Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 85
Текст из файла (страница 85)
В пограничном же слое мы будем учитывать также и силы вязкости; однако, то обстоятельство, что толщина пограничного слоя очень мала, позволяет сильно упростить уравнения Навье — Стокса; в результате такого упрощения мы получим уравнения Г!рандтля, решения которых тем менее будут отличаться от точных решений уравнений движения вязкой жидкости, чем больше будет число Рейнольдса и чем, следовательно, меньше будет толщина пограничного слоя. Е!еобходимо, однако, обратить внимание на то, что частицы, побывавшие у стенок тела, могут в дальнейшем попасть внутрь жидкости; так как внутри пограничного слоя мы имеем сильно завихренное движение жидкости, то при этом внутрь жидкости попадают вихри, образовавшиеся в пограничном слое; происходит, как говорят, отрыв вихрей. Причины такого отрыва вихрей лежат в следующем.
Пусть для определенности выпуклый контур С имеет симметричную форму относительно прямой АВ, имеющей направление скорости на бесконечности, и пусть циркуляция потока отсутствует. Тогда в потенциальном течении идеальной жидкости касательная скорость будет возрастать от нуля в точке А до максимальной скорости в точке К и затем будет убывать до нулевой скорости в точке 8, В соответствия с этим, согласно уравнению Бернулли, р+ рп'/2 = сопя!., давление будет убывать от точки А до точки К и затем возрастать от точки К до точки тУ.
Как увидим в дальнейшем, распределение овщая хар.актгрпстнка трчгннп прн волынил я 545 до„дох до ! др / дао» д'о„т —" + о — х+ о — ' = — — — — 1- ч ! — — '+ — "), дг "дх + у ду р дх 'адха ду' г'' до до„до, ! др Г дрор дао от ' х дх + Р ду р ду адха дуа/ дох гзоу — + — у = — О. дх г!р (28.1) 35 зеореонескаа глароиех. авиа, ч, 1! щзленкя в пограничном слое очень мало огличается от распределе,н1я давления по контуру С в потенциальном течении идеальной жидкости.
Г!паче будет обстоять дело с распределением скоростей. !!сно, ч го силы вязкости приводят к некоторому затормаживанию частиц жидкости в пограничном слое. Г!озтому, попадая в область задней части тела, где давление возрастает, частицы начинают получать ускорение в направлении от точки В к точке К и в результате касательная скорость этих частиц обращается в нуль где-то на линни ~Из%, проходящей между точками К и В. В области ВМаМ касательная скорость частиц получает обратный знак, т. е, возникает возвратное движение жидкости, результатом которого является срыв завнхренных чзстнц с поверхности тела н унос их внутрь жидкости.
Теория пограничного слоя не дает возможности проследить, как меняется в этом случае характер течения в области ВгИаМ, прилегающей к задней части тела. Следует, таким образом, различать два случая. Если мы имеем дело с телом, имеющим очень плавные очертания контура, то возможно, что срыва вихрей происходить не будет. В этом случае мы можем сказать, что вне тела имеет место потенциальное течение идеальной жидкости, и действие сил вязкости сказывается только в пограничном слое. Если же условия обтекания таковы, что с тела срываются вихри, то за телом образуется вихревая зона; что касается пограничного слоя, то мы можем теоретически рассмотреть только ту часть его, козорая простирается до места отрыва вихрей. Сделаем еще одно общее замечание. Течение жидкости внутри пограничного слоя может быть или ламинарным или турбулентным, н зависимости от значений числа Рейнольдса и от условий обтекания тела, наприиер, от степени гладкости или шероховатости контура и т.
и. Мы будем рассматривать только ламинарные течения; некоторые соображения о турбулентном пограничном слое будут нз,чожены в следующей главе, посвященной турбулентности. Перейдем теперь к выводу дифференциальных уравнения Г!ранлтля, определяющих течение в пограничном слое, причем рассмотрим лля определенности случай течения вязкой жидкости вдоль пластинки. 5!ы будем, таким образом, иметь дело с плоско-параллельным течением жидкости; предположим, что внешние силы отсутствуют. Тогда основные уравнения гидромеханики (5,1) принимают вид: 1гл. и движгииг вязкоп жидкости 548 дшрференциальные уравнения Прандтля получаются в результате надлежаще~о упрощения предыдущих уравнений.
В основе этого упрощения лежит сравнение различных членов уравнений (28.1) по нх относительной величине. Как мы уже указывали, толщина пограничного слоя, которую мы булем обозначать буквой 8, очень мала 1см. рис. 173); это выражение нужно, конечно, понимать так, что мало отношение 8:1, где 1 есть характерный размер для рассматриваемой задачи. Отметим попутно, что толщина 8 в разных точках контура и в разные моменты времени можег быть различна, так что э есть функция от х и 1. Кроме у того, нужно отметить, что самое понятие толщины пограничного слоя имеет несколько неопределенный характер, поскольку в действительности нет никакой резкой границы, отделяющей область пограничного слоя от внешней области, в которой силы вязкости Рис.
!73. совсем не учитываются. Однако мы увидим, что эта неопределЕнность понятия толщины пограничного слоя не повлияет на окончательный вяд уравнений Прандтля. В следующем параграфе мы дадим иной вывод этих уравнений, свободный от тол~ко что укаэанного недостатка, сейчас же мы будем следовать Прандтлю. Составляющая о может иметь на внешней границе пограничного слоя различные значения, но все эти значения будут иметь один и 1от же порядок, а именно У, где У есть характерная скорость рассматриваемого течения. На стенке эта составляющая обращается в нуль.
Рассматривая изменение о в зависимости от координаты у, мы видим, что при изменении у от О до е значение о изменяется от нуля до величины порядка У. Но отсюда следует, что среднее значение до,.)ду в точках внутри пограничного слоя имеет порядок У)е. Точно так же придем к заключению, что дав /дуя имеет внутри пограничного слоя порядок У/йт, Порядок производных по координате х мы можем оценить, учитывая, что составляющая скорости о при перемещении точки параллельно контуру С на отрезок порядка характерной длины 1 может испытать изменение порядка У; поэтому величина до,)дх имеет порядок У)1,а величина дев )дхз — порядок У)1з. Но тогда нз последнего уравнения системы (28,1) доя дп„ ду дх следует, что до /ду тоже имеет порядок У)1.
А так как при у=О значение о, вследствие условия прилппания равно нулю, то нз рв- у ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ТЕЧЕНИИ ПРИ БОЛЬШИХ И 547 венства г' Р до "=/ — ' '» / ду о найдем гто о внутри пограничного слоя будет иметь порядок Уе/! далее, для величины дех/дх находим порядок Уй/Р, для дгп /дхе порядок Уй/Р и, наконец, для д'о /дуг порялок У/й. Ясно теперь, что в первом нз уравнений (28.1) мы можем отбро- СнтЬ ЧЛЕН двиг/дХг ПОРЯЛКа У/Р КаК МаЛЫй ПО СРаВНЕНИЮ С ЧЛЕ- гюм дгп /дуг, имевшим порядок У/8г, пбо отношение —; — ==! — / х р зг =-(,г/ есть квадрат малой величины.
Итак, первое уравнение системы (28.!) принимает следующий вид: дг'х дех дег ! др д гг х ! х ! г ! г дг хдх т ду р дх ду' (28.2) Второй и третий члены слева имеют, как показывает простой подсчет, один и тот же порядок Уг/1, второй же член справа имеет порядок РУ/Бг. Отношение снл вязкости к силам инерции имеет, таким образом, порядок; Прандглл принимает, что внутри пограничного слоя силы вязкости и силы инерции имеют одинаковый порялок: ио тогда величина г Зге увг Й ( — / = — должна иметь порялок единицы; инымн словамн, вели(,р/ шна 8/! должна иметь порядок !/Угх.
!г(ы получаем, таким образо«г, первый результат теории погранично~о слоя: ойразуюигийся лри г>гечениях с большими числами Рейнольдса (х пограничный слой имеет тоггиину 3, порядок которой равен !/У гх, т. е. ,Г/ Привелем простой численный пример; возьмем ! = — 1 .и = — 100 см, "' = ! м/сек = 100 см/сек, г = 0,01 смг/сек (вода при 20' С), Г г' тогпа ~' — = 0,1 см = 1 .Ем. Как видно, толщина образуюигегося 1' пограничного слоя очень мала. В уравнение (28.2) входят еще члены дп,/д! и (1/р)др/дх; мы "удем предполагать, что изменение течения со временем, если оно вроисхолнт, «овершается столь плавно, что порялок до /дг не превосходит порядка уг/1, тогда член (1/р) др/дх сам собою должен оу.тет пметь тот же порядок !'г,/. дВижение ВязкОИ жидкости 1П1.
и — = — О. д,о ду (28.3) Мы получаем таким образом второй реву.льтат теории пограничного слоя: давление внутри пограничного слон не меняется вдоль нормали к контуру тела и равняется, следовательно, тому давлению, которое имеет место на внешней границе пограничного слоя в рассматривае.ио.и месте. В предыдущем параграфе мы уже воспользовались этим результатом при рассмотрении качественного характера течений вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса. Итак, задача определения течения вязкой жидкости в пограничном слое свелась к решению следующей системы: др, дол ду р дх ду' —," =ь. дол дол — + дх (28.4) Здесь о„и о суть неизвестные функции от х, у и г', а р есть заданная функция от х и г. Если можно принять.
что вне пограничного слоя течение жидкости есть потенциальное течение идеал1ной жидкости, то р(х, г) совпадает со значениями давления этого течения на внешней границе пограничного слоя, а так как толщина пограничного слоя очень мала, то за р(х, г) можно взять просто значения давления этого течения в точках самого контура С. Если же с тела срываются вихри и последние сильно видоизменяют картину течения пограничного слоя, то приходится р брать на основе экспериментальных данных. Функции о и о должны уловлетворять следующим граничным условиям: во-первых, на стенке должно выполняться 1словие при- лнпания ил=о =-О при у=.О.
(28.5) Переходим теперь к рассмотрению второго из уравнений (28 1), Мы без всякого труда найдем, что порядок левой части этого уравнения равен Уэй/Р. Точно так же для порядка сил вязкости, входящих в правую часть этого уравнения, найдем, по вышесказанному, выражение ъУ(й, имеющее, по сделанному вышедопущению Прандтля, тот же порядок, что и выражение Уаз/(а, Мы видим теперь из Второго уравнения (28.1), что (1(р) др(ду имеет порядок Уаэ11Р в то время, как (1(р)др/дх имеет порядок Уа(1 Но это означает, что градиент давления в направлении нормали к контуру очень мал в сравнении с обычными значениями градиента давления. Поэтому можно с большой степенью точности заменить второе уравнение системы (28.1) простым уравнением ВЫВОД МИЗЕСА УРАВНЕНИЕ МИЗЕСА 549 4 2В! и, во-вторых, на внешней границе пограничного слоя, т.
е. при , = — е, состав.чающая о должна переходить в соответствующую сосгавляюгцую о скорости течения вне пограничного слоя. Как выше случае давления, можно за о принять составляющую скорости в точках самого контура С: для краткости мы обозначим эту сосчавляю2цую через П (х) = (о )с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
