Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 26
Текст из файла (страница 26)
до . де! ' дз, да! дх дт) 1 ду дх) д . Р з1п р д — сОз~ — + о(сОзр — + з1п р — = О х ду 1 дх дУ / нли, если ввести о = о/а„ и обозначить М = о/а: (Мт — 1)(совр д + з!п !) — ~+ о (з!п р — — совр О' до де — 1 дл ., де 1 з)п р — — соз р — + о (соз р — ~ + сйп 1 — ) = О. дх ду (, дх ' ду ) кллссиоиклция сввохзвтковых твченип по хоистилиовичт 169 т вй !70 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 1ГЛ. [ Чтобы выяснить, что будет происходить около липин о=1, рас- смотрим сперва произвольную линию о=сонэк Пусть Р— точка на этой линии. Обозначим длину, отсчитанную по луге от точки Р вдоль линии и= сонз1„через з. Нормаль в Р к линии о = сопя. обозначим буквой и. Направив ось Ох по касательной, а ось Оу по нормали к линии О= сола!.
в точке Р, мы можем переписать уравнения (20.1) в виде: , до — / ., дв, де'! (М вЂ” 1) з!п 8 — + Ф ~51п 8 — — сов 8 — ! = О, дп ! дз дл! дэ — Т дз . дэ' — соз ь — + О ! соз 8 — + яп 8 — ! = О. дп ), дз дл ! Здесь 5 — угол, составляемый вектором скорости с касательной к линии о=сопз1. (см. рнс. 58). Исключив из этих уравнений дв/дп, мы получили следующее равенство, связывающее дЧдг и дю/дп: — дз 2 ' 2' р — = (1 — 1Ч)2 япз 8) — .
(20.3) Особенно простой вид получит формула (20.3), когда наша линия о= сопз1. есть линия перехода, т. е. если о= 1. Тогда: — =соз28 —. дв дэ дб дл ' (20.4) Заметим, что если нормаль направлена в сторону сверхзвуковой зоны, то будет до)дп) О, и таким образом де(дз) О.
Рис. 58. Отсюда мы получаем важное следствие: если перемещаться по линии О= 1. то угол между направлением скорости и направлением касательной к линии и=! будет меняться монотонно и именно так, что если при нашем перемещении сверхзвуковая скорость остается слева, то вектор скорости будет вращаться против часовой стрелки.
Может ли получиться бесконечное ускорение уже на самой липин о= 1? Согласно (20.4): де/дп =(1/соззэ) дЬ/дз. Моисет представиться два случая: 1) В= я/2, 2) Ь + п)2, Если 3 = я/2, то вектор скорости ортогонален в точке Р к переходной линии. Так как при о=! Е)па=1, т. е, а=к)2, то в точке о=! вектор скорости должен быть ортогонален к характеристикам Значит, когда э=я(2. то характеристики будут касаться в Р переходной линии (рис. 59). Пусть р = р' (з) — значения угла р на линии О= 1 в функциях от длины дуги г, клхссиеиклция свияхзвзковых течении по хгистилновичз !т1 (как и прежде, о — текуший угол, составляемый вектором скорости с направлением касательной к линни о=1, так что р — 3 — угол наклона касательной к линии о=1 к оси х).
Кроме того, дифференцируя влоль кривой ю = 1, имеем: ду ~~ созф — о) + — ып (р — 6)= О. К этим лвум уравнениям мы можем присоединить еша два уравнсння, которые получатся из (20.2) при М=!, о=!: дР . дЗ в!п р — — сов 'г~ — ' -= О, дх ду до до э!п р — — сов 9! — + дх ду де . дя Рис 59. + совр — + з!п р — =О. дх ду Решая наши уравнения относительно производных, получим до сов (» — В) ЛР* до Ып (Р— а) ду сова В Ыв ' дх сов' В с/ дд вш 3 сф* дэ сов Р с9' ду совЬ дв ' дх сова дв Вхт Мы прелположили, что в точке Р(а=О) о=к/2. Около точки Р мы можем написать поэтому сова о = (до"/с/з)а зв -)-0 (зв), где 0(зв) обозначает член порялка не ниже зв.
С другой стороны, для пр*/сГз имеем так что для до/ду, например, имеем д- ( ~ ) +! в ) з+( — в) — +0(в'! (20.5) отсчитываемой от точки Р. Дифференцируя это соотношение влоль луги. получим сов(р о)+ — Б!п (я 3) дя дя дх ду 172 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 1гл. 1 л~т ля и линия перехода должна быть простой прямой. В противном случае на всей линии перехода мы будем иметь бесконечные значения наших пронзволных, т. е.
бесконечные ускорения, и тогда лвижение нельзя продолжить за линию перехода (сама линия перехода будет предельной линией) и все решение не будет иметь физического смысла. Простейшим примером такого решения может служить аналог источника или стока в несжимаемой жидкости. Именно, если в цилиндрических координатах О,=тг,(г), па — — 0 1тг,— функция одного только г), то, так как по уравнению Бернулли 1 го=(о,/а„(), а вследствие уравнения неразрывности, — „„(г Р о)=0, мы можем написать: сопзг г х — 1 -г),-1 х+1 на котором и обращзется в единицу, 1 2 будет г ~ — )" ', так что +17 о (1 Если г,— радиус того круга, то постоянная интегрирования 120.7) — Гх+1 х — 1 о 2 2 —;,2 '*- Для ограниченности производной необходимо выполнение равенств ("„', ) =-(-"„,", ) =0.
120.6) Таким образом, для возможности непрерывного перехода от дозвуковой скорости к сверхзвуковой в том случае, когда в некоторой точке линия перехода ортогональна к вектору скорости (например, на оси симметрии сопла Лаваля), необходимо выполнение специальных условий 120.6) относительно равномерности потока около этой точки. Если линия о = 1 сама является характеристикой гиля во всех точках касается характеристик), то для непрерывности движения условие 120.6) должно выполняться во всех точках этой линии, т.
е. должно быть а аж клАСОИФИКАЦИя СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ ЙО ХРИОТИЛНОВИЧХ 178 х(ы можем, казалось бы, ВРедставить себе движение таким: на бесконечности о =- О, всюду о, < 0 — жидкость устремляется по радиусам центру; скорость движения монотонно растет по закону (20.7) и на окружности г =- г„ достигает критического значения. Однако вдоль окружности г = г, будет 216,/с(а = 1/г„так что (20.6) не выполняется. С другой же стороны, как нетрудно убедиться, написав уравнения характеристик в цилиндрических координатах, исе характеристики должны касаться окружности г = г, (где С1да = 0). Движение наше не может быть продолжено внутрь круга радиуса г = г„.
В самом деле, знаменатель (20.7) имеет максимум, и слеловательно, г имеет мшримум в точности при о = 1. Этот пример может служить иллюстрацией к сказанному в начале предыдущего параграфа о невозможности в снимаемой жилкости осуществ.тения таких течений, которые в жнлкостн несжимаемой давали бы бесконечные скорости. Вместо источника, пли стока а начале координат, которые получаются в несжимаемой жидкости, мы имеем здесь ядро в виле круга радиуса г = г., внутрь которого течение нельзя продолжить. Вернвмся теперь к общему случаю, когда 6 чья/2 (см. рис.
60). Нетрудно убедиться, что движение, возникающее в сверхзвуковой области сразу за линией перехода, будет принадлежать к типу смешанных течений по Христиановичу. Действительно, найдйм изменение 27 прн перемещении по характеристике. Полная производная по х прн перемещении по характеристике будет — — — ча= дт д:р дт дх дх+ ду = о [соа р + а[ и 'р' 18 ф .~. а)[. Таким образом, дч г ! р ! р (20.8) перехода и = и/2, дх На линии (2(у/2(х), = О. Проднфференцируем (20.8) ещв раз по х и определим эту производную на линии перехода.
Получим: (с~ р1 а„д2 да,р д рХ а„д2 Рис. 60 дх' / 21п 3 дх Знак плюс следует взять при перемещении вдоль характеристик 1-го семейства, знак минус — для 2-го семейства. Таким образом, если по мере перелвиження от какой-либо точки Р переходной линии по характеристике 1-го семейства 2р будет расти, то при перемеще2 ни от Р по характеристике 2-го семейства ~р будет убывать и наобо орот. Ясно, что это может быть лишь в случае смешанного течения (рис.
56 и 57). Итак, за переходной линией действительно может 174 теОРетические ОснОВы ГА3ОВОЙ динАмики |гл. | возчнкнуть предельная линия, в чем мы и имели случай убедиться на конкретных примерах 6 19, ф 21. Построение <безударного» сопла Лаваля. Истечение газа из отверстия, сопровождаемое переходом через скорость звука. В 9 12 мы видели, как можно путем подбора профиля стенок получить равномерную сверхзвуковую скорость в сопле Лаваля, после того как уже получено сверхзвуковое течение в некотором сечении сопла. Подбор стенок производится в сверхзвуковой области. На первый взгляд может показаться, что форма стенок в дозвуковой части сопла — так называемой входной части — может быть произвольна, лишь бы можно было достигнуть перехода через скорость звука.
Однако это не так, Затруднения с отысканием решения, о которых мы говорили в предыдущем параграфе, здесь проявляются особенно отчзтливо. Если профиль входного отверстия будет произвольным, может оказаться, что переход через скорость звука будет сопровождаться появлением бесконечных ускорений. физически это будет означать, что движение перестроится, так что сразу течение будет «испорчено». На рнс. 61, заимствованном из статьи Астрова, Р РР б лг|г л|г,г|дг а|ГЕ ыа ° юп . Рнс.
61. Левина, Павлова и Христиановича'), даны результаты экспериментальных измерений распределения давления р/р» вдоль оси одного сопла Лаваля. Сопла это было рассчитано без учета возможности ') Астров В., Левин Г., Павлов Л» Хрнстнанович С., О расчате сопел Лаваля, ПММ, т. АГИ, 1943. ПОСТРОЕНИЕ «БЕЗУДАРНОГО» СОПЛА ЛАВАЛЯ 175 $ м! О„= — д = 1 + Ах+ Вхг+ Сх'+ Ы (21.1) Уравненггя газовой динамики (см.
(15.!)]: — д»Ф — д»Ф ~(х+ 1)(а~~ — 1)+(х — 1) т»2~ —, -+ 4о„о + — д»Ф + ~(х+ ! ) (оэ — 1) + (х — ! ) О2 ~ д, — — О, (21.2) Где Ф вЂ” безразмерный потенциал скоростей, так что дФ Ю ду дФ О дх ' (21.3) вместе с условиями симметрии и условием (21,1), позволят тогда последовательно определить в точке 0(0, 0) любую производную от Ф по х и у. Так, например, из условия (21.!) имеем для точки 0; дФ/дх= 1, а из условия симметрии; дФ/ду= 0 (о = 0). Затем из того У же у~~паня (21 1) д2Ф/дхэ = А, из условия симметрии дэФ/дх ду =- О, из уравнения (2! .2) получим даФ/ду2 = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
