~ + !и ( —" созя 9 — "— ), причем член, содержащий М, входит в !п Э аддитивно. Но !пЬ входит в формулу (23.3) лишь под знаком производной по координате поэтому в окончательной задаче М полностью исчезнет, и мы получим доказательство утверждения Валландера ').
Закон независимости от М„при больших М хорошо подтверждается экспериментально. Обратимся теперь к специальному рассмотрению обтекания тонких тел при больших сверхзвуковых скоростях. На примере обтекания пластинки ($14) мы уже видели, что простая линеаризация уравнений по отношению к основному потоку в случае, когда М )) 1, не даат удовлетворительных результатов. Мы видели, что характерным параметром задачи является, в случае пластинки, величина М )рз!. Для общего случая обтекания тонких тел при М ) 1 были открыты специальные законы подобия. Это было сделано Нзянем для безвихревых движений и обобщено Хэйсом на случай движений выхревых т). Следуя Г. Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
