Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 33
Текст из файла (страница 33)
$24. Случай реального газа, «Идеально-диссоциирующнйся» газ. При прохожленин поверхности сильного разрыва, если сверхзвуковые скорости движения очень велики, температура может увеличиваться до весьма больших значений. В самом деле, комбинируя формулы (7.10) и (7.15), мы получим лля отношения температур Т(Т! на скачке формулу: т ~ 2в в в .+1~7 1 2 1+!8т т, 1„+1 — = ( — М! соз р — — 1 1 — + — ), (24.!) —,—,) ( Если !в = 0 (прямой скачок), то при М, = 5 будем иметь для х = 1,4 Т!Т! — 5,8, а при М, = 1О Т(Т! 20,8; это значит, что если 7!=280"'К, мы получим увеличение температуры в первом случае примерно ло 1642'К, а во втором — примерно до 5712'К.
При таких высоких температурах отдельные молекулы кислорода, входящего в состав воздуха, начнут лиссоцнироваться. Соответствующий пересчет, основанный на рассмотрении статистической физики процесса, был проведен, применительно к газовой динамике, рядом авторов. Остановимся более полробно на теории Лайтхилла ') «идеально-диссоциирующегося» газа. Рассмотрим газ, состоящий из двухатомных моленул, Пусть в нем начинается диссоциация: часть молекул начинает делиться на свободные атомы.
Обо-р- ° „,„,...,, „...... <„,...ч „... ° в ') 1. ! 2 н ! ь ! ! ! )и. д., Оупат!св о1 д!ввос!а!!пд пав,! Зон!па! о1 йн!д шеснаи!св 2 (1957) тебеетические ОснОВы ГАВОВОН дРРнлмики !Гл. 1 214 (возникших за счет диссоциации) атомов л а= л лл+ 2лзл «е — = — не л/, 1 — и р (24.2) где Тл и р„— некоторые параметры. Именно, величина Тл — О//г, где с) — энергия диссоциацнн, ?г — постоянная Больцмана (л =- 1,38)< Х!0 'з лрг/град); величина же рл представляется более сложно: она выражается через температуру и некоторые функции распределения; приближенно рл может считаться постоянным.
В этом смысле Лайт- хилл говорит об «идеально-днссоциирующемся» газе. Для кислорода Та=59000'К, р„=!50 з/слгз; для азота Т„= 113 ООО' К, р„= 130 г/смз. На рнс. 76 (заимствованном иэ статьи Лайтхилла), где по оси ординат отложено а, а по оси абсцисс — Т/Тл, даны три кривые— зависимости «от Т/Т, отвечающие 1дрл/р=?, 6 и 5 соответственно. аз ?,3Р 0035603И//О~ ЮР?4Х РР5 ф7Ю 4074Ж4Я Р?етУ?4 4ЛУ Рис.
?6. Из рисунка видно, что если при Т 1600'К (случай ?ИР= 5, см. выше), когда Т/)Тл 0,027, практически еще нет диссоциации, то при Т=5700'К (случай с МР=!0), когда Т/Т 0,097, мы имеем при 1ер/рл=5 почти полную диссоцнацпю (для нижних слоев атмосферы р 10 г/сжз, поэтому ра/р — 1,3 ° 10з и !ярд/рж5), где лл — число днссоциированных атомов (в единице массы газа), а, — число недиссоциированньРх молекул (в единице массы газа), по Лайтхнллу имеем соотношение слгчли нвлльного глзл.
идвлльно-диссоциипгющиися» глз 215 для частично диссоцинрованного газа уравнения движения и уравнения неразрывности остаются прежними, Изменяется прежде всего уравнение состояния, которое может быть записано теперь в виде р = 77р Т (1 + а), (24.3) где 77, как и пРежде,— газоваЯ постоЯннаЯ. Дла воздУха 77= 2,87Х ~10а смг(сеиг град; для кислорода 77=2,59 ° 10в смг!сеиг.
град, для азота 77 = 2,97 10 смг)сеиг град. Изменится и уравнение энергии; при выводе последнего уравнения (7 для внутренней энергии и (и = —, см. стр. 17) теперь придется написзтги — =- — +а, и ЗТ (24.4) ид Тд где ид — — 77Т (в механических единицах). Для кислорода ид = 1,53)г', )г10и смг!сеиг. дла азога ид — — 3,35 . 10н смт!)сеиг, ПРи а=О мы полУ- чям при этом (7=3КТ. Для идеального газа мы имели (стр, 17) и = — — '-=-, —, так что если к=1,4, то и=2,5ггТ. Формула (24.4) сТ 77Т 4 отвечает случаю, когла к= —.
Уравнение энергии (аналог уравнения (3.4)) будет теперь иметь вид Р— „, 2 +Р— дг+д! (РИ)=О дРР Ди (24.5) илн же (см. стр. 20): р — -+ р д)т !Г = О, (24 5') при этом и выражается через (24.4). Теперь, кроме функций 17, р, р, Т, в качестве искомых величин входит еще а, которая связана с р и Т конечным соотношением (24.2). 1(ак и прежде, уравнение (24.5) описывает факт сохранения энтропии Я частицы, ибо по определению энтропии: 1 да+ рд— по= (24. 6) так что, в силу уравнения неразрывности и, по (24.5) имеем дя — = О.
дг Используя (24.3) и (24.4), мы получим для д5 из (24.6) выражение Зад дТ ид,, 1 аЮ = —.+ — да+ р(! -~-а) сг —. Тд Т Т 216 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Но по (24.2) имеем —" = я — л = — )с (1п + 1и Р 1; т= 7 = 1 1 . ру' запишем ешв Р(1+а) с( — = — )7(! +а) Ф!и — = — ЯН ~(1+я) ! )+ Я !п Р с(а, 1 Р Рл Рл Рл далее получим и — =~Х [31п — =(1+а)1п Р— (1 — а) !п(1 — е)+а(2 — 2 !Йа)). Я ! 7 )Р= ! Для сравнения напомним, что в случае идеального газа мы имели (см.
(6.8), стр. ЗЗ): с! — = а!п 8'= с(!п(7'р' *) = с(( !п Т вЂ” !пР), 3 1, 1 ! 1 Введя вновь теплосодержание (стр. 34) 1, мы получим ~ ~'~+(~=о, (24.7) ') Мы можем получить взамен (2.16), повторяя рассуждения, приведенные на стр. 29, также и аналог формулы (5.9). Это будет 'е ' Р- Ц+ А (и)=О, что согласуется (для к =4/з) с формулой (24.7).
если в ней положить а = О. Посмотрим теперь, как изменятся, в случае диссоциируюшегося газа, условия на поверхности сильного разрыва. Условия (2.12), (2.13) останутся без изменения. Условие (2.17) мы должны записать, вводя вместо (7/А его выражение по (24.4)'). Ограничимся только рассмотрением стационарного случая, когда 0 = — 1г„и [р)г„) = О.
Записывая (р!г„) = ~ — р(г„~ = р(г„Я, мы можем представить (2.17) в виде гы1 слгчан РелЛьиогО гЛзЛ. «иделльис-диССОЦИиРУЮщИПСя» гдз 217 +~~а+ = ЙТ(4+ а)+ и Р Обратимся к плоскому случаю и будем обозначать значение наших элементов до прохождения разрыва аначком «1», после прохождения — значком «2». Умножая (2.12) скалярно на п и замечая, что 6= — $~п, получим Р, + РР'„, = Рг+ Ргп'„.
(24. 9) Умножая обе части (2.12) скалярно на единичный вектор т, касательный к поверхности разрыва, получим, как и раньше, ! ч (24. 10) где о,— составляющая скорости, касательная к поверхности разрыва. Условие (2.13) перепишем в виде Рг и =Раааа (24.11) а условие (24.7) даат нам, в соответствии с (24.10): г г оп~ пп, 2 +1 = 2'+гг. (24. 12) Аналогично тому, что было в случае идеального газа, соотношения (24.9) — (24.12) связывают пять величин рг, рг, и „ож, Тг четырьмя уравнениями. К ним надо прибавить (24.2), записанное для рг и Т;, в качестве шестой величины будет фигурировать аг. Анализ формул (24.9) — (24.12) несколько облегчается тем обстоятельством, что в интересующих нас сейчас случаях †случа возникновения диссоциация — величины 1, и р, всегда могут считаться пренебрежимо малыми по сравнению с пг !2 и Р ог соответственное).
пя г и, для того чтобы это показать, обратимся вновь к рис. 76. Л,аже для ничтожно малой диссоциации, когда а = 0,05, мы должны считать ТгГТа> 00475. Но тогда по (24.8) Тг(ц,=Т(Та(4+а)+а= = 0,05+ 0,0475(4+ 0,05) 0,25. Таким образом, по (24.12) мы ') Аналогом формулы (5.14) будет теперь более громоздкое соотношение, Если а =О, а =а, то мы получим 7— Р Р, Р+ 2ТЙ а при а =О получим вновь (5.14) с Л =«lг ') Упрощвнные условия на скачках, получающиеся путем отбрасыва. ння р, н г„называются «прнближениями для очень сильных разрывов».
причйм теперь, в отличие от того, что отвечает совершенному газу, мы имеем 2!В твогетическиг основы глзовой динлмики !гл. ! 1 ! должны иметь — +, я 0,25. С другой стороны, при обычидг, —, идо а л, ных температурах Т, порядка ЗОО'К, при отсутствии диссоциацин мы имеем 7/Тд ( 0,005 и, следовательно, 1/и Г, = 4Т/Тд < 0,02 Таким образом, даже при ничтожных а величина '/яо'„доля<на значительно превышать ги Еще в большей степени это относится к р1о~ и рг р!так, приближенно имеем т — ! 2 Исключаем о„, с помощью равенства (24.1!): Р~ од, — од,.
Ри Второе равенство из (24.!3) дает нам ря — р1о~ 1 (24. 14) ,2 Р2 г д, — — — ' /, или, Рг 2 /' по (24.14) Отсюда выразим рт/р, через Т, и а: Ря ЗТ2+аТд ю 1 — Тя (1 + а) 2 (24.17) или если использовать еще (24 2): — =7+ (1п( — д —., ) — З~. (24.18) Может быть построено одно трансцендентное уравнение для определения Т,/Тд (или а) через од, и р,/рд.
Уравнение это громоздко З я = рр~ (1 — -Р— ) (24.15) Наконец, третье из (24.13) даат нам ! = — о' ~1 — — "' у, т. е, и, !л о2 д/' (,= ! и' (1 — (Р') ~. (24.!5) Используя (24.8), можем, по (24.16) и (24.15), написать /тТя(4+а)+аид — — 2 о„,(1 — — ')(1+ — ') =- 2' (1 + — '). Или, исключая ря с помощью (24.3): !Р,Т (4+а)+ад, = '( ) ~ря ! 1) (Р~ ОЛУЧАН РЕАЛЬНОГО ГАЗА. «ИДЕАЛЬНО.ДИССОЦИИРУЮЩИНСЯ» ГАЗ 2!9 и трудно обозримо' ), Лайтхилл предлагает анализировать поведение функпий после скачка последовательными приближениями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
