Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Лля характеристики 1-го сед мейства АВ напишем д = дд + а, (г — гд) + Ь, (г — гд)э, (27.9) где (лд, гд) — коорлинаты (известиые) точки А, а, и а,— постоянные, подлежащйе определению. Наконец, для характеристики 2-го семейства АС напишем г = лд + аэ (г — гд) + Ьэ (" гд)э (27.10) где а, и Ь, заранее неизвестны. Обозначим через ч угол касательной к поверхности разрыва с осью л.
Дифференцируя (27.8), получим С~8 ч = С, С1П ч = С1Е ч, + 2СЭГЭ, в=П В ОСЕСИММЕТРИЧЕСКОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО КОНУСА 243 4 211 где р в — углы наклона поверхности разрыва в точках Р и В соответценно, гь — ордината (неизвестная) точки В. Таким образом, вместо (27.8) можем написать — с!я трг+ (27.11) 2гь В частности, в точке В ! ь 2 гь (с!Я тв + с!й тр). (27.12) угол т можно считать известным и равным углу скачка для конуса, касательного к телу в точке Р. Три известных величины: тв, лю г связаны одним соотношением (27.12). 1(злее, дифференцируя уравнейие (27,9) и учитывая (27.12), мы можем написать с!ы(РА А) ат с!Я(рв+ в) ~18(8А+а )+2б (г — г ) так что для точки В по (27.9) имеем ль аа = 2 " (с!й («РА+ аА) + с(й(йв + ав)).
(27 13) В этом соотношении й — угол касательной к контуру в точке А — известен, А но неизвестны величины «А, йв, а, ль, гн Тал как точка В лежит на поверхности разрыва, то значения йв н а могут быть выражены через т Именно, из условия непрерывностй скорости, касательной к поверхности разрыва, имеем оь о1 соэ "в эес ("В ~йв). (27.!4) Здесь и,— скорость набегающего потока, скорость пь выражается через угол Маха а как всегда с помощью соотношения (9.22). Кроме того, деля (7,17) на (7,16), можем получить с!2 в (27.!5) !Нй =С1нт 2 /а 1+ — ~ — — э!п т 1 . 2 „+1 ~ч„э в Тэюи! образом, в качестве неизвестных остаются четыре величины: т, а В' А' гь, ль.
Воспользуемся теперь соотношением (2523). Проинтегрируем его вдоль линии АВ А В з!п8 э!и а Вг (2716) з1п (8 — а) А (функция ( определена по формуле (10.8) ). Вклад первого интеграла правой части (27.16) незначителен, приближенно "ожио принять, в качестве подынтегрального выражения этого интеграла, 16" 244 теоретические ОснОВы ГА3ОВОН динАмики 1гл. ! значение его в одной какой-то точке, например до прохождения поверхностц разрыва. Выражение, входящее во второй интеграл, можно аппроксимировать в виде ыпбяпа Ф Яп (Э вЂ” а) г Аийй определяя М н 7!Г так, чтобы соотношение зто выполнялось в точках ь!и Э япа Ф Б!пЭ з!па Ж ААМ!'ВВМ зюп ((!А ПА) Г ь|п (Рв ав) Гь Тогда соотношение (27.1б) примет вид з!прдь!паА ( Г Гь1 ь'п "вь'пав ~ Гь (27,17) Здесь ЭА, Га известны, Э и гь выражаются через Э,Э найдатся по чв с помощью (7.2), (7.10); что же до Э, то оно известно и определяется че- рез ч, ибо вдоль линии тока (обтекаемой поверхности) Э не меняется.
Неизвестными ивляются по-прежнему тв, Г, а, «!. Таким образом, мы имеем три соотношения (27.12), (27.13) и (27.17), содержащие четыре неизвестных. Чтобы замкнуть задачу, используем соот- ношение вдоль характеристики АС, Точка С находится на поверхности раз- рыва (27.11); значит, во-первых, можно написать с!и тв — с!и чр л =с!Дарг + г~~ с Рс 2гь н, во-вторых (как результат дифференцирования), с(е чв с!Е чр с!цч = с!пар+ га (27,19) Р Гь В последних двух равенствах содержатся новые три неизвестные величины: х, г, хю Запишем, наконец, условия иа характеристике (27.10) 1 л = л + — (г — г ) [с!Р (Э вЂ” а )+ с!Е(Э вЂ” а )) (27.20) и соотношение (25.14), проинтегрированное вдоль АС з!пр 5!па ( г Г 1 з!пр япа ~ Г Г ЯП(Э вЂ” а )! à — Г Г ) ЯП(3 — а) ( à — Г Г ) А А ! а с а! 'с с ( с с ас (27.21) В равенстве (27.20) величины Эс, о, и Э, находятся через чм а остальные величины введены были выше.
Таким образом, мы имеем семь трансцендент- 8 881 пРостРАнственнАЯ 3АдАчА, линеАРизАБНЯ УРАВнении 245 Наконец заметим, что при решении осесимметрических задач на электронных быстродействуюших машинах удобно использовать переменные, аналогичные тем, что были введены в 9 11 (по Элерсу). Этот вопрос подробно рассмотрен в упомянутой выше статье Элерса (стр. 68), а также в работе П. И. Чушкина' ). ф 28. Пространственная задача. Линеарнзацня уравнений. Снаряд, движущийся под углом к оси симметрии. Обращаясь к обшему пространственному случаю установившегося движения, напишем уравнения движения: Г р 1 8!г 2 — )Г= пгаб — — Ъ'Х Я= — — етая р (28,1) (Й вЂ” вектор вихря), уравнение неразрывности: Ргаб1пр ° 18+с((у )8=0 (28.
2) и уравнение притока энергии: ргв )г. ртад — =- О. Р (28.3) Уравнение (28.3) равносильно тому условию, что величина ,н — =а Р сохраняется в частице, т. е., вследствие стационарности движения, на каждой линии тока. Умножая (28.1) скалярно на )г, получим, так как 1 — вагаб р = Ьр-!оп!ад р = — 8 йтаб р х — 1 ') Чушкин П. И., Затупленные тела простой формы в сверхзвуковом по|оке газа, ПММ, т. ХХ!У, в. 5, 1969. яых уравнений: (27,12), (27.13), (27.17) — (27.21) с семью неизвестными гэ лэ, гр лр лл, тв, Еи Практически решение этих уравнений облегчается тем, что г, будет значительно меньше, чем гэ, так что т, очень близко к тр. Положив в первом приближении ч = тр, мы получим л жг сгечр, а жа, с г Р э Подставляя эти величины в (27.20), определим гэ и л через известные величины г, г, 3, 'Р, ч и неизвестную величину ал. затем, вставляя найденные г„л, в (27.21), найдем и з . После того кзк а получено, сразу можно найти из системы (27.12), ($7.13) величины л, г„через тл и затем из уравнения (27.!7) найти ч .
Теперь подставим найденные значения тл и г„в (27.18), (27.19). При этом мы получим новые значения л и ч в функциях от г„а используя (27.Ю), (27.21), определим исправленное значение а . Переходя снова к системе (27.12), (27.13), (27.17), найдем исправленные значения тв и г„и т. д. 22Е теогетические ОснОВы ГАВОВОЙ динАмики 1ГЛ, 1 ДЛЯ ВЕЛИЧИНЫ 1з1 *-1 + 2 « — 1 — О (28 А) сохраняется на каждой линни тока. Мы примем, как и раньше, что вообще Ре = сопзй были сде- Тогда (28.2) после преобразований, аналогичных тем, что ланы в 9 9, даат: дох де ди (о~ — а ) — +(оо — а ) — '+(о~ — ат) — + — )=о, (28.5) где, как раньше, «-1 о2 — «Р Р Предположим, что поле скоростей в нашем движении может быть представлено в виде: х О1+ х' ' тх х' где о„', о'., о,' — бесконечно мзлые, зависящие от х, у, е функции, а о,— постоянная величина.
Такое движение получится, например, если поток скорости он параллельный оси х, набегает на бесконечно тонкое, наклоненное под бесконечно малым углом атаки к оси х крыло, или же на бесконечно тонкий и бесконечно мало отклоненный от своей оси симметрии анаряд н т. п. В свою очередь, давление р и плотность р будем искать в виде: Р=Р1+Р ' Р«81+9 ° где Р1 и р1 — постоянные; при этом Р1 = 81 Р1 (28.6) и е, "х 2+« — 1 1Р1 з' (28.7) По аналогии с тем, что было в подобных случаях в плоской задаче (приближение Аккерета и Буземана для тонких крыльев), Ыы и здесь вправе ачитать, что, с точностью до малых второго порядка.
2 ги ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАНА. ЛР!НЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 247 вихри будут отсутствовать, если на бесконечности поток был потенциальным. Будем же считать, что существует потенциал скоростей Ф: Ъ'=йтаб Ф, (28.8) причем Ф=Ф,+Ф', (28.9) где Ф, =огх, а Ф' — бесконечно малая функция от х, у, г такая, что дф', дф', дф' л дл ' у ду ' 2 дг (28.10) теперь уравнения (28,1) могут быть заменены одним уравнением Бернулли (28.4) и уравнением (28.5), причем будет Ь = ЬР = сопзб Уравнение Бернулли даст, если ограничиваться малыми первого порядка: 2 -1 '+," "+, Ь,," ( + — )=;, илн вследствие (28.7) и (28.6): о1о'+ — = О. (28.11) Вводя потенциал скоростей, напишем еще дф' р' о,— + — =О.
дх р, (28. 12) Уравнение (28.5) примет вид, если ограничиться малыми первого порядка: де де дв <о — а ) — — а — У вЂ” а2 — =О, л 1 1! дл 1 ду 1 дл где а21= — яр,/р или, если разделить на а2 и ввести Ф'1 < 2 12Ф' д2ф' дзф' л1 Прежде чем идти дальше, заметим, что линеаризация, которую мы только что произвели, не будет точной в двух случаях: когда а1 (околозвуковые течения) и когда ог )) а1 (гиперзвуковые случаи).
В обоих случаях мы можем провести частичную лииеаризацию В первом случае мы можем построить уравнение, заменяющее 248 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОН ДИНАМИКИ !гл. ! уравнение (28,13), следующим образом. Пусть для простоты о, =ам Тогда обе зти величины равны ач и мы можем написать о„=а„+ дх, оу =- ду, о,= д', (28.14) дт' дт' дт' где —, —, — малы по сравнению с а . Запишем теперь дх' ду' дх уравнение (28 5) в виде; [(х+ 1)(аа — ~уз) — (х — 1)(ф+ф)]~8 +[(х+ 1)(аз — еа)— — (х — 1) (ф + ф )] у, + [(х + ! ) ( аз — ~8а ) — (х — 1) (Оз + ез)] о — 4 (Рх9у9ху+ ~8у9уоуу+9гУЖх) = О (28.15) (это аналог уравнения (15.1) ) и оставим лишь главные члены в квадратных скобках.
Именно, в первой скобке мы получим, пренебрегая у~~+ уз, 2 (х+ 1) ар„'; во второй и третьей квадратных скобках оставим только 2аз, заменим в остальных членах о на аь и отбросим член, содержащий произведение трйх малых величин: урр'., Мы получим вместо (28.13): (х+ 1) о,'о„'х+ а. (~Р' +-у,',) — 2у'.э„'у — 2у',о'., = О. (28,16) Заметим далее, что если 0(у') = е, то порядок о„' будет ечк Действительно, пусть порядок о' будет е"; сопоставляя 1-й и 2-й у Удз Т члены уравнения (28.16), замечаем, что О(э' ) = 0 ( — ! = ез, знауу (дх) чит дифференцирование по у имеет порядок ез-"; но тогда по (28.14), так как 0(у')=О~ — ~=е, имеем 0(о )=0 " = — ез-", Итак„ 1 дх / 1ду / зз- =е', т. е. и=~/,.
Аналогичным путем докзжем, что 0(Р',)=ев. Но тогда 0(у'.ч'. )= 0(о',з„',)=ез и мы можем пренебречь двумя последними членами уравнения (28.16). Получим окончательно взамвн (28.13) Во втором случае — в случае гиперзвуковых движений — мы получим уравнения, совершенно аналогичные уравнениям (23.2!) — (23.23) плоского случая. Вывод их очевиден и мы на нем не останавливаемся. Вернемся к детальному исследованию случаев, описываемых уравнением (28.13). Решение нашей задачи сводится к определению функции Ф' из линейного уравнения (28.13) с постоянными коэффициентами; при 42м ИРостРАнстВеннАЯ 3АдАчА.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
