Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 80
Текст из файла (страница 80)
д» 2 дх 21 ду' да 1дА 1 дА д» 2дх 21 ду 33 Тччгчгч1ччкчч гклрчмч»чакка, ч. 11 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОИ ЖИДКОСТИ 514 !Гл, 1г Поэтому уравнение (24.5) может быть переписано в виде (е» (еу) р'(з)= 4р дл дл после чего оно очень легко интегрируется д (е» вЂ” !еу) р (з) + Хг (а) = 4!ь (24.6) дз где Х,(з) есть, очевидно, однозначная аналитическая функция от я.
Интеграл от этой функции ~ ул(г)а'г, может быть, не будет уже однозначной аналитической функцией, но получающуюся многозначность очень легко выделить. В самом деле, мы имеем дело с двухсвязной областью, лежащей вне контура С. Пусть контур С, охватывает контур С один раз в отрицательном направлении, и обозначим через К значение интеграла / Х(з)г(з.
с, Ясно, что функция К!пз при обходе контура С, в отрицательном направлении увеличивается на 2ефК. Поэтому функция Х(д) = ~ Ул(з) гЫ вЂ” К!Вг будет уже однозначной аналитической функцией от з вне контура С. Теперь мы можем проинтегрировать уравнение (24.6) последний раз: 4р(п„— (о ) =яр(з)+Х(г)+К1па+Лг(з).
Если мы представим аналитическую функцию )ч(з) в виде суммы Л, (з) = К !п и + Л(з), то получим окончательное равенство 4р(О,— (п )=гт(г)!-Х(г)+Л(г)+К1п(яя). (24.7) В этом последнем равенстве все члены, кроме Л(я), по доказанному, являются однозначными функциями от х и у, следовательно, и Л(г) будет однозначной функцией от д. Используем теперь заданное нам условие, что при г -ьоо функция ту„ — (О стремится к предельному значению У. Если бы о» вЂ” (пу было бы аналитической функцией от х + (у, то, как показывается ПАРАДОКС СТОКСА в теории аналитических функций, из только что указанного условия сразу вытекало бы разложение 'и„— (о„= СГ+ ут — ".
В рассматриваемом нами случае имеет место аналогичный же результат. А именно. напишем разложения в ряды Лорана однозначных аналитических функций р(2), у(2), А(2): ~г (2) — ~~ А,ч К (2) = ~Л~~~ = й (2) = »~а д 1 пусть, далее, С, есть окружность большого радиуса г с центром в начале координат. В точках этой окружности 2=ГЕ", 2=ГЕ и, следовательно, на С„мы имеем следующее равенство: 4р(о — го,)= » —,„", е-Ы""И'+,» — „" е'"'+» фе-'"'.+2К1пг.
Умножим обе части этого равенства на е'"з и проинтегрируем по б в пределах от О до 2к. Замечая, что е"'М=О при г ныл, о легко придйм к следующим соотношениям: 4р, ~ (о„— 1о ) е'А'г(0 =2к1 А ', +р Аг" ++1 (й= +1, +2, ...), 2ж 4р. ~ (о„— (о ) Н= 2к(а ггз+ре+ уе+2К!пг). о По предположению, о„— го„равномерно стремится к (г при г -ь со, следовательно, в первом равенстве левая часть стремится к нулю, а во втором к Зт:р(у. Это возможно только в том случае, если ко+(3 = О, аг — О, 1 А = О (й)~ 2), аа = О (1е-~~ — 2), т,=о (й < — 1), а,=о, р„+),=4ри, К=О.
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 1гл. и 516 Но тогда формула (24.7) показывает, что иметь следующий вид: 4!» (о„— го ) .= г У ф + 41»(l + функция о» вЂ” гт» должна чу»ч 6»,' ~~ т» и =и л=1 л=! Дифференцируя зто равенство по г и принимая во внимание равенство (24,6), найдем, что 9(з) =,~,—.~ =р+1, Агу !Нп У=О.
Я,'-Э»» Но так как подынтегральная функция в двойном интеграле У неотрицательна, то непременно должно быть во всякой точке де . де„ деу деу дл ду дх ду т. е. о„=- сопз!., о = сопз!., У и вследствие первых двух граничных условий (24,2): О,=-О, о =О, что противоречит условиям иа бесконечности (24.2). Парадокс Стокса показывает нам, что мы не можем получить приближенного решения плоской задачи даже для малых чисел Рей- нольдса путем полного отбрасывания инерционных членов.
ф 25. Уточнбиное решение задачи о движении сферы. Осеан (Озееп) показал в 19!О г. на примере движения сферы в вязкой жидкости'), что мы получим гораздо лучшие результаты, если в уравнениях движения оставим только важнейшее нз инерционных членов, отбросив остальные инерционные члены. А именно, будем рассматривать задачу об обтекании сферы потоком, имеющим на бесконечности скорость, параллельную осн Ох и рав- ') О аееп С. %'., (!еЬег 6!е 51океззсве го»же! нпд ВЬег е!пе»егя аейге Ае1яаЬе!и бег Нуйгодупаш!К, АТК!у !йг Ма!., Аыг.
осв буань 6(1910), № 29; 7 (191Ц, № 1. Но теперь ясно, что при возрастании г давление о убывает как 11гз, так же убывают производные до,/дг и до !дг (мы могли бы к р, а следовательно, и к е(а) прибавить еще произвольную постоянную р, но мы можем, не нарушая общности, считать последнюю равной нулю). Но тогда подынтегральная функция в выражении (24.4) будет порядка 1фг, а сам интеграл ! будет порядка 1!)с. Мы доказали, таким образом, что аул1 уточнвннов ввшвниг.
злдлчи о движкнии саввы 517 ную У, Как было отмечено выше, неудовлетворительность решения Стокса проявляется на далаких от сферы расстоянивх, Но в далеких от сферы точках о.=и+о,, н =о', у у' л ч' (25.1) где ту, о', о,' суть малые величины, Рассматривая теперь инерционные члены, стоящие в левых частях первых трех из уравнений (5.1), мы увидим, что они отличаются от до„доу до У вЂ”, У вЂ” ", У дх ' дх ' дх (25,2) 1 др = — — — + у до, ° дл х' 1 др = — — — — +у до, р ду 1 др —.— — — — + уело, з да доу до» + „+ — д---=б, дну у (25,3) дох которые имеют очень простой вид, если их записать в векторной форме: (7 — = — — ~тай р+- у До; б(у и =- ().
дв 1 дх (25.4) Нужно отметить, что для области жидкости, непосредственно примыкающей к сфере, замена инерционных членов величинами (25.2) ничуть не лучше замены этих членов нулями, так как в этой области о„, о,„ о, малы (на самой поверхности сферы о„ о, о, обращаются в нуль), и мы не можем использовать факта малости о,' по сравнению с У. Однако, поскольку мы рассматриваем движения с малыми числами Рейнольдса, то как полные инерционные члены, так и заменяющие их в наших уравнениях выражения (25.2) будут малы по сравнению с членами, происходящими от сил вязкости. Следовательно, в области, примыкающей к сфере, уравнения (25,3) и уравнения Стокса являются в одинаковой мере хорошими приближениями к полной системе дифференциальных уравнений (5.1). малыми членами второго порядка, если считать о„', о', о,' и инерционные члены за малые члены первого порядка.
Поэтому мы получим гораздо лучшее приближение в далаких от сферы областях, если заменим уравнения (5.1) следующими обобв(емными уравнениями Сл1оясви движении вязком жидкости !гл. и 518 Граничные условия, которым должно удовлетворять решение системы (25.3), остаются прежними: о„=о =о,=О при г=а, о,— »У, о -»О, о,-»0» г-»со. ) (25.5) Ар=О, и — =.
да, Ю дл (25.6) (25.7) где Я=го!сь Используем теперь симметрию движения относительно оси Ох. Ясно, что вихревые линии должны быть окружиостями с центрамн на оси Ох, так что во всяком случае Я =О. (25.8) Но тогда условие дп„ дп„ дЯ, приводит к равенству дп„ до. -~ — + — =О, у дз откуда следует, что х дх У дз' дх (25.9) Итак, мы имеем формулы: до до до, до ду дог до . дх — — — ~=0, ду дз ' дз дх д» ' дх ду ду ' Сразу видно. что частным решением этой системы является о„= — у, о =О, о,=О, обшим же решением будет да -=-Х+-д.— — о, = — ° (25.10) да дз ~) !.ааЬ Н., Оп !пе Ун!!огш Мо!!оп о! а урвете !йгои88 а Ч!ясона г!и!д, РЬ!!.
Мал,, 21 (19Н), стр. 120. Для решения поставленной задачи мы применим метод Ламба'). Образуем расхождение и вихрь от обеих частей первого из уравнений (25.4); принимая еще во внимание второе из этих уравнений, придем к формулам: Уточненное Решение зАдАчи о дВижении сФеРы 319 Подстановка значений (25.9) в уравнение (25.7) приводит к равенствам, которые будут удовлетворены, если и — =чдх, дХ дх С другой стороны, подставляя значения (25.10) в уравнение неразрывности, находим: дт и, на основании предыдущего равенства, дй = — 'ду, откуда видно, что следует принять ч Х+т" и где у удовлетворяет уравнению Лапласа 5~=0.
(25. 1! ) Введем для краткости обозначение и 2~ — =!е; (25. ! 2) дт 1 дХ т дт ~ 1 дй дх 2д дх '"' г ду + 2Л ду ' дт 1 ду о = — + — —, де 2Л дх ' (25. ! 3) причем !~ удовлетворяет уравнению Лапласа (25.11), а нпю ДХ вЂ” И вЂ” '- =0. дт дх Х вЂ” уравие- (25.14) Подставляя значения (25.13) в уравнения (25.3), можем решить зги последние уравнения относительно р, в результате чего получим: р= р,— ри —, дт дх ' (25. 15) Уравнению Лапласа (25.11) удовлетворяет функция 1 ! ув(х.
у е)= — = 1 г у хе .!. тя -1- ха тогда выражения для составляющих скорости примут следующий окончательный вид: 520 1гл. и движения вязком жидкости очевидно далее, что функции дфо!дх, д'-фо/дх' и т. д, тоже являются решенпямп уравнения Лапласа (25.11). Мы положим поэтому 'т = — '+ А! — ( — ) + Аэ д л ( ) + Лл д 1 д' 1 (25.16) где постоянные коэффициенты А,, А,, Аз должны быть определены из граничных условий. Перейдем теперь к решению уравнения (25.14). Сделаем подстановку, положив )( = ел"'л; тогда, после простых вычислений, найдем для определения функции ф уравнение ьф — тяф=О, (25. 17) которое в сферических координатах г, О, ), имеет вид: д'ф 2 дф 1 д'ф с!из дф 1 д'ф дг' + г дг + гл дол + гл дз +г'мп'О длл Отыщем те решения этого уравнения, которые зависят только от г; в этом случае мы можем переписать уравнение следующим образоли — — )гзгф = О, Лл (гц Игл откуда следует, что гф = В,ел' + Взе-а'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
