Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 30
Текст из файла (страница 30)
от поверхности тела г = ге до границы каждой из полученных нами полос, Получим М соотношений (по числу полос) вида 196 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОИ ДИНАМИКИ [ГЛ. 1 Коэффициенты а (6) определим так, чтобы значения 71(8) =7 (г,(6), 6] нашей функции 7 на линиях г,(6) точно представлялись с помощью нашей интерполяционной формулы. Иначе говоря, определим пн ам ..., аз, из следующей системы 1)7 уравнений «а ) ' '~ =7'1, 1=1,2,..., Лг или же Кроме того, заметим, что аз — — 73 (значение 7 при г=ге). Пусть мы получим по=Уз О„=Ь! Уе+ХЬГ 7! (Л)=1, 2, ..., Ж). (22.26) 7=1 Коэффициенты Ьг, Ьр могут быть рассчитаны заранее.
Так, для 57= 1 имеем Ьо) = 1 ° Ьп =+1 Для 7))'=2 имеем Ьш —— — 3, Ьн — — 4, Ьв,—— — 1; Ьзя= 2, Ььч= — 4, 533= 2; для И=ри) 11 Ьо) = — -л 9 Ь31 2' Ьц — — 9, 45 Ь 12 Ь31 —— 1, 9 Ь 2' 27 Ь)з= 2 г 13) 71(8) = ~ У (г, 8) а) . о Используя представление (22.25) функции 7, мы получим т1 Ы) и Л (6) = )'~ а„ (8) 7' [ †' ] )7г = е (8) 3 а — 1 ~ ' з ' ~ а=О о =3 (1= 1. 2. ° ° ° Ж) (22,27) Ориентируясь на (22.25), мы можем дем обозначение: Ь33 — — 18, Ь33 — — — — ,' 32 2' 27 9 Ь33 = 533 =+ 2' 2' теперь вычислить ~ 73(г. Вве- 4 И1 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ 197 или по (22 22) 1Ч Л (8) = е (В) ~~~ ам (З) ( 1 ) а=а 1'=1, 2,.
М (22.28) достаточно будет вставить сюда вместо а их выражения из (22,26,'. и мы получим Л (для каждого 1) через линейные комбинации от значений У' У= 0 1 ° ° ° ° ° М) 71 (В) = е(В) РЗАУЗ+ ХРЯК! (У,ч = У~), (22.29) 7=1 1=1,2,...,№ Для М=1 1 РЗ1= 2 ° 1 2 Для М=2 Для М=З 5 72 ' 1 Рю= 9 19 72 ' 1 гз1 72 ' 1 РЗ1 — 8 4 3' 1 роз= 9 рзг =() 1 Рзз '8' 3 8' 1 ~=8 3 ~ — 8 Наконец, удобно будет иметь еща формулу, 71 " Ум через уп 7,, ..., ~м, уе. Чтобы достаточно решить систему уравнений (22.29) , М) относительно у' .
Получим выражения типа УТ ЦУЗ+ —,,;~ 1АУ1 1=1 Приведвм коэффициенты а. для М=1, 2 и Для М= 1 (22.36) аог = — 1, ап — 2. ~ ~ Р ~- ~аЩ. м....,....~„... А О, 5 1 Р1и= 6 1 ~И=В 2 3' 1 24 ' 1 6 ' позволяющую вырааить получить зту формулу, (записанную для 1= 1, ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОИ ДИНАМИКИ 1гл. 2 198 Для /5/= 2 1 1 аз!= — 2 ' аи 2' аз! 2 ' а!2 — — — 3, а22 — — 4.
а02 Для А/= 3 1 ао! = 3' 3 2' 3 2' 1 В' 1 ам= 3 ° 2 3' 13 2 ' а!2 = — б а22 — — 3, аз2 27 "з= 2 ' 27 агз = 2' азз = ит. д. Вернвмся теперь к формулам (22.23), (22.24) и запишем их сперва в виде: — ' = — 5! — „— (гРТР+ РГ')!+(РГ) +/тгеР+ Р)! 1 (22.31) — = — /. — — (гт! Т) . ИО А ' ЛВ где для сокращения записи обозначено: 51=(р 2,) о =(овт)!. (22.
32) С другой стороны. в силу (22.30), мы можем записать а!57/г/В в виде Л5! а 1 — = — — 7 а з. (5„=0) ав ав е(0) 20 1=! или, выполняя дифференцирование: !ч А! 525! 1 и;ч Не! 1 ее чеч — = — 7а — — — — даз г(В е (В) Ь !! !20 е' (0) л О .ЛЛ 1=1 1=! (/=1, 2, ..., А/), (22.33) Аналогично, для 5/0!/Ео имеем !22! аго 1 ъ-~ аг! 1 5(е кч — — а .— = — 7, а,.
— — — ~ а Г Ц=1, 2,..., А/). ЛВ 07 ИО = е(В) 2е !! ЛВ е'(0) лв ЛВ !7 ! 1=! 1=! (22.34) Но теперь мы можем внести в зти два последних соотношения выражения с!ю,./г/О, г!Т,/Фо из (22.31). Мы получим, выражая еще зн вн озер+ р! с помощью (22.29), систему урзвнений, в которых слева будут стоять производные г/з/г/О н Жу/5/В, а справа — комбинации численные методы Решенпя плОских задач всех искомых фУнкций (Ов)з (Оь)1 °... (иь)ди (п„)и (Ф„)з, ...,(О,)ли! 6 „Ьи ..,, Ьч, е (при этом правые части будут содержать производные г/е/г/В и еще г(/е/г/9).
Получим систему 2М(/ =- 1, ..., и/) обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порялка, линейную относительно произвоа„ых, Система эта будет содержать 2М+ 1 скорости (О,)н (О,)м ... (п,)л,; (и;)з, (Оу)и ..., (тУу) (пРичем (и„) =(О,),„(пе), =.(Оь),,), /!/ ! ! фУнкцию Ьз, Ьи ..., Ьл„а также фУнкцию е(6) — итого 3/!/.+ 3 функции. Чтобы замкнуть систему, сперва обратимся к краевым условиям. Заметим, что (и,),, (и„), связаны с углом Р соотношениями (22.13), (22,14), (22.15). 6!ы можем, поэтому, ввести вместо двух неизвестных функций (О,), и (ту,) одну искомую функцию чу (угол наклона). При этом производные, входящие в наши уравнения, будут содержать как саму функцию р, так и ~(з/дО. Именно, для г((п„) /НО и И(п,) /йО будем иметь 6(щ) йт л (Мв Фт ' ЛЗ п~ ЛЬ (и,),, Лз — — лг1 ЛЗ +(Фа)х (22.36) где Леу .
Лсх / Леу , лпу лу = + '- з!и 6 — — соз 6, л = — — ! — з!и 8+ — соэ 6) ! Лэ Лэ ~ '! Лэ ду ЛЧ и аи вычисляемые посредством формул (22.13), (22.14) суть известные функции от ч и О. Далее, мы имеем еща соотношение (22.18), связывающее функ. ции е(6) и е(8). Недостающие И+1 уравнения составим, используя уравнение для дЬ/дО. Так как Ь зависит лищь от ф, то можно считать Ь; = Ь, (ф;), Поэтому г/Ьу/г(6 = ~(9,/пуф! ° г/ф,./сгО. С другой стороны, ясно, что Ьу(ау) =(Ьз(фт)),, так что с/Ь,фф, =(г/9,/г/ф ),,„. На"с Р! Рт Уу конец, напишем ФЬвффт = г/Ьт/г(э ° ар/лО ° дО/г/фз и заметим, что в этом выражении пуЬу/г(е может быть вычислено (через 6) непосредственно по фоРмУле (22,19), а сгО/пУфз может быть Рассчитано пь формулам (22.!6), (22,!7).
Если мы запишем теперь сг~~~,/г/8 с помощью соотношения (22.10), в котором под /6(8) будем подразумевать г;(6) из (22.22), то получим окончательно Это соотношение надо записать для 1= 1, 2, . Ю вЂ” ! Дли ! =/!/(~) имеем непосредственно равенство (22.16); на поверхности цилиндра будем иметь постоянное значение Ьэ по формуле (22.21) твопвтичвскна основы газовой динамики !гл. ! Таким образом мы замкнули задачу: число уравнений будет равно числу искомых функций. При этом краевые условия на теле и ударной волне удовлетворяются автоматически при любом И.
Полученная таким путем система обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка (так называемая аппроксимирующая система) решается численно шагами по О. При этом будем отправляться от некоторых начальных значений, отвечающих 0 =0.
Здесь, однако, мы встретимся с тем затруднением, что не все искомые функции задаются при 8=0. Именно на оси 0 =0: (о,)з — — (оВ),= ... =(оя)м,=О, ~Р=О, Э,=Эя= ... =Эм,—— т1 Фе ''' тч-1 0' Таким образом мы имеем 3М вЂ” 1 условия, в то время как искомых функций 4М вЂ” 1 (о, и о,— выражаются на Е через т). Неизвестными оказываются (о,)н (о,)я ... (о,)м ы е(0) (М параметров задачи). Обратим внимание на то, что паши дифференциальные уравнения будут содержать подвижные особые точки. Разрешим нашу систему относительно производных от искомых функций. Мы привели систему к виду, решенному относительно производных с(г/л/О, Ж!/л/8, где з) и 1 определяются из (22.32) через (о,)! и (ол).
Используя эти связи, получим для /=О, 1, 2, ..., И: Ю~ ГГ (о,) - И (о,)! л! а (ее)! + — /ат — о') —, (22. 37) йВ ае аз ае л злу аз ! ! (22.38) х — 1 где ай= (от — о' — о'! — местная скорость звука. На обте- ! 2 ( мал л Ву каемом цилиндре (/'=0) надо учесть, что (о„),=0 (тогда г,=О). На поверхности разрыва, где /= И(Е), справедливо (22.35) и Лл/Л, ~Хз,фО выражаются через г/В/Л.
Теперь без труда из (22.38) и (22.37) получим выражение для а'(о,) /л/8 (/=1, 2, ..., М вЂ” 1) н л((о,)ф/О ./'= О, 1, ..., М вЂ” 1) через г(! ф0, л///г(В и г(з/г/л/О (/ = 1, 2, ..., М), а гм численные методы Решения плоских зАЛАч 201 ,((о )./г(0 = (/д где 1 Г 1 Г Э; 1ИГ -П й) гггг я Л1пэт 1 (/. = — — ( — '( — / — — (о,) — — + 1 (о,) — — ~, !г (а,) лз '!Нз (22.39) Л (е~)Г Е7 аэ ЛГ) е (ег)у — а ° г где Е.= — ' — — +(о,) (о,). ЛО а — (Ра/ /1 ла ' 1 ' ЛЗ (22. 40) l Выражение (22.37) или (22.38) при у'.= М(Е) используется для определения аг/ф0. После этого аппроксимирующую систему в нормальной форме можно запасать так: ее —,з = — (ге+а)(К(0+В ! 01(фг) = 0 (Ф*) 1е л (~0)з Ее гГ (Ра)! Е! (Рв) гГа в, — (Ро)1 ,/=1, 2,..., М вЂ” 1, Входящие в правые частя г(гу/г(0 и Ф)/г/0 определяются по (22.33) и (22.34). Неизвестными функциями здесь являются е, фд бд 4~, (о,)д (оа)д (о,),.
Из аппроксимирующей системы видно, что правые части всех уравнений, кроме уравнения для г(о./г(0 (/=а, 1, 2, ..., М вЂ” 1). 1 являются голоморфными в области определения функциями от 0 и искомых велячин. В уравненяях же для И(о~)1/г/0 (/= л (оо))=а1 знаменатель обращается в нуль. Если мы не потребуем, чтобы и числитель Е в этих точках обращался в нуль, то мы будем 1 иметь бесконечные значения производных к (Рг)лг ! л (ег)з Я (Ра)~ лз ' вз т- е. бесконечные ускорения, Тогда движение не может быть продолжено за соответствующие точки — мы получим особую предельную линию (ср. решение на стр.
164) и вез решение не будет иметь физического смысла. Таким образом, М уравнений нашей аппроксимирующей системы в окрестности звуковой линии будут иметь по- 202 гвогатнчвскив основы газовом динамики 1гл. ~ движные особые точки и для возможности непрерывного перехода через эти точки необхолнмо выполнение в них М условий: при (оа)Р— — ат должно быть Е)=ОД=а, 1, 2 лг (22. 4! ) Для удовлетворения этих условий в нашем распоряжении имеется И параметров при 0 = О. Теперь задача полностью замыкается.
Отметим, что при 0 > О, как следует из (22.39), уравнения для д(а,))/лВ особенностей не имеют, а при В=-О с'(о,)1/Я=О. ПроведЕнный О. М. Белоцерковским анализ особых точек показывает, что в уравнениях (22.40) особенности будут типа «седла», причем во всей рассматриваемой области интегрирования существует единственное решение, голоморфное всюду и удовлетворяющее условиям как при 0 = О, так и при (о~)1 — — а . Техническая трудность построения такого решения заключается в том, что в особых точках в правых частях уравнений (22.40) будут неопределенности типа 010. Заранее раскрыть эти неопределенности нельзя, так так положение самих особенностей н значения многих искомых величин в них неиавестны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
