Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 91
Текст из файла (страница 91)
35) Уравнение (33.34) очень легко интегрируется Чч'+ 3!" = Си Из условии (33,35) следует, что надо принять С, = О, так что (ч'+3."=О, хм ' за -1 1г(а + 8) ~ а — ~8'Г "1 = — чха' " Г".'". (33.31) Мы получим ооыкновенное дифференциальное уравнение для определения ч, если примем, что поГРАн!ппгыл сиоп В днФФузоРВ ЛАмннАРнАя стРуя 587 сно УРавнение опЯть-таки сРазУ интегРнРУетсЯ гч —,+3.; =С,.
Итак, 2л". лб Ьч 2 — дч интегрируя это уравнение, находим: 1п ' = — '+С, а +; ь."" Ь вЂ” 1 Зч Так как 3=0 прп 8=0, то Сз= О. Поэтому ье з О Ь 31'л —. ез'+ 1 ы + Для сокрагиеиия письма положим: Ь= бча, тогда находим окончательный результат ' (г) = бча 1п а5.
133.36) Величина а легко выражается через М путем использования формулы (33,32): М=2р ~ " .Л; О но ь ач Гч 1 = — = бчаз — — Оз; ьч г11 = ля.; '.(О) = О; Г.(сс) = бча, бч бч поэтому М = 2, / (бчаз — ~У) чгР, 48рчтаз 1 бч а (33.37) Итак, вà —,1 "=К м~. А33.38) так как -.'-+0 при б-ьсс, то значение С, неотрицательно, положим поэтому аь С = —.
2 2 588 движения Вязко!ч жидкости !Гл, !г Пользуясь выражениями (33.36) и (33.33) для ч(."), получаем: ф(х, у)=батх"!п(аух "). Для проекций скорости легко находим выражения бва'х спо (аух ') 2аух " от = 2та ,, — х-Ч 1!!(аУх-Ш) . (33.40) ! оно(аух ") Рис. 178 дает построенные на основе этих выражений линии тока и зависимость составляющей скорости о от у в трэх сечениях струи. Из нее ясно видно, как струя постепенно захватывает всэ большее и большее количество жидкости. Легко проверить это н аналитически.
Количество жидкости, протекающей через прямую, параллельную осн Оу н отстоящую от нее па расстоянии х, очевидно, равно (33.39) О р ~ эха!у=2р ~ нх0у= = — 2рхч ~ ~' с!1 =. 2охч (. (со)! о но б(оо) = бча, и, следовательно, Рис. !78. (Г =! 2ртах ь.
(33.41) Этот процесс связан с подтеканием жидкости к оси Ох, и действительно, легко видеть, что Дш и = — 2тах "~*; 1!ш п„=2 ах У э++о> т.+-сО это подтеканне наиболее интенсивно в непосредственной близости от оси Оу и убывает по мере возрастания х. 5 34. Приближенные методы теории пограничного слоя. Отрыв слоя. Метод Кочина — Лойцянского. Мы уже упоминали выше, при общем описании теории пограничного слоя, что следствием этой теории является возможность срыва вихрей с поверхности обтекаемого тела. Этот факт имеет кардинальную важность: в самом деле, в предыдущих главах, при изучении движений идеальной жидкости, рассматривалнсь такие теории, в которых необходимым элементом является наличие вихрей или, вообще, циркуляций, отличных от нуля, пшавлижшп1ыс мвтоды теоггпа погпаиичиого слоя 589 ." ) ) О для х ( ха и ( ) < О для х ) ха.
а Ясно, что место отрыва слоя должно определяться формулой: ('„) = О. Установим еще одно условие, которос должно выполняться д:и того, чтобы отрыв слоя был возможен. В самом деле, в той точке контУРа Мз, в котоРой пРопсходнт отРыв, во асвкоч слУчае должно быть д пх — — )О, ду 134. 1) ибо профиль скоростей обращен в этой точке своеи вогнутостью направлении течения. Во внешней части пограничного слоя знак кривизны меняется, и следовательно, в какой-то из точек профиля скоростей мы должны иметь точку перегиба, условие 134.1), относящееся к точке М, имеет простое динамическое истолкование.
самом деле, в точках контура ох = о = О, поэтому основное у ав Х )ра'пение теории пограничного слоя для случая установившегося движении с29.9) даст нам, что в точке М з — ) О. д,в дх 11так, для возможности отрыва слоя необходимо, чтобы на некото ом Ром участке контура давление возрастало, а так как во внешнем как, например, теория вихревых цепочек Кармана или теория обте„ання контура плоским потенциальным циркуляционным потоком несжимаемой жидкости.
В рамках самих этих теории наличие таких циркуляций, отличных от нуля, не может быть обосновано, ибо, как мы знаем, в рассматриваемых условиях, т, е. когда жидкость идеальна н несжпмаема, а силы консервативны, вихреобразование невозможно. таким образом, с рассматриваемой точки зрения, значение теории пограничного слоя состоит в том, что она объясняет появление вихРея в жидкости и тем делает более обоснованными некоторые схемы движений идеальной жидкости, вроде вышеупомянутых.
Нетрудно теперь установить условия для отрыва слоя. Обозначим через ха координату точки отрыва; рассматривая кривые распределения скорости 1рис. 1?2, стр, 543) в различных точках обтекаемого контура, ыы видим, что отрыв слоя происходит в той точке Мз, в которой происходит смена прямого течения на возвратное. Но на самом ьонгуре ох = О, вблизи же контура ох ) О для х ч. ха и и, < О для х х„ 1предхполагаем, что основное течение происходит в направлении возрастающих аначений х).
Поэтому 590 дзижеиие вязкоп жидкости !гл. и потенциальном потоке давление Р и скорость (l связаны формулой ,уз Р+ — = сопя!., 2 Вводя функцию тока Чг(х, у), так что д'р дчг ю = —, и х ду напишел! основное уравнение Прандтля в следующем виде: дЧ де% д%. де!У ду дх ду дх ду' дзй = ч —, + цех+ 4а,азха+ (ба,а + Зат) хз+ ... дуа 15 а Ищем формально решение этого уравнения в виде Ч' хфг(у)+ хзфз(у)+хауз(у)+ (34.
3) (34.4) (34.5) то предыдущее условие равносильно тому, чтобы на некотором участке контура происходило замедление основного движения. Отметим еще то обстоятельство, что при заданном распределении давления место отрыва слоя определяется однозначно и, следовательно, не зависит от числа Рейнольдса, если только последнее не скажется на распределении давления в окружающем потоке.
Напротив, угол, под которым линия отрыва слоя МаДг(рис. 172) наклонена к контуру АКВ, будет тем меньше, чем больше число Рейнольдса. В самом деле, мы знаем, что при увеличении числа Рейнольдса В толщина пограничного слоя изменяется обратно пропорционально корню квадратному из числа Рейнольдса; также будет язменяться и угол гтгМ В. В пределе прн безграничном увеличении числа Рейнольдса толщина пограничного слоя обратится в нуль, место отрыва слоя останется без изменения, и срыв вихрей будет происходить по линии, касательной к контуру.
Для нахождения течения в пограничном слое и для определения точки отрыва имеется ряд приближенных методов. Мы остановимся только на некоторых из них. В способе Блазиуса предполагается, что мы имеем дело с обтеканием симметричного контура бесциркуляционным установившимся гютоком, имеющим на бесконечности скорость, параллельную оси симметрии. При этих условиях, обозначая через х длину дуги контура от точки разветвления потока, будем иметь, что (I есть печатная функция от х, разложение которой в ряд Тейлора есть (I = а,х+ а,хз+ а хз+ ...
(34.2) Простое вычисление позволяет теперь определить — — — Р = У вЂ” = аагх+4а,а,хз+(ба!аз+Зае) хз+ ... ! ар пРиБлиженные методы теОРии пОГРлничнОГО слоя 591 бф~ф~ бф2фз ф2фз = 'фз Зфз + Зфзфз+ ба,а + За'-. (34.6) Граничные условия о =о =0 при у=О, о„=(7 при у=со дают для фо ф, и ф, следуюшие граничные значения: фг (0) .= У,' (0) = О, фг (со) = а21 фз(0) = фз(0) == О, ф'(г )='' ф, (О) = ф' (0) = О, ф', (со) = а . (34.7) Введем теперь безразмерные величины, полагая / « г —, Г « у= — 21 ф' —,, чь = — Р о22У,(9), фз-— — 4аз ф' — -Уз(21), лз л1 ь л,лз 34.8) тогда уравнения (34.6) примут вид: У"! — Уг"У, = У',«+ ' 4У'У' — ЗУ У вЂ” У У =!+уз« ° 67', ь,'- — 5У,"из — У,8з = 1 + а'-„". 6У;Д; — 57",ггз — у,л".
= 9 + лз" — 8(У'з — УБУз) (34.9) а граничные условия (34.7) обратятся в у (0) = 2' (0) = 0 7 (со) =- 1 г' (0) = 2'з(0) — 0 Уз(оз)= —; У (0)=~з(0)=0; У (со)=- —.; 1,, 1 лз (О) = д,'. (О) = д,'( ) = О. (34.10) Задавая 7, (0), можно численно проинтегрировать первое из уравнении (34.9); путам проб можно определить то значение у",(0), г|рц козороч окажется выполненным граничное условие уг(оз) =- 1 где ф2 ф2 фз суть функции одного только у. слово «формально» „„, прибавляем потому, что на самом деле неизвестно дзже, можно ли „азложить 14г в ряд вида (34.5). Подставляя разложение (34.5) в уравнение и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем ряд равенств, нз которых мы выпишем только первые три: «9о движщощ вязком жидкости !ГЛ.
1! Совершенно так же можно поступить с остальными уравнениями !34.9), В результате получается следующая таблииа значений г",'(.«), уз(т), д'(.«1) и й (т1)! гаоляна Ч К 011 З 1Ч! З Ч ! 11~',! 71 !ч1 гз'ч' 0,00 0,00 ~ 1,6 0,0000 0,000 0,2266 0,125 0,4144 0,213 0,11 0,01 1,8 0,18 0,01)! 2,0 0,22 0,00 ~ 2,2 0,5662 ' 0,269 0,6859 0,7778 0,8467 0.8968 0,24 0,24 0,24 0,23 — 0,02 — 0,03 — 0,05 — 0,05 0,9985 0,253 Совершенно аналогично определяются следующие члены разложения (34.5). Тот же самый метод может быть применен и к более общему случаю, когда распределение скорости на внешней границе пограничного слоя дайтся вместо (34.2) формулой 77 = а,х + азх + азх' + (34.11) Конечно, в этом случае вместо (34.5) надо полагать: 1е'= хф1(у)+ хавз(у)+ хзф (у)-1- (34.12) Возвращаемся к рассматриваемому нами случаю.
Распределение скоростей в пограничном слое выражается, если мы ограничимся только тремя членами в (34.5), формулой х д 11(У)+ «3(У)+ «5(У) = а!ха'(11)+ 4а хзу" (11)+ба хзв'(т!)+б — хза.'(т)). (34,13) Условие для отрьща слоя (34.14) приводит к соотношению аз а, х 7," (О) + 4 азхз7«(0) +. ба ха а'" (О) + б — з ха 11" .(О) = О, 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 0,300 0,313 0,313 0,307 2,4 2,6 2,8 З,О 0,9324 0,298 0,9569 0,288 0,9732 0,278 0,984! 0,269 0,9905 0,263 0,9946 0,258 0,9971 0,256 0,21 — 0,05 0,20 — О, 05 0,19 — 0,04 0,1 8 — О,ОЗ 0,18 — 0,03 0,18 — 0,02 0,17 О, 00 017 О, ОО и ЗО ПГПГЛПЖСПНЫЕ МСГОды таОР1П! ПО!'РЛПП'ПЮГО СЛОЯ 593 но Г,(0) — --1,23264, 7»(0) =-0 7246 д."(0).= 0 637, л." (0) = =.=- 0,12, следовательно, для определения места отрыва получается бик!шдратпое уравнение а л2! 1,23264 и!+ 2,8984 азха —, (3,822 из+ 0,72 — з) х'= — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
