Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Если У е~Х (Х ) О, 4(7 4(Г У) 0), то === У ~/'--. Г и 2 2)( Х чх Таким образом, если только У((Х, аргумент, введенный в 9 20, ! 3 3 4 .5 Б Рис. (77. будет совпадать с независимым переменным теории пограничного слоя. 1 Гч / )(Ха+У'+Х Кроме того, так как х,= 2 !( (( р то для У(~Х имеем х, = — а — 1( Х = !/х. Таким образом, для У ~~(Х 0 0,0000 0,2 0,0664 0,4 0,1328 0,6 0,1990 0,8 0,2647 1,0 0,3298 1,2 0,3938 1,4 0,4563 1,6 0,5168 1,8 0,5747 2,0 0,6298 2,2 0,68!3 2,4 0,7290 2,6 0,7725 2,8 0,8115 3,0 0,8461 3,2 0,8761 3,4 0,9018 3,6 0,9233 3,8 0,9411 4,0 0,9555 4,2 0,9670 4,4 0,9759 4,6 0,9827 4,8 0,9878 5,0 0,9916 5,2 0,9943 5,4 0,9962 5,6 0,9975 5,8 0,9984 6,0 0,9990 погялничнылт слов вдоль плоскоп пластинки 573 ! зл /' У) имеем по (20.9) (если ограничиться первым членом) ф= — )/ х/ (у1г/ «х~ — Г У1 плн по (20 ! 9) ф =. 'т' «Ух «(у ~/ — ), и мы призам к формуле (32 4).
и, Огметпм, что по Блазиусу !пп — =1!гп — ~' — (!«' — 5), пли, У 2У х е, 1 )' «х 1,72 на основании (20.41), 1!ш — '= -- ~/ — ) = — —. я-«ы У 2 Ух 1'Х )«Х О« в то время как в точной постановке 1пп — — — «0. Различие в рас- У пределенни значений ов видно кз сравнения рнс. 165 н 177. Чтобы вычислить сопротивление, испытываемое пластиной, най- дем сначала но вследствие предыдущих формул /-У— , . псалому / У вЂ” ч" (О) = г' ррУ )/- — . (32.13) Если пластинка имеет ширину 5 н длину !, то суммарное сопротивление, испытываемое как верхней, так н нижней сторонамч пластинки, будет равно: 17г 25~/'!лрУз 1 "" 45е ~/!лрУз!, т. е. 1Р = 1,3235 ~'р.е(/з!.
(32. 14) Вводя коэффициент сопротивления по формуле )Р= с,,~ 2 рУ' 1 где /'= 2И, получим; (32. 15) с = 1,3261//— (32. 16) 'те Р = !у/«есть число Рейнольдса. Полученное значение коэффициента сопротивления хорошо согласуется с коэффициентами, найденными из экспериментов над гладкими пластинками для чисел г'ейнольлса, не превосходящих 3 10'. 374 движении вязком жидкости 1гл. ц Определим еще толщину пограничного слоя.
Вычислим величину 3', определенную формулой (30.1): 3 = и,7' ((' .) "у. о По формулам (32.21) и (32.22) =Ф и У(1 ~ ('))~" о произведя вычисления, получим: (32,17) Толщину пограничного слоя можно принять равной, например, Зд", как рекомендует Прандтлгн тогда будем иметь: (32. 13) Такому Ь соответствует 1=5,2, т. е. по вышеприведенной табличке отклонение скорости от скорости внешнего потока на '/т',е. Применим теперь к рассматриваемой задаче метод использования интегрального соотношения Кармана. Так как мы имеем дело с установившимся движением, в котором — — =О, д» то основное уравнение теории Кармана (ЗО.7) напишется чак: и ~ , , л ~" ( де,~ — оз с(у †.'7 — о г(у = — ч ( — ') .
(32.19) а о /я=о Если бы нам было известно, что распределение скорости внутри пограничного слоя определяется формулой он=(7У ( —.", ))= иУ(т), где то мы имели бы овИу — У ~ о г(у= сут3 ' (Р(4) — у(т1)) г(т,= — — 7(7т3, ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ВДОЛЬ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ 575 А ТЗ! ,ле для краткости введено обозначение Т= ) Ч вЂ” /з)дьО. о (32.20) Да,чее, (-' — ") — (// (О) -', (32.21) поэтому уравнение (32,19) принимает вид: (// (О) Т(/' — „. =- откула Ль /' (О) ' лх = ти Интегрируя это уравнение н считая, что 3 = 0 при х = О, получим; 2т/'(О) х (32.
22) Так как вследствие формул (32.32) и (32.33): ди„1 н(/!" (О) / РР/'(О) У!т о= р — Π— ') = —.,— = аг =- (-.—;),.= — '-' — = ~ ' - ' Наконец, для определения величины 3" мы имеем, согласно формуле (30.1): ! е' = 3 ~ (1 — / (т))) г/т), (32,25) Основная идея метода Кармана состоит в том, что вместо того чтобы отыскивать точный вил функции /(т)), можно задать вид этой фучкции.
Если мы правильно схватим общий характер распрелелеипя скоростей в пограничном слое, то получим хорошее приближение кзк лля ззвпспиости 6 от х, так и для численной величины коэф- Ф!шиента сопротивления. то для сопротивления, испытываемого с обеих сторон пластинкой ширины О и длины Е мы получим формулу (Р' = 26 / ф/ Р' „т г/х = 2ь1/2рр!'(О)(/зт1; (32.23) з в иной форме это соотношение принимает вид: 1 / / з т / ( (32. 24) 576 двп'кгнпг, вяэкоп жидкости 1гл и 1,155 е ) (32.28) Наконец чля о' имеем формулу: 1 3" =3 / (1 — ~)сг~= — 3 =1,732 )/ — —, (32.29) 3 почти совпадающую (конечно, случайно) с формулой (32.28). Возьмем теперь распределение скоростей по параболе третьей степени )())=А+В.,+С Р+0 з, причем выберем следующие граничные условия: о „= — О, —;"- = О при у = О; о, = — (У, —" = О при у = Ь, (32.30) / у ~~~~к последнее из которых выражает, что иа внешней границе пограничного слоя не только и, но п дп,)дх плавно переходят в соот- Отсюда видны и положительные и отрицательные стороны метода Кармана.
Этот метод хорош тем, что он требует гораздо меньших вычислений по сравнению с точными методами интегрированна дифференциальных уравнений теории пограничного слоя. Плохая же сторона метода Кармана состоит в том, что он применим, в сущности говоря, только к тем случаям, когда мы имеем плавное распределение скорости в пограничном слое, так как только в этих случаях мы можем ожидать, что задаваемая с довольно большим произволом функция Г'(т)) отразит общий характер течения в пограничном слое. Поэтому, в сущности говоря, мы должны довольно иного знать о характере течения в пограничном слое, чтобы иметь возможность применять метод Кармана.
В нашей задаче мы имеем дело с очень плавным распределением скоростей, н потому мы должны ожидать, что метод Кармана даст хорошие результаты. В самом деле, примем, например, что У ('ч) == тй (32. 26) это обеспечивает нам при у = О и,.=- О, а при у = о ол = У, как и долмсно быть. 5(ы будем тогда иметь: 1 — ,(1 — и) 1т, = †, У (О) = 1, 3 поэтому формула (32.33) дает: '=-2~ -'Р='""~ -'-' а по формулам (32.34) и (32.35) 1)т ! !55г, )г'„э1(7з пОгрвп1пшып Глоп ядо71ь плОО1соп пллстппю1 5?7 22 ! и !з.ч;е 1 39, 3 3 7) « ° Г (01, ! ~1 †.у М)) г7у = —, 280 ' 2' д Н' следовательно, Г 111 1,'11!!! (32.32) Примем еще, чтобы показать пример применения уравнения(30.16), следующий закон распределения скорости: К з (32.33) тогда ( о)' У ~ с) 17у — ~ 272 17у = 1723 ~ (1 — й.л) й 211127.
о е Введем новую переменную =ап и заметим, что А = — 1!2т спе Л вЂ” 21П -,, ,7Л=~1 — ГР)И). с!12 Л поэтому ! / 11 — !и 21)111 ч)егт1= / (1 — 0) ° 1 .2 = о о / ' " — ), — 1П !1 + '.)): о = 1 — !и 2. .! 1+: 37 теорекнчеснвя гнлронечяннвв, ч и ве! с1вшощпе значения внешнего потенциального течения, Второе „з взятых нами пограничных условий сразу вытекает из первого урзвиешщ 132 1), если заметить, что пРи У = 0 как о, так и о должны У' ~бращат~ся в пуль. Простое вычисление показывает, что надо взять ): (т) — ч) .гз з (32.31) двггжиг!г!в вязкой жггдкостгг 1гл, ы Далее )п„и дУ сЬ2 У в ' в поэтому уравнение (30.16) дает нам л ни РИ(1 — 1п 21 — = — — —, Фл а откуда лв и Хх рУ(1 — !п2) и, следовательно, после интегрирования (32.
34) Вычисляем теперь сопротивление ;ж Г ~-,иг(1 — !пй) — )/ З аг 2х и следовательно (Р'= 2Ь'(гг2(1 — 1п 2)рь!/Ч вЂ”,1,5676'1/рв(Уз, ем= ' =. (32.35) 1,667 )'н- ' Наконец, ь* = 3 / (1 — 63 «,) сь6 = — 3 / (1 — ") — '„—, = гн о о г о (32.36) Мы видим, что величина о* во всех случаях получается очень близкой к той, которую дает точное решение; ошибка в определении с доходит до 20%, хотя в частном случае, когда за г'(т)) выбирается полином третьей степени, эта ошибка не превышает 496.
Еще раз подчеркнсм, что при применении метода интегральных соотношений мы имеем очень большой произвол в выборе распределения скорости. Кроме того, остается также произвол в выборе интегрального соотношения, которым мы иожем воспользоваться. й 33. Пограничный слой в диффузоре. Ламинарная струя. В качестве второго примера применения теории пограничного слоя в несжимаемой жидкости рассмотрим течение в плоском диффузоре'), ') Р о Ь(Ь а из ел К., Лиг павегипягиегвеп!пгедгаиоп бег 0111егепгга!я1е1- сЬиггд г(ег 1аш1пагеп бгепгзЫсЫ, Ееггзсвг.
Ьаг апдечг. Ма1Ь. ггпл МесЬ,, ! (1921), стр. 262 — 266. пОГРАничный слОЙ В диФФУЗОРе лАмннАРнАя стРуя 579 Пусть мы имеем плоское течение жидкости между двумя плоскимн стенками ОАВ и ОСО, наклоненными друг к другу под углом е ( ис, 160, стр. 461). Мы будем стараться придерживаться тех же бозпачений, что и в Э 17, в котором вопрос о течении в диффузоре был рассмотрен вполне строго. В соответствии с этим обозначим через О обнльность источника. считаемую положительной, если мы имеем дело с расходящимся течением в диффузоре, и отрицательной — для случая сходящегося течения. Мы будем рассматривать пограничный слой, образующийся вдоль, стороны ОАВ угла, и будем отсчитывать координату х вдоль этой стороны от точки О.
Тогда для скорости течения идеальной >кидкости мы будем иметь выражение (7 =— 12 (33.1) Введя функцию тока ф(х, у), из основного уравнения теории пограничного слоя, получим: дф дзф дф дзф ду дхду дх дуз (уз дзф +з ззх» дуз (33.2) Положим — ф=". ('), х' (33.3) простые вычисления показывают ~х " (~)' ду х дзф 1 дуз Аз " тогда, что дф 5 У х х дх х дф ду' хз (33 А) Поэтому уравнение (33.2) сильно упрощается: з — (ч')г = — —, + з""'. Введем для простоты обозначение: ~ (1) = †' и (1). а тогда будем иметь уравнение (33.5) зз з и' =1 — иг () (33,61 Мы можем теперь из уравнения Бернулли определить градиент давления —,— д„= — (уи =,'~*,, цв!«жение Вязкой жидкости 1гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
