Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Именно, возьмрм сначала какое-либо грубое значение р /рг, например рз/р, = 10, н вайдам с его помощью по (24.16) (т; но по (24.8), используя(24.15), можно получить л, Р! («р!) 4+а ! т — — +а= —, ил Р» ! Ра) 1+а ил ' (24. 19) Из этого равенства, внося сюда выбранное нами р,/р, и найденное нами 7, получим величину а.
Вставив это а в правую часть (24.18) (вместе с выбранным р,/р,), мы получим новое, уточненное отношение р,/рй Отправляясь от этого значения проведам расчвт снова и т, д. Прнведам пример. Пусть От /иа — 1,44 (и„— 4,68 к и/сак), р»/ра= = 2 ° 10 (р! 0,26 10 г/сж'). Тогда по (24.16) имеем (пренебрегая членом с (рг/рз)т) (т/иа 0,72. При рз/р,=12 имеем рт/ра=2,4 1О а; при этих значениях »з и рз/р, получим по (24.19) (отбрасывая р,/рт в скобках) а=0,42 и тогда по (24.18) мы сможем найти исправленное рз/ри Это будет рт/р,=!3,2. Теперь рз/ра=2,64 10; если это новое значение внести в наши формулы, величины а и р /р, останутся практически теми же.
Итак, мы получим Тт/Та=!/13,2 0,075 ') Уравнение для Т,/Та можно получить, исключив сперва а нз соот- Т вл, Рг! Р!! ношений — (1+ а) = — ' — ! ! — — ! (следствие (24,15) и (24.3) ) и Т,,р,! р/ Т вЂ” (4+а) +а= — "' ~! — — / (следствие (24.16) н (24.8)). По отношению Т 2иа '! Ра/ к р,/ра получим при этом квадратное уравнение: ( — — ) — /1 ) 2 О; р, ~а 2Та / р! ~ иа(3Т вЂ” Тл) Т, рз / Та+2 Та ~ рз / в~ (2Та+ Тя) Та прн атом .—,«„("* (1 ') «;).
Решив Указанное квадРатное УРавнение, вайдам Р,/Р, чеРез Та, а затем а через т,. Останется вставкть зги выражения в (24.2). и мы получим одно траисцекдентное уравнение, связывающее Тт/Т„с ра/р! н и„/ию Это уравнение будет аналогом соотношения (24.1) ( вернее, соотношения Т, 2я (а — 1) = (.+1). М! соз т получающегося из (24!) "я Очень больших М 'е для рассматркваемого нами сейчас случая «очень сильных Разрывов»). 2Ю ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. ! (Т ж 4400'К), в то время как при отсутствии диссоциации мы получили бы по (24.1): Тг 2( — ЦТ, г г г( — Ц т,= (.+ц Там"'Р= (.+ц* дт', т.
е. при принятых в этом примере величинах — 0,176 (Тгж!0000'К). т, Любопытной особенностью движений с днссоциацией является то, что величина Рг/Р, имеет опРеделенный экстРемУм, пРи котоРОм еж0,6-*-0,7; этот экстремум отвечает примерно значениям радар, !3 . 15. Заметим, что для идеального газа ргГр, монотонно растйт с ростом М, и достигает предельного значения только при М,=со (ср. (7.10)), рг е+! 4 рг — — — т. е. при х= —, — -ь7.
Р, « — 1 =3' Р, Остановимся теперь на выражении для энтропии; посмотрим, что можно сказать об изэнтропическнх движениях диссоцинрующегося газа. Аналогично случаю идеального газа мы можем и здесь ввести скорость звука как скорость распространения малого возмущения. Заметим сперва, чго энтропию 5 вновь можно снйагь функцией только р и р, ибо хотя по определению Я зависит от Т, Р и а, мы можем считать, что с помощью уравнений (24.2), (24.3) Т и а выражены через р и р. Возвращаясь к системе уравнений (4.14), мы должны заменить лишь последнее из уравнений этой системы соотношением Повторяя рассуждения й 4, мы получим теперь для квадрата ско- рости звука аг выражение: дЯ д5 дг дР дР ' Если обозначить аг Р Р то 7, аналог отношения теплоемкостей, будет зависеть от р и р, й4ы можем представить 7 в виде: д1пр Ф1п Р ДВИЖЕНИЯ С ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕИ (дифференциалы берутся при г(о = О) и получим, после простых + 2 ТТа а (1 — ав) + (2 + Зав — ав) Тв у~~а (1 — а ) +3(2 — а) (1+ а) ТЗ для крайних значений а = 0 и а = 1 получим соответственно и у=в/з').
Интересно отметить, что, подобно р /ри величина Т имеет экстремум (для отношений Т(Тю лежащих между 0,04 и 0,10) для каких-то промежуточных значений а; в этом убеждаемся из анализа формулы (24.20). Мы ограничимся сказанным здесь относительно особенностей диссоциируюшегося газа. Вопрос о лвижении в пограничном слое, влиянии вязкости, а также диффузии рассмотрен в ряде работ. из которых упомянем работу В. В. Щенникова а). В.
УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА В 2б. Движения с осевой симметрией. Из пространственных движений рассмотрим сперва обладающие симметрией по отношению к некоторой оси, Последнюю примем на ось О» цилиндрической системы координат; расстояние от оси будем обозначать через г, полярный угол череа 8, проекции скоростей — через о„ о,, ов соответственно. Условие осесимметричности вапишется тогда в виде: др до до де о à à Š— = — = — = — '=ов= дв дз да да Кроме того, движение предположим стационарным, так что ни один из его элементов не зависит от времени.
Так как движение происходит одинаково во всех меридиональных плоскостях (полуплоскостях), прохолящих через ось О», мы можем рассмотреть одну такую полуплоскость (», г). Уравнения движения примут внд: 1 др д о' / дог доа! + Г Г р да д» 2 Г'1 д» дг)' Уравнение неразрывности примет внд: условие адиабатичности даст: — =О. д р д р *д» Е» Гдг Г* о Гт ) Последнее значение совпадает с тем, которое приводится обычно ллк йдеааьного одноатомного газа: х = в)в (стР. 21).
) Шеи ников В. В., Расчет ламинарного пограничного слоя у сублимнрующей поверхности, Сб. выч. матем. н мат. фнзнкн, 1 (1961), )ЧВ 5, 222 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЛ ДИНАМИКИ 1гл. 1 Мы видим, что все уравнения, кроме уравнения неразрывности, отличаются от уравнений плоской задачи ($6) лишь заменой л на г и у на г.
Поэтому мы можем повторить все те выводы, которые мы получили, не употребляя уравнения неразрывности, в плоской задаче. Введем функцию тока ф(г, г). Из уравнения неразрывности имеем: дф дф гро, = — ' ' гро, = — —, дг' г дл' (25.2) и (6.!1) заменится на -1 дог де» / дГе хр 1 „ да дл д1' (дф х — 1! дф (25.3) рд(О,!= [)т! соз(и, г); рд ело,) =-!р)соз(п, г) вместо (7.3), (7.4), причем по-прежнему имеют место (7.5), (7.6), (7,7). Но тогда справедливо и (7.10), где ф есть угол между нормалью к линии разрыва и осью Ог, а О1 есть скорость до разрыва.
Далее, (7.14) запишется в вцае1 2 ( аэ'1 ( е! ! (е~ ех) О'=(Π— О )Я х+11' е,! 1 и1 ЕХ+ 'х+ 1 е~ (25.4) т. е, нам придатся иметь дело с прежней гипоциссоидой. Наконец, вса, что мы говорили о критической скорости и об уравнении Бернулли (Э 8), останется в силе, если толы<о заменить там, где они входят, буквы х и у на л и г соответственно.
Обратимся к изучению движений со сверхзвуковыми скоростями и привлечам уравнение неразрывности. Примем, что ХЧ1 'х — „— иа (е=сопз(.; (Э=г 1 рр причем д, дех о дл дг (25.5) Снова вихри будут отсутствовать, если иге)пф=г)6)г(ф=0; обратно, если 2= 0, будет, вообше говоря, е((е)г(ф=пЬ(е(ф=0, Обращаемся к условиям на поверхности сильного разрыва (в плоской задаче это были цилиндрические поверхности, сейчас — это поверхности, получающиеся врашением около оси Оей их пересечение с плоскостью меридиана назонам линией разрыва); получим, очевидно, вновь (7.1) и (7.2), а также формуты движения с осевои симмвтриви е рв1 уравнение неразрывности (второе из дифференциальных уравнений задачи) запишется так: д!пр д1п р до» до г, . дз ' дг ' дг дл г + — — + — '+ — '= — — '; выражая р через а, получим после простых преобразований: ( — ) аа — о.) — — о о — о о +(а — о ) — = — —, (25.6) до, до,, т о до„д'ог г)дл'гд»'гд»(г/дгг Уравнение (25.6) отличается от уравнения (9.2) наличием свободного от производных члеиа — аео„/г.
Предположим, что о ~ а„ и введем харзктеристики т =«(з). Вдоль них мы имеем; до» до«д» гто» » ( «» дл дг дг ог ' дог 1 дог дл ' д» Ил дг Находя отсюда до,/дз и до,/дз и внося в (25.5) и (25.6), приведем последние уравнения к виду: — — ' (о,о,.+ г' (а' — ое)) — — ' (т'о,о, + ат — о',) =- гтог д ог = (а — о;) — „— о,о, „+ дог,, дог дог — г, дг 1 дг Фл Чтобы линия г = т(з) была хзрактеристикой, должно быть: г'(ае — ое)+о о — г'и о — (а' — о') 1 г' г'(аз — о',)-(-о,о, /ае — юр т,' — о о о,'-)- а о' 1 — ьг+ о' Первый из этих определителей даст нам, очевидно.
аналогично пло- скому случаю: та/и' — ае) — 2оо т'+ о' — ааг 0 (25.7) и И= о о ь а)то' — а' (25.8) де/ье о — а 3 е где значку 1 отвечает знак плюс, значку 2 †зн минус перед корнем. Мы видим таким образом, что в плоскости (л, «) характеристики т = г(з) строятся из скоростей о,, о, совершенно так же, как в плоскости (х, у) характеристики у = у(х) строятся из о„и и . Обратимся теперь ко второму определителю. После простых преобразований получим: — ""' ('(д' — е2)-)-2о 1 — (д' — е') — ""' = = й '(г'(а2 — о2)+пи )+ — '. Замечая, что вследствие (25.7) коэффипиент при е,' будет равен (' ет — ае)/г', деля на него и' заменяя члены в квадратной скобке г правой части по формуле (25.8), получим: До е — а ао аЯ) о2 — ат а'о,г' 1 а'л о — а Лг г е — а г г е — а г Вспоминая затем, что г г е — а 2 2 Г!1'2 — 2 2 о — а 2 получим окончательно: вдоль характеристики первого семейства: 1 — аЯго — аг, 2~ 2 2 ао, 2 гйlг+ —, гало, = 2 ' + ' г', сГл, (25.9) Г2 о2 — а г(о2 — а ) Г вдоль характеристики второго семейства: 1 ~ +аЯг о — аг2 1У 2 2 ае, 2 нег+ 'г7ег 2 2 + 2 2 г2 г о — а г(е — а) г Так же, как и в плоском случае, можно придать формулам более обозримый вид, если ввести величину скорости е н угол наклона р к оси лл (25.1!) о,=есозр, е,=ез1пр.
Мы получим тогда вместо (25.8) ( — ) =1дф+ а), (25. 12) где, как и прежде, жпа=а1о. Формулы (25.9) и (25.10) перейдут при этом в соотношения О 2 — 1 мп (а+ а) г 224 твоевтичаскив основы газовом динхмики [гл 1 ВезВихреВое Осесимметрическое дВижение при о>а 225 б аб1 Формулы (25.9), (25.10) существенно отличаются от формул (9,13), (9,14) плоской задачи наличием вторых членов фигурной скобки справа. Формулы (25.13), (25.14) отличаются от (9.24) наличием члена, солержащего саг!и. Это будет особенно явно в безвихревом случае, к которому и переходим. 9 26. Безвнхревое осесимметрическое движение при о > а. Метод Франкля. Если вихри отсутствуют, т.
е. (2 = О, будет: вдоль характеристики первого семейства: 1 а'о, б(От+ —,б(Оа=,, Г,~!Е, гз г(о — а ) и вдоль характеристики второго семейства; 1 а'о, г(о,— а (26. 2) Задача об исследовании такого движения была решена впервые Франклем. Наряду с плоскостью (г, г) рассмотрим плоскость (о„ о,).
Совершенно аналогично тому, как это было в плоской задаче, нашему движению отвечают точки плоскости (о,, о,), лежащие между кругом об=о~+об=аз и кругом об= а'; это объясняется тем, «+1 « — 1 что уравнение Бернулли об+о а х+1 а 2 + х — 1 « — 1 2 15 Теоретическая ~иироиеяаиииа, ч, пишется здесь так же, как и в плоской задаче. Однако характеристики в плоскости (о„о,) не будут теперь эпициклондами и даже более того, они аналогично характеристикам в плоскости (г, и) не могут быть найдены до тех пор, пока движение не определено. Происходит это вследствие наличия в (26,1) и (26,2) правых частей. Легко видеть, что наша задача представляет формальную аналогию с рассмотренным нами в 9 8 случаем плоского вихревого движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
