Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Б самом леле, соотношения вдоль характеристик в плоскости (о, о ) в вихревой задаче представлялись в виде неинтегрируемых комбинаций (9.18) и (9.19), заменяемых при практических расчетах уравнениями типа (13.4), (13.6). Но (26.1), (26.2) отличаются от (9.18), (9 19), кроме того, что вместо х и у в них стоят л и г, только видом коэффициента при дг; при этом коэффициент при е!» в (26.1) и (26.2) даже проще, чем коэффициент при ах в плоской задаче (послелннй содержит подлежащую сложному определению величину Я).
Что же касается до характеристик плоскости (л, г), то они определяются по формулам (25,8), т. е. совершенно так же, как 226 таогвтнчвскнв основы газовом динамики (гл. ~ характеристики в плоскости (х, у); уравнения (25.8) по-прежнему эквивалентны соотношению 1У„! =а (и — нормаль к характеристике); уравнение Бернулли справедливо в прежней форме; можем легко провести характеристики в плоскости (з, г). Обращаясь к задачам типа 1, 2, 3 и 4, рассмотренным в $11, заметим, что для приближенного (графического) решения их здесь, как и там, достаточно научиться следующим трам операциям: 1) находить скорость в точке пересечения характеристик разных семейств, выходящих из двух различных, близко расположенных точек, в которых скорости уже известны; 2) находить скорость в точке пересечения с заданным элементом стенки характеристики, выходящей из близкой к стенке точки, в которой скорость известна; 3) находить скорость в точке пересечения характеристики, выходящей из точки, близкой к некоторой свободной поверхности, с заданным элементом этой свободной поверхности.
Научимся сперва операции 1. Операция 1. Пусть в близких точках М, н Ма плоскости (г, г) (рис. 77) известны скорости; отметим в плоскости (и,, и,) точки Мг и Мз, координаты которых суть компоненты скоростей в точках М, и Мз соответственно. Через точки М, н Ма проведем элементы характеристик разных семейств до их пересечения в М, (пусть для конкретности М,М, — элемент дуги характеристики первого семейства, а М~М, — второго семейства). Это построение можно выполнить, вычисляя г, 'з по (25.8).
При этом, как и в плоРис. 77. ской задаче, элементы характеристик следует заменять элементами касательных к характеристикам. Чтобы найти скорость в точке й7о рассуждаем так. Перемещаясь по элементу М,й7, в плоскости (», г), мы будем, вследствие (26.1), перемещаться в плоскости (и„ о,) по элементу прямой 2 (~г)м, + ' ~~* 1(*)ж,1) т е [(4)л (Я)м 3 (26.3) где постановка значка М, при скобке означает, что выражение в скобке вычисляется в точке Мп С другой стороны, перемещаясь 4 яй ВезвихРеВое осесимметРическое ДВВЖение пРи о>а 227 по 3~~МР будам двигаться по прямой Точка Д(, плоскости (п„п,), лежащая на пересечении прямых (26.3) и (26.4), даст компоненты скорости точки пгп Операция 2. Известна скорость в точке МР и дан элемент твердой стенки, близкий к М,, но не проходящий через М, (рис.
78). Через М, проведем характеристику. например, первого семейства Рнс, 78. Рвс. 79. до пересечения со стенкой в точке МР Скорость точки Р7, находится в плоскости (п„пг) на пересечении прямой (26.3) с ралиусом-вектором, параллельным направлению касательной к стенке в точке М, (рис. 79).
Операция 3. Известна скорость в точке М, и дан элемент свободной поверхности, близкий к М,, но не проходящий через МР Проведем через М, характеристику, например, первого семейства до пересечения со свободной поверхностью в точке )ЧР Скорость в М, найдатся в плоскости (пы пг) на пересечении прямой (26.3) с кругом п= он где и, есть скорость, отвечающая, по уравнению Бернулли, давлению, имеющемуся на свободной поверхности. В практических приложениях построение прямых (26.3) и (26.4) можно проводить графически, используя то их свойство, что каждая из них ортогональиа соответствующей характеристике другого номера, ~роведанной в плоскости (г, г) (тангенсы наклона наших прямых СУть — 1Я) и 1Дг,') ).
Но если мы знаем напРавление элементов (26,3), (26.4), то, чтобы уметь их провести, достаточно найти еще, например, их расстояние от точек М1 и Мз соответственно. Приводя уравнения наших прямых к нормальной форме, получим для этих расстояний 6 следующие выражения: / 2 аа, г,г а Р, г,'г,' ь,= 1 '2= «!е г (Рг — а ) У ! -1- г'" ~ г г(а" — а ) У! + г'2 228 таогетнчвскив основы глзовоп динамики 1гл. г Заменяя в случае первой характеристики 1г(г~ на 1дг! =. Иг, 'г' 1+»'тг где ~й, — длина дуги вдоль характеристики (например, отрезок М,М, рис. Ч7).
а для 8з '. 1г(г~ = ' и замечая, что ~»'1+»,' 4 г »,»т о — аа У1+ "Я, ~'1+»' (см. вывод для плоской вихревой задачи.й 13), получим: (26.5) Остаатся только найти, с какой стороны от той или иной точки плоскости (о,, о») надо проводить на расстоянии а, илн ья наши характеристики, икаче говоря, надо знать знак проекции о, и ь', на какую-либо ось, например, на ось Ог. Из элементарных геометрических соображений получим, что Ф У е ~,Ь,,=~а (,,"",и*)= ь 1,»',— Чигнб.б~ оя ла В качестве примера рассмотрим движение внутри трубы заданной формы, обладающей осевой симметрией по отношению к оси Ол. Предположим, что в некотором произвольном сечении трубы АВ (рис. 80, рассматриваем одну только полуплоскость) скорость движения превышает звуковую и иам известна.
Нанесйм на отрезке »» АВ ряд точек А, М,, Мю ... и через все эти точки проведем элей менты характеристик первого се- мейства. Характеристику, выходя- 4 шую из Мн доведам до пересечения с контуром в точке й(, и, пользуясь операцией 2, наядам й С скорость в дг;, проводя затем из дг, элемент характеристики Рнс.
80. второго семейства до пересечения в точке йга с характеристикой первого семейства, идущей из Мз, найдЕм с помощью операции 1 скорость в точке г'гз и т. д. Заметим, что скорости точек, лежащих на оси Ог, должны находиться из условия о»=0 (скорость направлена там вдоль оси Ол); при этом, желая найти о для точек оси Ол, мы должны будем вычислять там выражение о,/»=0(0. Последнее надо заменить на до,/д», так что при а '3 ОСЕСИММЕТРИЧЕСКОЕ ОБТЕКАНИЯ КРУГЛОГО КОНУСА 2В вычислении 3 в точках оси трубы придатся брать значение о,!г для соседних точек.
которые не лежат на оси, и в которых скорости уже известны. решим задачу о получении плавного потока (сопло Лаваля). Пусть в точке С мы имеем нужную нам сверхзвуковую скорость, и СО ~рис. 80) есть характеристика второго семейства, проходящая через С. Рак как в осесимметрических задачах нет интегрируемых комбинаций характеристик, то здесь не будет, вообще говоря, и прямолинейных характеристик, а потому применить метод, данный в ф 12, нам злесь не удастся.
Но все же одна прямолинейная характеристика (след в меридиональной плоскости характеристического конуса с осью, совпадающей с осью Ог) может существовать и здесь, а именно, она получится для потока, параллельного оси Ог и обладающего всюду постоянной скоростью. Как раз такой поток мы и хотим получить чвправо» от точки С; проведвм же через С заранее прямолинейную характеристику первого семейства. Чтобы подобрать вид стенки, начиная от точки О «вправо», нанесем на прямолинейной характеристике (так же, как и на кривой СО) ряд точек и, пользуясь опеРацией 1, начнем узнавать скорости в криволинейном четырехугольнике, рассмотренном в задаче 2 (ф 11).
Если мы возьмем крайнюю точку на прямолинейной характеристике достаточно далеко, нам надо будет затем лишь построить (путем интериоляции) линию тока, проходягцую через О, ЕЕ мы и можем принять за искомую стенку. Переходим к внешним задачам и прежде всего к вопросу об обтекании конического острия.
Случай этот не поддается нашему методу, ибо на таком острие г= О, а о, ~ 0 и 3 обращается в со. $27. Осесимметрнческое обтекание круглого конуса. Конические течения. Обтекание осесимметричных тел. Пусть поток, обладающий постоянной сверхзвуковой скоростью о, » а,, набегает на круговой конус с вершиной в точке Р и с осью вдоль оси Ог. Перед конусом образуется коническая поверхность разРыва (рис. 81) с вершиной в Р; на этой поверхности линии тока претерият, как всегда, излом, а затем начнйтся обтекание конуса. В противоположность тому, что мы имели в плоской Р задаче при обтекании угла ($13 и Рис. 31.
Рис 32), линии тока, после прохождения разрыва, станут здесь кривыми. Простота задачи обтекания конуса заключается, однако, в том, что скорости будут иметь одну и ту же 'еличину и направление во всех точках какого-либо конуса с осью Ог " с вершиной в Р, Таким образом, наш поток не только не будет 230 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 1гл. 2 зависеть от полярного угла 9 плоскости, перпендикулярной к оси Ол но также не будет зависеть от расстояния г от точки Р. Вводя в меридианальной плоскости (л, г) (плоскости, проходящей через ось Оз) полярные координаты (с полюсом в Р) з н ~р, будем таким образом считать, что скорости и, и с» зависят лишь от р: п»=п.(р); п,=п,рр). (27.1) В плоскости (и», и,) мы получим, исключая 82 из (27.1), некоторую кривую О,=У(п.) отвечающую обтеканию нашего конуса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
