Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Так как нас интересуют решения, обращающиеся на бесконечности в нуль, то мы примем за основное решение уравнения (25.17; следующее: е -лг фо(» у л) = !)сно, что дфо)дх, дзфо)дхз и т, д. тоже являются решениями уравнения (25.17), а ел"фо, е"' дфо/дх и т. д. — решениями уравнения(25.14). Кроме того, последнему уравнению удовлетворяет также )(=сопя!. Мы примем поэтому У.= — и+а~" (Со ' +Сг д ( — 'г )+С дх. ~ — 'г )+.. ~! (25.18) тогда граничные условия на бесконечности будут удовлетворены; остается определить постоянные Ао, Аи ...
Со, Сг, ... так, чтобы удовлетворялись граничные условия на поверхности сферы. Для этого улобно будет перейти к сферическим координатам г, О,). Этот переход очень легко совершить на основании формул (25.13), если вы! яточненнов яешвние злдлчи о движгнии сфегы 521 вспомнить, что проекции вектора ассад а на оси сферических координат равняются соответственно ду/дг, !(где(д0 и !(гз!и 9 де/д), Поэтому вследствие формул (25.!3), (25.!6) и (25.18) для составляющих вектора скорости в сферических координатах получаем следующие выражения: дв ! дт о = — + — — — усоз9, дг 2Л дг ! дт 1 дх тч = г — + — г — + У згп 9, г да 2аг да (25,19) Мы не будем строго решать поставленную нами задачу, а ограничимся приближенным ее решением.
Именно, мы возьмем в разложениях (25.16) (25.18) только несколько первых членов и определим их коэффициенты так, чтобы значения на поверхности сферы отношений о,(У н о,(У были малыми величинами второго порядка относительно считаемого малым числа Рейнольдса К = 2гга. Чтобы решить вопрос о том, сколько членов взять в разложениях (25.16) и (25.!8), обратимся к решению Стокса. Сравнивая выражение (25.15) для р с выражением (23.13), мы видим, что в решении Стокса дт 3 чах д (3 ча! дх 2 г' дх (2 г!' т. е. 3 ча 1 если мы выразим ч через а по формуле (25.12) для того, чтобы р было пропорционально У, то найдем: 3 Уа 4 Лг 3 Уа 3 Уа' А = — — — = — — —. е 4 Д 2 К Мы видим, таким образом, что Аа содержит множителем К можно поэтому сделать предположение, что в разложении (25.16) Ае будет порядка 1/К, А, — порядка 1, Аа — порядка К и т.
д. Обращая, далее, внимание на формулы (25.19), мы видим, что в )( главный член должен быть порядка 1, так как тогда выражения 1/2Ф д)(/дг и 1(2(гг ду/д0 будут порядка 1/К и смогут сократиться с членами этого же самого порядка, происходящими от слагаемого Аа(г функции е. Итак, мы можем ожидать, что Се будет порядка 1, С, — порядка К, Са — порядка К' и т. д. Конечно, сделанные нами предположения о порядке малости различных коэффициентов должны быть проверены после вычисления. движение Вязкой жидкости 522 [гл. и Считая теперь число Рейнольдса малым, разложим функции ср и )( по степеням (х, причем в разложении для с[! мы должны взять члены до первого порядка относительно [ч включительно, т. е.
члены, содержащие коэффициенты Аз, А, и Аз., в разложении же для )( мы должны учесть также и члены второго порядка относительно [Х, так как в формулах (25.19) производные от у входят с множителем 1/)е. Помня, что х= г соя 9, без труда находим: н, следовательно, для ср получается следующее приближенное выражение: Ло Л, соз З + Лс(3 сов'0 — 1) 7— Составим теперь приближенное выражение для у; мы имеем, прежде всего, с точностью до членов второго порядка включительно: в -М [г-с! -ю П-сосо) е ! Лог 2 = — — гс (1 — соз 9)+ —,(1 — соз 9)з+ далее, с точностью до членов первого порядка включительно, д г 1 /г1х алл (~ — а!с сос Ое — лг дх(, г гс гГ' г' зз Г св /.с Г и, наконец, Поэтому приближенное выражение для )( имеет вид: г1 ьсг у = — У -г Сз~ — — Ф(1 — сов 9)+ — (1 — соя 9)а~в 1 2 — С, — + '-+, . (25.21) з Составляем теперь равенства о,(а, 9) = О, о,(а, 9) = О, причем в выражениях — у соз 9 и )( з[п 9 малые величины второго порядка 0 за( УТОЧНЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ СФЕРЫ 523 относительно (х отбрасываем; в результате получаем: Ла 2Л, соз 0 ЗАО (3 созз 0 — 1) аа аа а' 1 соз 0 Л вЂ” С ( — + — — — (1 — 3 созе 0+ 2 соз О) ~ -(- О(20аа а 4 соз 0 3 соза 0 ! ЗС, (3 соза 0 — 1) А, 0Ласоз0 ( 1 0 ,за аа — — + Со( — — — (1 — соз 0) ~+ о(2а 2 С1 ЗС, соз 0 + — — — У=О, 20аа лаа А + — — —,=О, С, С, О 20 2 2А Соаз (1 — ) + — ' = — СГаз ааа С аа ЗСа ЗА +С вЂ” — — '+ — '=О, 4 2 20 А1 + Со 2 (1 'за) + 20 Салаа ЗСО 6А — — '+ — '= О.
2 0 Исключая из второго и четвертого равенств А, и СР получаем: 3((а О= Зла 2 — —, 2 (25.22) исключая же из третьего и пятого уравнений Аз и Сз, находим: Собра' — С,аз = О, откуда 3(ГЛаз Зла 2 —— 2 (25. 23) после этого первое и второе уравнения определяют Ао и А,; 3(Га (1 — Зааа! 0 (4 в Зла) (25.24) 2(Уаа 41 4 — зла ' Приравнивая в первом равенстве коэффициенты при 1, соз 0 и 3 созз 0 — 1, а во втором коэффициенты при 1 и соз О, получаем пять уравнений для определения шести коэффициентов А, АР А, СО С1 и Сз' 524 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ !Гл.
и Наконец, Аз и С, определяются только в комбинации Сс Раас 20 2 (4 — Заа) (25. 26) так как при принятой степени приближения невозможно отделить Аа от Се. Мы видим, что сделанные нами допущения о порядке коэффициентов А и С действительно имеют место. Перейдем теперь к всследованию полученного решения. При этом мы будем ограничиваться в разложениях для сс и )( только первыми двумя членами и соответственно этому упростим найденные выражения для коэффициентов Ае, Ан Се и С,, отбросив в Ае и А, члены порядка >г, а в Се и С, — члены порядка аз. Тогда можно принять с, = —,иа'д, 3 А = — — иаз.
1 2 (25.27) С Е-аг П -сос 0> [1+>ег(!+сов 8)] + ЛГЗ Ас 2А, соз 0 о — — '-+ Г 2г + — ' а юц '" > — из!п8. (25.23) 2лг' Для давления, на основании (25.15) и (25.20), мы имеем формулу: соз 0 3 созе 0 — 1 Р = Ре+ РиАе —, — РиА> Г' Г' 3 ( Зал'! сов 0 1 аи'а' = р — —, риа [ 1 + — ! - — —, — (3 созе 8 — 1). (25.29) Для точек вблизи сферы, разлагая в формулах (25.28) показательные функции по етепеням >0Г и ограничиваясь той же степенью приближения, получим: 3 а 1 а ! о =исоз8) ! — —,- — Г+ — —,т ~~, Г 2 г 2 Г За!а> о>= — из!п8) 1 — — — — — — — (, 4Г 4гз!' (2о.30) Составляем теперь по формулам (25.19) выражения для проекций скоростей о, и ом причем будем пренебрегать членами, содержащими >0 множителем: УТОЧНЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ СФЕРЫ 525 я сл т, е.
восстанавливаем формулы Стокса (23.13). Следовательно, вблизи сорер11 течение имеет, по-прежнему, вид, изображенный на рис. 167 (относительное движение) и на рис. 168 (абсолютное движение), На далеких от сферы расстояниях дело обстоит совсем иначе, В этом случае мы можем отбросить в формулах (25.28) члены, содержащие коэффициенты Аг и Сн как малые, по сравнению с членами, содержащими А„и С„. Мы будем, далее, рассматривать для определенности абсолютное движение сферы в жидкости, покоящепс» нз бесконечности; тогда в выражениях (25.28) нужно отброс1иь также и члены 1) соз0 и — У э)п 0. В результате мы приходим к следующим простым выражениям: ,1 Е-Аг (1 — ооо а) о, = — —,'-+ ', [1+ )гг (1+ соз 0)], о Е-Аг(1-оо5В1 э г причем нужно помнить, что сфера двигается вдоль оси Ох в отрипательном направлении со скоростью СТ.
Рассмотрим теперь отдельно движения жидкости перед телом и позади тела. Рассмотрим сначала ту область, где йг(1 — сов 0) имеет значительную величину, т. е. где )гг велико, а 0 достаточно отличается от нуля; в этой области мы можем пренебречь значением показательной функции, в реаультате чего получим: (25.32) Но к упомянутой области не принадлежит только узкий хвост позади тела, Поэтому полученная формула показывает, что на далеких расстоя- Ряс. 169. пнях всюду, кроме узкого хвоста параболоидального вида позади тела, течение мало отличается от течения, вызванного источником, находящимся в центре сферы и имеющим интенсивность ~)= ~~~~ (1+ ~~)= босого(1+ — -) ° (2533) Голько что высказанное положение наглядно подтверждается рис, 169, на котором даны линии тока для абсолютного движения сферы.
Напротив, рассмотрим область далеко позади тела, в котороп '1ол 0 мало отличается от О, а 1гг велико, причем величина 526 дВижение ВязкОЙ жиДкОСТИ !гл. и !гг(! — соз 0] близка к нулю. Тогда выражение 1+лг(1+ сов 0) мало отличается от 2лг, значение е-а'"-"'" мало отличается от единицы, и мы получаем приближенное выражение для о, следующего вида: (25. 34) Мы видим, что в узком хвосте далеко позади тела жидкость движется в том же направлении, что и тело, причем на больших расстояниях скорость изменяется обратно пропорционально первой степени расстояния. На рис.
!69 видно резкое различие течений впереди и позади тела. Сущность этого различия легко выяснить, если найти распределение вихрей в рассматриваемом течении. Для вычлсления вихрей проще всего воспользоваться формулами (25.8) и !25,9), в которых мы, согласно рассматриваемому приближению, должны взять В результате находим: ь) =О, ь! = — — = — Се" с» б 0Х „1+ Лг О,= — = — С вл !»-» дХ 1+Лг у ду 0 га откуда О=С а — юп-со~6 + зш0. 1+ Лг а г2 (25.35) (25. 36) так что вихри в области позади тела затухают обратно пропорционально полуторной степени расстояния. Чтобы вычислить функцию тока Ч'(г, 0), мы можем применить формулу (23.16).
При этом мы воспользуемся формулой (25.31). чтобы получить функцию тока для движения сферы в жидкости, покоящейся на бесконечности, в соответствии с рис. 169 вычерчен- Для больших значений йг(1 — сов 0), т. е. далеко впереди тела (точнее говоря, вне узкого хвоста позади тела), значение ьз очень мало, следовательно, далеко перед телом движение носит почти потенциальный характер. Напротив, в узком хвосте позади тела, где величина (гг(! — сов О) очень мала, движение носит завихренный характер. Правда, при 0 = 0 мы получаем ьз = О, но при 0 = !ДГР, где лг— очень большое число, т.
е. на поверхности параболоидального аида, мы получаем: Ощ1 вточненное пешение злдлчн о движении соевы 527 ным прн этих же предположениях. В результате простого вычисления находим: 111(г, О) = — — 2+ — ) (1+сов 0) [1 е-лг(1- ога)[. (25.37) 20 1 4 Покажем, наконец, как вычислить силу воздействия потока на тело. Мы уже имели в 0 23 общую формулу для рассматриваемого случая [уг= / /(Рггсо50 — Р„в[я 0)д5, (25.38) 5 причем на поверхности сферы два Р 0=[л дг ' Проще всего вычислить значение дол)дг, если воспользоваться выражениями (5,7) для проекций вихря в сферических координатах г, 0 и )с 1 [ д (Мп Оя~) две 1 гяп0 [ д0 дл 1' 1 [ до, д(г Мп Оял) ~ гяпО! дл дг 1 Г д(гпг) дог 1 два 1 1 дег . мЛ— г! дг д0 ) дг г г д0 г1 + в нашем случае Ьзг=лз)=О; что же касается значений Ь)л, то на поверхности сферы ое — — О, о, = О, а следовательно, и дог/д0 = О.
Итак, на поверхности сферы д, дг ' С другой стороны, мы имеем для составляющих вихря выражения: Х о Х. ')Х ')Х . следовательно, по формулам (23.20) перехода от декартовых координат к сферическим 0)л= — й 51П).+Й,совЛ= — сов Л+ — 51пЛ. д-Х дХ У ' г ду дл Помня, что р=ре — радо)дх, находим для подынтегральной функции в формуле (25.38) выражение Ргг Спв 0 Рге 51П 0 дт Л [Ре )гУ вЂ” )сов 0 — р. — Сов). 51п 0 — р.— 51п Л 51п 0 = д-Х .
дХ дх! ду дл = — Р со50+рУ вЂ” 'соз 0 — — — совЛ5[п 0 — —, —.51П).5[п 01; Г де ! дХ . ! дХ [ дх 2/г ду 2Л дл 528 двн>кш>нв вязкой жидкости [гл. и Замечая, наконец, что по тем же формулам преобразования (23.20) — соз В + — сов). з!п В+ — з>п ) 5!и В =- дя дт . дт .. дт1г, В) а» ду ' дл дг приходим к следующей простой формуле: )Р =ри)')"-' — ' Ю (25,39) нбо интеграл от расозВ, очевидно, равен нулю. Но для р мы имели общее выражение (25.16). Все члены этого выражения, кроме первого, при интегрировании дфдг по всей поверхности сферы дадут нуль; первый же член дает, очевидно, значение ~ — ~Ю = — ~ ~ —,аЮ = — — ' 4иае= — 4ял .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
