Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Таким образом и здесь всв сводится к решению (21 32) при условиях (21.33), (21.34) для областей ОАЗВЗС и ОАГВГС . Отметим, что эти последние области будут в точности теми же, что и области в случае, когда р, = рл. Таким образом, течение внутри сосуда полностью определяется решением (21.32) н не зависит от величины давления во внешнем пространстве, если только р, «( рл. Наконен, в том слУчае, когда Ре .Р и, ) Р , мы должны Рассмотреть в плоскости (о„, о ) картину, представленную на рис. 70. Рнс. 70. Здесь мы должны решить уравнение (21.32) для области ОАГРЗЕ~С при краевых условиях = — вдоль ОА1РГЕГ, Г;Г ГУ=О вдоль ОС'.
решить (21.32) для области ОА,РЗЕ,С при краевых условиях ф = — — вдоль РАЗО~Ее, 2 ф=О вдоль ОС'. Коль скоро решения эти получены и мы выходим в сверхзвуковую область, мы можем далее вновь применить методы, изложенные БЭ12. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОИ ДИНАМИКИ 1гп. 1 190 'т'= Гп + 7 и 51п —— сл (ч) 2п8 д .?я сп (о) п=т (21. 35) где („(а) = ал (ч), ап — постоянные коэффициенты, пока неопределенные, но такие, что ряд ~~'„, а„сходится. Краевые условия на прямых ОС' н ОА1 удол=1 влетворятся при этом сами собой.
Сходимость ряда в дозвуковой области э ч (треугольник ОА1С) обеспечивается на основании результатов Чаплыгина. Франкль показывает'), что при непрерывном изменении ланных Коши на переходной линии решение задачи типа нашей, в соответствующем характеристическом треуголышке, меняется непрерывно. Отсюда можно заключить. что (21.35) может представлять решение не только внутри круга и = 1, но и внутри характеристического треугольнина. Неопределенные до этого коэффициенты ап надо найти, удовлетворяя краевому условию на харзктеристике А,В1.
Именно, должно быть (л (и (~З) ) 2пэ (1 + п 51п — ' — = —, еа ~а ° (л(О) п-.! (21. 36) где п(Р) есть результат представления а через ~г1 из уравнения зпициклоиды А1В1. Путем переразложения наших функций от (3 в ряды и сравненйя коэффициентов мы получим теперь бесконечную систему линейных алгебраических уравнений для определения ал. Практически достаточно будет сохранить конечное число членов ряда лля ал, требуя выполнения равенства (21.36) лля конечного числа заранее выбранных значений р. 9 22. Численные методы решения плоских задач газовой динамики. Расчет сверхзвукового обтекания кругового цилиндра.
С появлением электронных быстродействующих вычислительных ~) Франкль Ф И.,!ос. си См также Франкль Ф. И.,О задачах Коши лэш уравнений слэешанного эллнптнко-гиперболического типа с начааьнымн условиямн на переходной пинии. Изв. АН СССР, серия матем., 8, 1944. Нам оставтся тольно сказать, как конкретно ищется решение уравнения (21.32) в смешанных (до- и сверхзвуковых) областях, участвующих в наших залачах. Как мы уже упомянули, Франкль преллагает искать эти решения в зиле рядов типа рядов Чаплыгина. Рассмотрим для конкретности решение (2!.32) для области ОА1В1С (рнс. 6 т и рис. 69).
Будем искать ф в виде 191 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ еп де еэ де езэ 1 др Ю ' дг + г дз г р дг ' де! еэ деэ + е еэ 1 др дг + г дО + г гр дз (ее еч — составляющие скорости по осям г и 8 соответственно). УРавнение неразрывности запишем в виде: дг да (22.3) (22.2) ') доролиицын А. А., Об одном методе численного решения некое"Рых задач аэродинамики, Труды Вй Всесоюзного матем. съезда, Иэл. АН СССР 2 (1956), 3 (1958). 5 ел оце р ко з с к и й О. М., Обтекание произвольного профиля с отои'вашей ударной водной, ПММ, т. ХХ!1, зып. 2, 1958; Расчет обтекания кру"озого цилиндра с отошедшей ударной волной, Вычислит. математика, )чэ 3, 1958 машин ста.чо практически возможным получение, с нужной степенью точности, решения наиболее трудных задач газовой динамики. В качестве примера применения соответствующих численных методов рассмотрим расчет обтекания сверхзвуковым потоком (со скоростью е ) крутово~о цилиндра 5 (рис.
71). От цилиндра отходит ударная волна Х, после прохождения которой поток становится вихревым и смепшнным. Требуется найти форму ударной волны, ей положение и движение между ударной волной и ци:шндром вплоть до не известной л заранее линии перехода через скорость звука и лалее. Изложим здесь -Р схему численного решения этой задачи, разработанную (и примененную к расчетам) О. М.
Белоцерковским г.,р на основании метода А. А. Дородницына '). Этот последний метод сводит задачу интегрирования системы нелинейных дифференциальных урзвнений в частных производ- г ных к решению некоторой аппро- и„ д ксимирующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Прежде чем излагать схему чи- Рис, 7!.
сленного решения, запишем уравнения плоской вихревой стационарной залачи в полярных координатах (г, О); такая система естественна для рассматриваемой задачи обтекания круга. Уравнения движения примут вид 192 теоеетические ОснОВы ГАЗОВОН динАмики ГРЛ. Может быть введена функция тока ф(г, 9) такая, что дф дф ГРО, = — —, ВО = —. дв' ' дг' (22.4) Условие адиабатичности запишется в виде: да еа дз Π— + — — =О, Г дг Г да (22.5) где, как и прежде, 9=рь"р '. Комбинируя (22.4) и (22.5), заключаем, что 9 зависит только от ф: (22.6) Уравнение Бернулли, получающееся путем комбинации (22.1), (22.2) и (22.4), запишется, как в любом плоском случае, в виде: 2 х — 1 2 + —, (22.7) Определяя из уравнения Бернулли (22.7) плотность через О и 9 и вводя ее в уравнение неразрывности (22.3), получим — (Голт)+ дз (ост) = О, д д (22.9) где Наконец, используя (22.4), получим для изменения ф вдоль какой-то линии' г = — лс(9) соотношение — = в(о — — го ).
дф л д)7 дз '1'аз (22.! 0) Неизвестными функциями являются здесь ОГ, Ом ф и Ь. Давление р и плотность р находятся из соотношений (22.6) и (22.7) через о,, он 9. Вводя давление ре и плотность ре адиабатического затормо- где, как и прежде (9 8, стр. 42) ое,„=(х+1)/(л — 1)аз (а„— критическая скорость, не меняющаяся при переходе через поверхность разрыва и потому постоянная как для вихревого, так и для безвихревого движения). Умножая (22.1) на рг и используя уравнение неразрывности (22.3), поличим без труда -д-(ГРО +,Ог)+ дв =О~О+ Р. (22.8) 193 ЧР!СЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ щенного (в невозмущйнной среде) потока и потенциальную температуру 9 до скачка, можем написать 2 а~ 2 О„= о 1+ — — — солт Р, (22.13) +1„г „+1 2 /ат О, = Π— 1и е ~ —, — сов' р к+1 ~, е~ (22.
14) гле а — скорость звука, связанная со скоростью набегающего по тОКа О И МаКСИМаЛЬНОй СКОРОСТЬЮ П,х СООТНОШЕНИЕМ в а 1 — + — патах 2 +к — 1 2 так что о игах Сочетав (22,13), (22.14) с очевидными соотношениями Фг Су 51П 6 Фясовй, Оа= и, ып 6+О„сов 6, (22.15) получим выРажение чеРез гР значений эг и Оз сРазУ же после пеРе- хола через поверхность разрыва. Функция ф не претерпевает скачка после прохождения разрыва.
До прохождения разрыва мы имеем ! дф е г дг Ром з'пб=ро 1 т !гигах / 13 теоретическая гикраиехаиика, ч. П Вапишем теперь краевые условия залачи на поверхности разрыва Е и на обтекаемом цилиндре 5. ВыРазим О,. Оа, (г и 9 сРазУ после пРохождениЯ повеРхности разрыва через угол наклона гР нормали к поверхности разрыва к оси Х. Из уравнений (7.16) и (7.17) имеем для э„ и О (составляющие скорости по оси Х и ей перпендикулярной) 194 твоовтическнв основы глзовоп дннамихи [гл.
! Следовательно. на поверхности рззрыва 1 ф = ро 1 — — о г гйп 0. ~ахах (22.! 6) При этом, если поверхность Е имеет уравнение =г,+е(0), (22.17) где го — радиус обтекаемого цилиндра 5, то г и 0 на поверхности Е будут связаны очевидным геометрическим соотношением не /е — = — (г +е)с(9~ — — о — О). аГО (22.18) Наконец, для определения значений 9 после прохождения разрыва получим, воспользовавшись формулой (7.10): Р . З Р Ро Р 0а — — созте — — ! +2 (22.19) Остается записать краевые условия на обтекаемом цилиндре.
Здесь имеем, очевидно, при г=го о,=О ф=О, (22.20) При этом, так как о' является линией тока, то вдоль г= го величина 9 должна сохранять постоянное значение, которое можно получить из (22.19), полагая там 9=0. Таким образом, при г=го. — т 1 + а (22. 21) Теперь, когда записаны дифференциальные уравнения и краевые условия задачи, перейдем к описанию аппроксимирующей системы, разработанной и примененной к расчЕтам О. М. Белоцерковским на основе метода интегральных соотношений, развитого А.
А. Дородницыным. Разобьем всю область между цилиндром Я и поверхностью разрыва Е на Ах полосок, проводя И вЂ” 1 кривую с уравнениями: Г=г~(0)=го+ —,е(0), 1=1, 2...,, М вЂ” 1. (22.22) ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ 195 В 2Й (В) «. (В) (грю',+рг); — (гро«+рг)л+ / Р '"' йг= ~ (т)ВВР+р)((г; далее, вынося дифференцирование по 0 за знак интеграла (слева) и принимая во внимание определение (22.22) функции г,(0), запишем: «( (В) ( «(е 2 —,З /' Ьо(о«) ~г — М(рпао«)( — „, +(грп«+Рг'; — (Рг)л —— «(В) = / (пар+ р)с(г, 1=1, 2, ..., М. (22.23) «« ((о„)з = О). Аналогичным образом получим из уравнения (22.9): «((В) и ((е — В у о)тл«г — — (т)ВТ)( лаз+(го,т),.=0, (=1, 2,, М (2224) «', УРавнениЯ (22,23), (22.24) содержат интегралы вида «; (В) у (г, 0)(( .
«« Аппроксимируем теперь любую подынтегральную функцию интерполяционным полиномом по г степени М, принимая за узлы интерполяций границы полос: 0) = '~',, (,) ~. — «,1 е (0) (22.25) 13* Линии эти отстоят друг от друга на равные расстояния е (0)/М (имеется в виду расстояние по г при закрепленном 0). Индекс (=М отвечает линии разрыва )'; индекс 1= 1 отвечает первой, наиболее близкой к цилиндру 8, линии и т. д. 8 дальнейшем будем обозначать все величины на (чй промежуточной линии индексом й на уларной волне — индексом Х (или М), на поверхности цилиндра — индексом о, Обратимся теперь к уравнению (22.8) н проинтегрируем обе его части по г вдоль произвольного луча 0 = сопз1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
