Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Построим эту кривую. Для этого обратимся к уравнениям (25.5) и (25.6) (ь»=О) и, перейдя в них к переменным з и р, положим дп»/да=до,/да=О. Получим вместо (25.5) после простых преобразований: дз'» — '+ с(е~р — '= О ат дт или гге ау — = — — =7" = — с(др. »»» аю» ае» (27.2) Отсюда заключаем, что направление Рис.
82. нормали в некоторой точке М' нашей кривой 7'(и,) в плоскости (и„ и,) будет совпадать с направлением того радиуса-вектора в плоскости (г, г) (угол ~р), скорость точек которого изображается точкой М' в плоскости (и„ и,) (оси Оз и Оп, совпадают; рис. 82). Обратимся теперь к уравнению (25.6). Оно примет в полярных координатах вид: 1(а — п~) яп' ~р+ п,п, яп р соа р] — '1п и янзцы+(аз — пз) з)прсозр] — » = азп и если заменить сЬ,/Ф~ на зря,/з(п, ап,/зйр= /'дс»/др, то можно найти выражение для зйр/дп,: (а — с») яп т+ е»о» яп т соз т — Р, г»яп тг' — (а — Р») яп т совет 2 2 2 2» 2 2 д азо» Наконец, заменяя 7' по (27.2), мы получим: ат а' — (е яв т — е, соз т)2 »(Р а'е, Вставляя сюда р, выраженное по (27.2) через У, беря п,=у(п») и ат по уравнению Бернулли, получим дифференциальное уравнение ОСЕСИММЕТРИЧЕСКОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО КОНУСА 231 Ф гг! второго порядка для определения 7(ов).
Найдйм теперь радиус кринзны гс кривой о,=у(о,) в точке М'. Очевидно, что з Н ! У2)2 7" ви(в у (! Мяв у с(у (!се ло, лу в!и' у аво, в!яву ав — (о яву — огсову)в или ог 1 77 = —.' Мяу г о Мву — о,соху)в в Выпишем еше дифференциальное уравнение второго порядка, которому удовлетворяет 7 (о,). Это будет ду в (27.4) где аг " + аг " (ог 72)() 2 * 2 Предположим теперь, что в какой-то точке М' нашей кривой нам известно у, т. е. предположим, что мы знаем для нашего движения величину и направление скорости на каком-нибудь Определанном конусе с вершиной в Р. На основании (27.2) и (27.3) мы можем тогда дать графический способ приближенного построения кривой ог= 7(о,) для нашего движения.
Зная у, о,, о„можем вычислить А( по (27.3); откладывая это )с по нормали в М' (направление ее известно, нбо у известно), найдем центр кривизны М для М' и проведем малую дугу круга радиуса !с с центром в АГ. Взяв точку М! этой дуги, близкую к М', найдвм угол наклона у, в точке М, радиуса проведенного нами круга и снимем оп и о,, как координаты тош(и М!.
Мы можем теперь, вновь обратившись к (27.3), найти ( сг! — радиус кривизны в точке М(, построить центр кривизны М! и т. д, Рассмотрим теперь вопрос об обтекании конуса с углом рас° В В!О С(.*. ° ..Р........„., „, „. Р..,Р., В '(у ~ ( („,,((р, ((( «б( аоверхность вращения вокруг оси о . А. А. Никольскйй исследовал также лвижеиия, в которых пространство годографа вырождается в любУю поверхность или же, наконец, в линию. В последнем случае получается обобшение тех случаев плоских течений, в которых годографои служили эпипихлоилы (си, ниже з 31).
Аналогичные результаты получили С. В. Валланлер и Жермен ()егша!и) 232 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ !ГЛ сильного разрыва, расположенного перед нашим конусом, будет 2», Построим гипоциссоиду, отвечающую скорости набегания о, = он о,=0, н при помощи угла»з найлем величину скорости (о„о,) (опуская перпендикуляр из точки (он О) на прямую, наклоненную под углом»„к оси о,и отыскивая пересечение этого перпендикуляра с гипоциссоидой) после прохождения разрыва. Примем теперь наше»з за отправной угол» (рис. 82), а нашу скорость отметим в плоскости (о„о,), и будем строить линию о,=у'(о,) до той ее точки О, где направление нормали к нашей кривой пойдет в точности по направлению радиуса-вектора ОЯ этой точки; точка О даст величину скорости в том месте, где скорость будет направлена вдоль конуса, на котором она измеряется, т. е. даст скорость на поверхности обтекаемого твердого конуса (угол ОО с осью г равен рз). При построении, на основании (27.3), кривой 7'(о,) полезно заметить, что (27.3) может быть записано в виде 1 )7и (уа 1 —— л2 где )г„= ВМ' (рис.
83) есть отрезок нормали от точки М' до пересечения с осью о,, а У есть проекция скорости 1' в точке М' на направление касательной к кривой о, = 7'(о,) в этой точке. Совершенно очевидно, что, зная кривую о, = 7'(о,), мы будем знать все движение, ибо, чтобы найти скорость на радиусе-векторе полярного угла 4 (конус с углом раствора 2у) достаточно будет найти на нашей кривой такую точку, чтобы нормаль в ней пошла под углом э к оси г, Трудность состоит только в том, что в задачах на обтекание острия бывает задан угол острия, а не угол поверхности разрыва.
В работе Хантше и Вендта') даются кривые, связывающие при различных значениях ог!а, величины р, и е» Эти авторы взяли сперва ряд значений о!/а,(о!/а„=1,17; 1,25; 1,37 и т, д.), построили для каждого из них гипоциссоиду, взяли на каждой такой гипоциссоиде по нескольку точек (8 или 9) и построили линии 7(о,), выходящие из этих точек. Пример такого построения дан на рис. 84. Здесь ог/а„= 1,6582 (ог!а! = 2,0636). «Концы» наших линий (т. е. те места. где нормаль к этим линиям совпадает с продолжением радиуса-вектора) соединены в свою очередь кривой (авторы упомянутой работы назвали эту кривую «яблоковидной»); числа, стоящие у концов линии 7 (о,), ') Наз!вспе Ъ'., 1уепд! Н,, Мй()еЬегзсйа!!деле!1ччпд!дзепаайеЫа- зепе Кеяе!зригеп.
ЗаЬГЬЧСЬ вен!«слеп Ьв!г!айг!!Огзсьивй, 1942. б Гй ОСЕСИММЕТРИЧЕСКОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО КОНУСА 233 означают отношение )те /Гуе, отвечающее тому или иному случаю. На рис. 85 изображено семейство яблоковидных кривых (верхняя полуплоскость) вместе с соответствуюшнм семейством гипоциссоид (8)ижняя полуплоскость). На рис. 86 по горизонтальной оси отложены углы ра, по вертикали — углы ре и дано семейство кривых, зависящих от параметра ту)/а,. Тут же дан рис. 87, где по оси абсцисс отложены М, = — о)(а), по оси ординат отложены»е, а кривые зависят от параметра Ц. Наконец, рис.
88 дает величину (р — р))/)/,р)оти где )у — давление на конусе, в функциях от угла ре для разных о,/а,)), л« » ', гу,йл' 07«у с; тру —.=7,ЫЫ, л =~(7ОЮ у Рис. 84. В решении рассмотренного типа «концы» линий О,=7(о,) лежат на яблоковидной кривой, а «начинаются» эти линии на гипоциссоиде. Другой тнп движения, описываемого уравнениями (27.2), (27,3), может быть получен в виде конического течения сжатия в сопле специального вида, в котором прямолинейный поток О, = Ои ту, = О, начиная от некоторого конуса ВРВ (рис. 89), плавно переходит в коническое течение, а затем, после прохождения конической поверхности сильного разрыва АРА, опять становится прямолинейным, но Уже с новой скоРостью и, = Ою О, = О (БУземан).
Чтобы найти это движение (а заодно и форму стенки), можно задать скорость о (« а„) после прохождения разрыва и угол конуса разрыва. Тем самым мы можем определить значения о,, О,' скоростей перед прохождением разрыва, а затем, используя (27.3), построить соответствуюшую кривую О, = 7'(о,)(б',). подобно тому у б 1 ) Л * р р 8б 88 Р У б* верхззуковымн скоростями иа поверхности конуса, «правые» вЂ” с дозву"овыми (две точки пересечения гипоциссоид с радиусо м-вектором). ОСЕСИМЯЕТРИЧЕСКОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО КОНУСА ф ЕЛ и О.
с, сз С~ СБ СЕ ю 4 ч Ъ Ъ О Д а Ф Ф В М~ С.1 %~ ~ч 236 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 1ГЛ, Для удобства можно вновь обратиться к гипоциссоиде (7.14), но теперь вместо о, следует подставить в эту формулу пз — скорость, возникаюшую после прохождения разрывз'). Уравнение для (о,', тг') примет вид (аналог (13.3)): аа и оа = ( — о )т 2 а и2 + — т х+1 и (27,5) Так как теперь о, < а,, то гипоциссоида (27.5) будет иметь иной вид, чем рассматривавшиеся до сих пор.
Именно. кривая (27,5) состоит из изолированной точки о, = ом о, = 0 и из линии, располагаюшейся в полосе 2оз1(х+1)+аз/О > о,)~а'/о (см. рис. 90), Р пересекающей ось о, в точке а'/о, и имеющей асимптоту о,= 2п (х+1) +аз/оя. Кривая 7. будет теперь «начинаться» на гипоциссоиде, а «заканчиваться» на оси г (в точке В), где и определится скорость ои и,— —--- Оба типа течений, рас- А смотренных нами, реали.
В зуются только при наличии конической поверхности сильного разрыва и являются течениями сжатия. Следующим образом доказывается, что движение 2-го типа не может существовать без поверхности сильного разрыва. Пусть наша кривая 7. может быть продолжена до пересечения с осью симметрии (пунктир на рис. 90) в точке Р. Дифференцируя уравнение (27.4) по и, н полагая у =О, получим С и Рис. 89 7"7'"=2 —;(1+7" + — *, ).
(27.6) Равенство это показывает. что 7'7" должно быть положительным. С другой стороны, из рисунка видно, что 7' « 0 около точки Р, что же до 7", то, в силу (27.2), мы можем написать 7'" = — д((д~у)(г(о,. Так как (см. рис. 89) с(9~Р по мере продвижения слева направо все время растат, переходя от отрицательных значений через нуль к положительным, а о, уменьшается (течение сжатия), мы имеем уи) 0; но тогда 7'ух < О, и мы получим противоречие с (27.6). Это про- ') См.
аналогичное рассуждение в 9 7. а гп ОсесИмметРическое ОвтекАние КРуглОЕО кОнусА 237 тиворечие не имеет места в случае, отвечающем точке В, где 7' ) О. Третий тип движений, удовлетворяющих (27.2), 127.3), был найден А, А. Никольским (1949). Это га осесимметрическое коническое течение, при котором невозмущенный поток со скоростью Ои начиная с некоторого характеристического конуса (с вершиной на оси симметрии), непрерывно разряжается.
Течение это можно рассматривать как внешнее обтекание невозмущвнным сверхзвуковым потоком некоего тела враще- Я л 1и„о) ния — полубесконечного цилиндра, с< а) еа который после некоторого сечения начинает постепенно сужаться л (см. рис. 89), Возможность существования такого течения видна из следующего рассуждения. Возьмем в плоскости голо- графа скорости (рис. 91) некоторую точку В,(о,', О,'). Через эту точку проходит бесконечное множество интегральных кривых Рис. 90. уравнения (27.4).
Среди этих кривых найдутся такие, которые будут обращены выпуклостью к оси оа. В самом деле, по (27,3), если проекция 17 на касательную к нашей кривой скорости в точке В, будет меньше чем а, то лг ралиусй будет отрицательным 1о, ~ 0), что и означает 4,(и„07 выпуклость соответствующей кривой 7.. Между тем всегда можно выделить такой угол с вершиной в точ- ю, 7и,', и,'/ ке ВР что проекция скорости на любую прямую, проходящую через В, внутри этого угла, окажется меньше Рнс. 91.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
