Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Чтобы решить задачу в случаях влияния концевого эффекта и вихревой системы, поставим краевые условия. Но прежде чем это делать, обратимся к описанию формы поверхности крыла. До сих пор мы не определяли вид поверхности крыла. Предположим, что поверхность верхней (г ) 0) части крыла представлена уравнением г=с,(х, у), а поверхность нижней части крыла имеет вид: г=с,(х, у). (30.7) Рассмотрим два типовых случая: а) случай крыла, симметричного по отношению к плоскости г = 0; здесь ч, (х, у) = — Г,„(х, у) и б) случай крыла нулевой толщины; здесь (в(х, у)=(н(х, у).
Легко видеть, что общий случай может быть сведен к рассмотрению этих типовых случаев. Действительно, пусть крыло задано уравнением (30.6) и (30.7), Составим комбинации ((х, У)= [(в(х У) (н(х У)[ 2 1 'В = [(в(х У)+ "н(х у)1 — (30.8) и решим задачу обтекания, симметричного по отношению к плоскости г = 0 крыла с уравнением поверхности г, = ((х, у), гн = — с (х, у), (30. 9) а также задачу обтекания крыла нулевой толщины с уравнениями поверхности г,= л(х, у), г„=т)(х, у).
(30.10) ТаК КаК 1+~7=~в, А1 — (=Г.„И таК КаК НаШа ЗадаЧа ЛИНЕйиа, тО, складывая решения, отвечающие крыльям (30.9) и (30.10), мы получим решение, отвечающее задаче обтекания произвольного профиля (30.6), (30.7). Перейдем теперь к формулировке краевых условий задачи, В случае крыла, симметричного относительно плоскости г = О, естественно считать, что скорости вдоль оси г антисимметричны по отношению к плоскости г = О. Тогда для всех точек плоскости г = 0 вне поверхности крыла мы должны будем считать дФ' (30.! 1) 273 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОП ДИНАМИКИ 1гл. ! Таким образом, в формуле (30.1) надо просто положить с = 0 во всех точках вне крыла и определить с по формуле (30.3) в точках, отсекаемых на крыле гиперболами типа !!! или !т/.
Гораздо сложнее обстоит дело в случае профиля нулевой толщины. Здесь дФ'/дг будет симметрично относительно плоскости з = О. Поверхности Л, !З, Т являются поверхностями разрыва функции Ф', на этих поверхностях должны выполняться условия непрерывности нормальной составляющей скорости и давления. Это означает, что вне крыла, при переходе через плоскость г=О, производные дФ'/дг и дФ'/дх по (28.12) будут непрерывны. Но так как теперь дФ'/дз гг симметрично относитель! но плоскости з = О, то дФ'/дх должно быть анти- симметрично, или, так С кан дФ'/дх непрерывно прн переходе через плоскость г= О, то мы должны потребовать, чтобы было дФ' — =0 при а=О дх (30.12) на вихревой пелене Т, а также в областях /с Рнс.
103. н 1;. Заметим еще, что на линии АА' (СС') (рис. 103) должно быть Ф'=О, и тогда, по (30.!2), во всей области Я (О) будет Ф'=О. Таким образом, в случае крыла нулевой толщины мы должны решить следующую краевую задачу. Определить Ф' так, чтобы было при Е=О дФ' д! — = и — в области Е, дх 'дх Ф'=0 в области Я(Я), дФ' — =0 в области Т. дх Покажем, как можно решить эту задачу. Начнем со случая влияния одного концевого эффекта. Итак, пусть положение гиперболы, отделяющей область интеграции в выражении (30.1), отвечает на рнс. 102 кривой 1!!.
В области /2 функция с(х, у) неизвестна. Построим интегральное уравнение для ее определения. Для этого обратимся к той части области /с, которая расположена между характеристикой АА' (рис. 103) и характеристикой ВВ" (точка А — по-прежнему точка, в которой характеристика 280 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. ! в тех же пределах, а переменная у,' меняется в пределах (!(Х[) (У', ((!1(Х[), где у,=(!(х1) — уравнение передней кромки крыла — дуги С,4, Рис. 104. Таким образом, наше интегральное уравнение (30.19) будет иметь вид х, у, Ф / ~ '") ду', х',= о ф,[ д У (л[ "1)(У1 У1) х, ф,[х ! ду', Ь,', 0 ф [х ! У(Х! Х1) (У! У1) (30.20) где о! дб а= — —— я дх (30.21) х У! ф, [ха (30.
22) Это — уравнение Абеля с переменным пределом и с правой частью, тождественно равной нулю. Следовательно, квадратная скобка (известная величина). Решение уравнения (30.20) равносильно решению лвух уравнений Абеля. Собирая оба интеграла из (30.20), получим СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО КРЫЛА $301 в (30.22) должна быть нулем при х',= х и, таким образом, Уу Ф, (х,) ф, (х,) Ф (ха У) — У) (30. 23) Это вновь уравнение Абеля, но с правой частью.
Чтобы решить его, умножим сперва обе его части на 1/)УС вЂ” у, и проинтегрируем по у, от у,=ф,(х,) до у,=г. Получим (30.24) Или, меняя порядок интегрирования справа н слева: с(хн у',) Фу (ха Фу (х,) à — / а (хи у,') ~ / У' с(у). (30.25) ф (ха фу Гхв ( У1) (У) У1) Но у,=а у у ~ ( УГУ у . ( У,— У)') агс з(п 1 — 2 )~(г — у )(у — «') и мы прядем к формуле: ( и / с(хи у,') Иу, '= ф, (х,) Фу (ху) (' (а 1 ф(х) — у ( — — — а[! — 2, ) ( и, у,')уу' ф (х,) 1 2 (30.26) Дифференцируя обе части этого равенства по С и заменяя затем С на ун получим окончательно: Ф, (ха 1 1 )', 1)(хф) (х) ) — у' с(хп у,)= — †., ) а(хн у,'),,(уу я )'у, — ф,(х,), У) У) 282 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАЯЙКИ !гл.
! Заметим, что по (30.26) скорости возмущенного потока о,' обращаются в бесконечность при приближении к дуге АВ (к линии у,= =ф,(х,)) извне как 1Я, где»с — расстояние от точки Ж(х!, у,, О) до дуги. Значение функции с в области Я найдется аналогичным образом заменой функций ф и ф! На соответствующие функции, представляю- щие форму кромки «левой сто- У» роны». Зная с в области 77, мы можем найти теперь потенциал Ф' в любой ь' А точке М, для которой область интегрирования в (30.1) распроз» "» »Г странена на поверхность крыла г и область »с (случай Ш, рис.
102); » пусть эта область интегрирова- Ю »', ния отсекается гиперболой А (рис. 105). Лля нахождения потенциала перейдам к координатам хи уи г,: хо и (у уо) у, = х — ха+ /г (у — уа), 7 з! = 7ге, Рис. 105. где хе, уе†координаты точки О, пересечения касательных, ироходящих через А и С (рис. 105). В новых координатах (30.1) запишется в виде: "(а+~ 'а (х! — х!)(у! — у;) — д! Р )» (х! — х!) (у! — у!) — а! Область интегрирования разбита в этой формуле на три части За+3»+За (рис. 105). Здесь Зя — часть области интегрирования, расположенная в 77; Яа — часть крыла, расположенная между гиперболой А и прямой, параллельной оси )»! и нроходящей через точку Е пересечения гиперболы 1' с контуром крыла; Я! — остальная часть крыла.
Пользуясь формулой (30.26), вычислим интеграч по площадке Зз в формуле (30.27). В пределах площадки 5 переменная х', меняется от 0 до хе, где хе — абсцисса упомянутой точки Е: 0(х',(хе СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО КРЫЛА 283 Ф ае! 2 1 У~ хв «1 — х) у )' с(х,,у!)((х)еу, )) (х) — ~!)(У вЂ” У)) — 4 о Ф'( ) Ф, (хд х ( '.
«')Уь( ~) — у) ~»' (УУ,'(Ух)' У' У, — ф (Х,) (У) — У,) )1 (Х) — Х',) (У) — У)) — «1 или, меняя интегрирование по у" ,и у,': Е Ф,(хд '(*'»)У)()) — »' „ У1-— х)-х) й'У! Ф(У1 1ТХГ УУ' — ф) )'х') (У!' — У") Ф~ Рп) Внутренняя квадратура выполняется и дабт 1) 4 хх У! — У, —, У ф) ~х~) — У, х,— х, !) Интеграл Ф Р с помощью замены )) (у' — а) ()) — у') = . )У(У! —.ИР— У')(У) — У") =(у!' — «)! приводится к виду 2/ Р -' "" — "(1+") ф'( — ")(Р— ") так как уравнение ветви А.
будет (х) — х,')(у) — у,') — «2=0, или «1 у,'=у,—,, то у,' на площадке О лежит в пределах х,— х, «2! ф, (х !) ( У', ~( У) — — ! х,— х, Таким обрааом, мы можем написать по (30.2б): ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЯ ДИНАМИКИ 1гл. ! и таким образом мы получаем е~ гхэ У(х, — х',)(у, — у") — х1 Обращая внимание на пределы интегрирования в (30.28), заметим. что последнее распространяется на площадку ОР По (30.27) можем теперь написать: Ф (х у» )= /' /' а(х1, у,)ех1 чу~ 1 ~" /' а(хп у,)лх1 пу1 2л .г,l (х, — х,') (у, — у1) — х1я 2 ' У(х — х') (у — у') — хз Но тогда интегралы по площадке 8, сокращаются так, что Ф' принимает знд: тг' (х — х1) (у, — у') — х1 Мы получили, таким образом, интересный результат: для вычисления Ф' приходится интегрировать по поверхности крыла, причем только по той его части, которая находится между гиперболой Р О и прямой, параллельной ! характеристике и выходящей из точки Е пересечения гиперболы Р с контуром крыла (заштрихована на рис.
105). В рассматривавшемся нами случае, отвечающем рнс. 105, приходилось учитывать концевой эффект только одного края крыла (АЕ). На рис. 108 представлен такой случай пересечения гиперболы Р с плоскостью крыла, при котором приходится учитывать конРвс. 106. невой эффект обоих краев. Повторяя рассуждения, приведенные выше, убедимся, что достаточно будет распространить интегРиРование на площадь Ое1+Яш (заштРихована), пРичем интегРал, распространенный на область Лез, надо взять с обратным знаком. Простота этого случая заключается в том, что части Я(ь7), которые здесь приходится рассматривать (области Ою Оз), находятся СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО КРЫЛА 285 ! Рнс. !07 Ф,(х ) г(уг+ / у, с(уг+ р а~ха» у ) ф,(х ) ум уз Ух с« (хл„ у,) Ф,(х,) г у,т Уг "а(ун) '+~, / — „' ' ' с(у,'=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
