Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 84
Текст из файла (страница 84)
1?!). Следовательно, главный вектор приложенных к поверхности цапфы сил, который мы обозначим через Р, имеет направление, перпендикулярное к прямой 00'. СчиРис. !71, тая Р положительным, когда направление главного вектора получается из направления 00' поворотом навстречу вращению цапфы, мы будем иметь: 2 2; Р=~ раз)п0а20 — ] р,оасоз0Ю. Ио 2 2;. 72 э!и 0г!0= — / рг!соя 0=в о о 2~ 2. 2-.. ар ~ ар = — и со$0 + соэ 0 — й0 = сов 0 — — г?0. о о Поэтому Р= а г ] — „— )2„] соя 0 г!0, о Здесь можно пренебречь величиной рю по сравнению с ар(аг0, ибо последняя величина содержит, как показывает формула (2?.16), малую велнчину е в знаменателе во второй степени, в то время как ри содержит эту величину только в первой степени. Итак: Р= а г — „„сов 0 г!0 = а ! — „0 (а+сов 0)270 = р ~р /' г722 о о Исследуем полученные формулы чянбаеч (22+2) 12еи??аооо а 1222.~„1) 0гит 1 ' ог !0„2 ! 1) У оа ! ИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СМАЗКИ 541 4 гг1 Видно, что как Р, так и М прямо пропорциональны как коэффициенту вязкости р, так и окружной линейной скорости (I.
Считая известными р, (?, а, а и Р, мы по второй из предыдущих формул определим а, а следовательно, и эксцентриситет е =- 3/а, после юге первая формула определит М. Введйм безразмерную величину М а ' Ра ' являющуюся для аакона сухого трения коэффициентом этого трения. В нашем случае М 5 аа+2 а а а Ра а За (27.19) Прн значениях а, близких к единице, коэффициент ? имеет значение, близкое к 3 Уз= —.
и Но из (27.18) ясно, что значениям а, близким к единице, соответствуют малые значения скорости (?, точнее, величины Н уаа а'Р (27. 20) Таким образом, в случае малых скоростей гидродинамическая теория смазки приводит к формуле М Рау, (27.21) совпадающее с формулой (27.4) Н. П. Петрова. ?йпнимальное значение 7 получится, как это легко установить из формулы (2?.19), при а=- к' 2, тогда 2 г' 2 ?ана = — 3 — — = 0,943уе, а соответствующие же значения У и Р связаны соотношением Р(?аа 5 = — 24 — — — 0,0663.
Более строгое решение рассмотренной задачи было дано в работе Н, Е. Жуковского и С. А, Чаплыгяна, рассмотревших плоскую задачу о движении вязкой жидкости в области между двумя эксцен- аналогичной закону сухого трения (27.2). Напротив, в случае очень больших значений а значения величины (27.20) должны быть велики; в то же время из (27.18) простым предельным переходом получим для момента сил трения выражение 2шаУаа движения вязком жидкости [гл. ц трическп расположенными окружностями при единственном предположении о том, что в уравнениях гггдромеханики можно пренебречь инерционными членами.
Для случая, когда радиусы окружностей отличаются друг от друга на весьма малую величину, их решение переходит в только что рассмотренное прибли>кенное решение. Нужно отметить, что разобранный выше простейший случай полного заполнения жидкостью области между цапфой и подшипником представляет простейшую схему явления и не позволяет полностью осветить его, тем более, что мы ограничились только плоской задачей, Г. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В СЛУЧАЕ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ РЕЙНОЛЬДСА й 28. Общая характеристика течений при больших числах Рейнольдса.
Вывод основных уравнений теории пограничного слоя. Нами было уже указано, что приближенные методы решения уравнений движения вязкой жидкости были развиты только в двух случаях, а именно, в случае очень малых чисел Рейнольдса и, наоборот, в случае очень больших чисел Рейнольдса. В предыдущем разделе этой главы мы рассмотрели подробно методы, относящиеся к случаю движений с малыми числами Рейнольдса. Обратимся теперь к изучению методов исследования движений с большими числами Рейнольдса.
Большие числа Рейнольдса получаются, когда характерная длина 1 велика, или когда характерная скорость Р велика, или же когда кинематическая вязкость ч мала. Казалось бы, в этом случае мы должны получить очень хорошее приближение, целиком отбрасывая силы вязкости, пропорциональные коэффициенту кинематической вязкости ч. Однако так делать нельзя, потому что при этом получаются уравнения Эйлера движения идеальной жидкости, решения которых не могут, вообще говоря, удовлетворить тем граничным условиям прилипания к стенкам, которые мы имеем для случая вязкой жидкости, движущейся хотя бы и при очень больших числах Рейнольдса, Отсюда можно сделать вывод, что при больших числах Рейнольдса главное воздействие сил вязкости будет проявляться около стенок, ограничивающих жидкость; понятно, что частицы жидкости, побывавшие около стенок, попадая при дальнейшем своем движении внутрь жидкости, могут распространить эти воздействия сил вязкости на внутренние области жидкости.
Мы можем, однако, ожидать, что во всей той области внутри жидкости, в которую не попадают частицы жидкости, побывавшие около стенок, движение жидкости будет мало отличаться от движения идеальной жидкости и с очень большим приближением может быть принято за движение идеальной жидкости. Остается определить характер течения жмдкости в непо- 4 за! овщля хлплктввистикл твчании пяи вольших и 543 среде!венной близости стенок и в той области, которая заполнена частицами, побывавшими у стенок. К сожалению, мы не имеем пока полной теории этого вопроса. Одна из первых работ на эту тему относится к 1904 г. и принадлежит Л. Прандтлю '). В результате развития идей Прандтля возникла теория, носящая название теории пограничного слоя, изложению основ которой и будет посвящйн этот раздел.
Иначе подошЕл к той же самой проблеме движений вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса Осеен з), Он поставил вопрос о том, во что переходит движение вязкой жидкости, если число Рейнольдса гх устремить к бесконечности. Однако Осеен смог дать ответ на этот вопрос только для того случая, когда исходные уравнения Навье — Стокса берутся в упрощйнном виде, и в этом состоит недостаток его теории, носящей название теории исчезаюятей вязкости. Полное изложение теории Осеена потребовало бы много места; поэтому мы ограничимся несколько упрощенной трактовкой этой теории !см.
9 37 и далее). Прежде чем переходить к выводу дифференциальных уравнений теории пограничного слоя, мы остановимся несколько на выяснении общего характера течений вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса. Для определенности будем --- — -гу рассматривать задачу об обтекании цилиндрического твердого тела потоком, имеющим на бесконечности М, Мг Мг Мг М Н М заданную скорость Ъ' !Рис. 172). У Если бы мы могли совсем пренебречь силами вязкости, то мы получили бы потенциальное обтека- Рнс.
172. ние тела потоком идеальной жидкости. В точках контура С нормальная составляющая скорости этого потока обращается в нуль, касательная же составляющая отлична от нуля. Но в течении вязкой жидкости как касательная, так и нормальная составляющие скорости должны в точках контура С обращаться в нуль, Принимая еще во внимание, что при больших числах Рейнольдса в некотором отдалении от контура С течение жидкости мало отличается от течения идеальной жидкости, мы приходим к заключению, что распределение касательной составляющей скорости вдоль нормали к контуру С должно иметь вид !см. Рис. 172) кривой, относящейся к точке М1. Эта кривая показывзет, что каса- ') Ргапг)1! Ь., !)еЬег Р!йаз!дйе!1аЬе!тейцпд Ье! зейт К!е!пег йе!Ьипя.
регйапд!ппдеп йег Йгй!еп !пгегпа1, Ма1Ь, Копяг. ш Неше!Ьегд 1904, Ье!Рг!я, 1905; имеется русский перевод. ') Озееп С. цг., Хецеге Ме1Ьойеп цпй ЕгяеЬп!зае !и цег Нудгоцупашйб Ье!Рг!я, 1927. 544 лвпжвние вязкой жидкости !гл. ы тельная скорость, равная нулю в точке Л4н для точек, расположенных на нормали к контуру, постепенно увеличивается и, наконец, на некотором расстоянии от контура принимает значение, очень мало отличающееся от значения, соответствующего потенциальному течению идеальной жидкости. Как мы увидим далее, при больших числах Рейнольдса, переход от нулевой скорости на контуре С к скорости, мало отличающейся от скорости потенциального течения идеальной жиакости, совершается в очень тонком слое жидкости, который и носит наименование пограничного слоя.
Как мы знаем, силы вязкости тем больше, чем больше соответствующие изменения скорости. Так как в пограничном слое происходит быстрое язченение касательной составляющей скорости от нуля до величины порядка Р, то силы вязкости в пограничном слое могут получать значительную величину. '!'аким образом, главное воздействие сил вязкости будет иметь место около стенок: на далеких же от стенок расстояниях силы вязкости будут очень лабазы. Мы можем поэтому представить себе схематически картину течения вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса следующим образом, Всю область течения мы разбиваем на две части, а именно на тонкий пограничный слой вблизи тела и на остающуюся область течения, в которой течение можно считать совпадающим с потенциальным течением идеальной жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
