Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 88
Текст из файла (страница 88)
ю! ИНТЕГРАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ КАРМЛНА Н ЕГО ОБОБЩЕНИЯ ба3 ТО1да, так как Ч 1(У (У о)дг(у — (г (, (Р ! 2 /'с а / а о = С72а* — и23"*, мы найдам, после простых вычислений: на* и' — + — (23 +3*)= + (30.18) Эта форма соотношения Кармана была предложена Прандтлем. Мы воспользуемся ею в приближенной теории пограничного слоя, Л. С. Лейбензон указал, что можно получить интегральное соотношение, аналогичное соотношению Кармана, исходя из закона энерпш '). Приведем вывод интегрального соотношения Лейбензона для случая установившегося движения. Вырезая, как выше, из пограничного слоя обьем жидкости, ограниченный ординатами АВ н А,В, !рнс.
176), для живой силы этого слоя будем иметь выражение: 2 7'= / 2' (у Ух а (30.19) вь1носимой через А,ВР живой силы 2 а '! Л е и бе из он Л. С., Энергетическая форма интегрального условия ' ееорчн пограничного слоя, труды ЦА! И, вып. 240, 1935. ибо составляющая о очень мала по сравнению с о, Изменение за время Ж живой силы частиц, составляющих вырезанный объем, слагается пз живой силы 564 дВижение ВязкОЙ жидкости ~гл. и выносимой через АВ, и живой силы Ве д 1" — — — ( ро г7угВ1гх, в выносимой через ВВ,.
Поэтому полное изменение живой силы рас- сматриваемой системы точек равно: д д о В~ и , „1 Полсчитаем теперь рзботу внешних сил на контуре АА,В,В. Работа сил вязкости на отрезке АА, равна нулю, так как скорость жидкости на АА, обращается в нуль; на прочих частях контура работой сил вязкости можно пренебречь.
Работа сил давления на контуре АА,В,В выражается интегралом — ~ ро„г7зг7Г, АА,В,В где и есть внешняя нормаль к контуру. Но по формуле Гаусса ~ ро„да= ( ~ 61гв(ро) 1(хг7у, где В есть площадь, ограниченная контуром С; дзлее 61т (ро) = р 61гц о+ асад р ° о, н в нашем случае б!т о= О, а р зависит только от х, так что агадр = д др дх Поэтому искомая работа сил давления равна 11 4 = — 1 ро„да дт = — г(х — ~ о ггу сЦ. дх,1 АА,В,В Как мы знаем, работа приложенных к частицам вязкой жидкости сил расходуется не только на увеличение кинетической энергии этих частиц, но частью аиссипируется.
Функция диссипации Е (см. й 7) в нашем случае упрощается на основании (7.7), принимая следующий вид: Е=р( ду ) ' «эч ИНТЕГРАЛЫ!ОЕ СООТНОШЕНИЕ КАРМАНА И СГО ОБОБЩЕНИЯ 555 цбо остальные слагаемые, входящие в В, малы по сравнению с иапи,Анны>ь За время с(г в рассматриваемом обьеме жидкости рассеивается количество энергии, равное дВ = дрых /',('д' )'ду. о <:оставляя равенство г(Т = г)А — дВ, приходим к интегральному соотношению Лейбензопа: ,3 ц2 ~ дс г!х. 2 2 дхд х дхд х ~ > > ду ) /', = — /' е о (59.2(>) Это соотношение может быть выведено также непосредственно из основных урзвненнп Прандтля (29.9), В, В.
Голубев указал, что нз этих уравнении можно получить даже еще более общую форму интегрального соотношения. В самом деле, умножзя обе части уравнения до„дох 1 дР д~о, х дх т д> р дх ду' иа о«п интегрируя после этого по у в пределах от О до о, получим: ю о ' у+/ о ' —,гну= — — — / о ду+" / о "1у» «гл до, Г «дох 1 дР Г «, Г «д«о» к дх,/ >х д> р дх,/ х / «ду« о о о о Простые преобразования дают; з до 1 Г' до«+1 о,о« вЂ” 21у= — / о — с(у= х Х ух д> «+1,/ у ду о а (Т«+'о (х, В) 1 Г „, до « ~У1 «+1./ ду о У«+' 1 Г до = — о (х, о)+ — / о«+' — с(у; «+1 р ' «-1-1./ х дх о дВижение Вязко1т жидкости ~гл, и 566 вследствие (30.4) и того, что можно принять о (х, е)=(Г(х), ь пк-:' — ' Фу+ / о о' — 'ду= двх ~ дех дх,/ эхду о а = а+1 ~ д д ./ 1 «-(-1/ Но ясно, что а а двх"' д пк" в кГй ет далее, интегрирование по частям дает, вследствие того что двх 1 (и )у=о=О ( — ~1 =О, следующее соотношение: ду ~у=а е о Поэтому окончательно при любом положительном А получаем: л вате цайт! и — — ИУ вЂ” — д /и ФУ= д.
/ +1 а+1 ./ о о =- — — — / и ду — км / о" 1 — ) г1у. 1др Г ~ г дехтз е дх,/ х / кгду) о о (30.21) г двх дп„ дох т дРхк дРук и'1 — +и — +о — ) = — +— (,дт к дХ У ду) дХ ду / дпу дв до, '1 др дР„ в( — + .— -+и — /= — + —, (де ' дх У ду/ дх ду (31,1) (31.2) При й — — 1 получаем, в частности, интегральное соотношение Лейбензона. Я 31. Уравнения теории пограничного слоя для сжимаемой жидкости. Рассуждения Прандтля мы можем легко обобщить на случай сжимаемой жидкости.
Как и раньше, рассмотрим для простоты случал плоско-параллельного течения и предположим отсутствие внешних снл. Уравнения движения (4.8) примут вид: ! Тн УРАВНЕНИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ДЛЯ СЖНМАЕМОП ЖИДКОСТИ 557 причем по (3.4) дох деу Ру, = — — Р+ (А+ 28) — "+ А — ', де до р„= — р+ (А+ 2р) — „'-+ ), (3!.3) Уравнение неразрывности даст: дР дпах даеу + + — о. д! дх ду Введем вновь в рассмотрение 5 и 1 как в й 28. Если в уравнении (31,4) все члены — одного порядка и если )у есть характерная скорость рассматриваемого течения (о,), то снова мы должны считать, что внутри пограничного слоя о имеет порядок уг5/1. Но тогда четыре члена правой части (31.1), содержащие производные от скоростей по координатам имеют соответственно порядок (Х и р имеют один и тот же порядок): Ъ' 1 Туз )у Ту а — и — —, р —, !У* ' ! И ' И' Ие' и мы должны оставить из них лишь один — третий — и записать вместо первого уравненивп l дсх дпх дех Т д!у д !' до„т р( — +о — + о — ~)= — — + — !р — "~.
(31.5) д! х дх У ду) дх ду(' ду~ Так же как и в несжимаемой жидкости, все члены левой части (31.5) имеют один и тот же порядок р)уе/1 и опять, по Прандтлю, мы примем, что р)уз/1 и р1у(5т имеют один и тот же порядок. Тот же порядок имеет член др/дх. Обратимся теперь к уравнению (31,2). Порядок членов, содержащих коэффициент вязкости и стоящих здесь справа, т. е. членов будет ~~ответственно, Максимальная из них )А(у(13, а это, по принятому уже нами допущению Прандтля, всв равно, что рЪ'~5/(т, Таков же погвлнн пчып слои вдоль плоском пллстннкн ч«59 лучин окончательно: ( (к(ест .~- — ').ь (е т«" ) ь с (,)) др д Г дТ'1 д Г де«т — — = à — (й — '1+ (р. — «), (3)ПО) дт ду (, ду) ду( «ду 1 ы ле Е = — — — механический эквивалент тепла.
В заключение этого параграфа получим еше интегральное соотношение Кармана лля сжимаемой жилкости. Для этого запишем перва (31.5), привлекая уравнение неразрывности в виде дае« два,. две«гу„ др д / де д( + дх+ ду дх+ду 1~ ду/' и проинтегрируем по у от О ло 3: /' — ',",' дГ ~ l дх у+( г)х=' дх )г д Но нз уравнения неразрывности следует, что /й- .
2' — г- г(у+ / — '' г(у+(ро ) з = О. (3!.12) Обозначая, как н прежле, (о„)„, = У, вставляя (ро ), из (31.12) в (31.11), вынося дифференцирование из-пол знаков интегралов и производя сокращения, получим: д, д /', д /" д дГ, ' ' ' дхд «дхд ' де.у ,;, ду, / (ра () -- и —,/ ро ду — и —,/ рау†о о .= — — 3 — — ( и — —" / . (31. 13) др ' де дх (, ду /г=е' -)то и есть интегральное соотношение Кармана для сжимаемой жидкости, При 9 = сопз(., р = сопз1.
оно автоматически перейдет ° (3ОП3). $ 32. Пограничный слой в несжимаемой жидкости влоль плоской пластинки. Переходим теперь к исследованию конкретных случаев движений в пограничном слое. Пусть плоская пластинка, бесконечно длинная в направлении, пери"нлпкулярном к плоскости чертежа (рнс. 173), лвижется с постоянной движение вязком жидкости !гл скоростью У в направлении отрицательной оси Ох. Нам удобнее будет обратить движение и рассматривать обтекание пластинки, расположенной вдоль оси Ох, равномерным потоком, имеющим постоянную скорость У.
Очевидно, в основном потоке мы имеем отсутствие градиента давления Ир — =О, ч'х (32.2) Но ясно теперь, что ии.. Следуя Блазиусу ') по формуле ф, кроме х и у, может зависеть только от мы введем вместо ф безразмерную величину ч ф =. )г~~Ох !., (32. 4) а также безразмерную величину (32.5) Предположим теперь, что !. зависит только от Ь ( = .У(1). Простые вычисления показывают, что если мы условимся штрихалш обозначать производные по с, то д (32.6) 1 / У вЂ” — 1/ — ((.' —,). 2г' х ') В ! а а ! и з Н., Огепгзсй!сйгеп !и Р!аае!ййенеп гл!! и!е!вег Ке!Ьвпй, Лей.
!чг й!аги. г!вг! Рьуа,, 56 (1903), стр. 1 — 37. и поэтому, предполагая, что мы имеем дело с несжимаемой жидкостью и со стационарным ламинарным пограничным слоем, можем написать основные уравнения в виде: Лел г!пл г)'в„ Вводя функцию тока ф(х, у), будем иметь: дф дф! ду' У дн' и первое уравнение (32.1) дает тогда к (32.3) пОГРАничнып слой ВдОль плОскоп плАстинки 371 Подставляя эти значения в уравнение (32,3), после сравнительно простых вычислений найдем обыкновенное дифференциальное уравнение для определения С: 2"."'+ (,:" = О. (32.7) ь = 0 с' = 0 при $ = О (32.
8) граничное же условие О = (l при у= со показывает, что ч'= 1 при (=Со. (32.9) Нчак, надо интегрировать уравнение (32.7) третьего порядка прн трех граничных условиях (32.8) и (32.9). Решение этой задачи мы уже привели выше (см. $ 20). Этим решением сейчас и воспользуемся. Напомним теперь ещс раз наши обозначения. По первому из уравнений (32.6): Г/ (г) — Вх, (7 ' (32.10) по уравнению же (32.5) (32. 11) Заметим, что в рассматриваемой задаче мы не имеем в нашем распоряжении характерной длины; рассматривая пограничный слой в месте пластины, соответствующем координате х, мы можем принять число Рейнольдса равным (32.12) и тогда Таким образом '. пропорционально координате у. Приведем теперь таблицу (см.
таблицу 1Н), составленную Правд. таем на основе вычислений Тепфера, и дадим (рис. 177), распределение скорости в пограничном слое. Так как в основе теории пограничного слоя лежит предположение о том, что число Рейнольдса (х очень велико, то из формулы (32,!2) явствует, что мы не можем пРименять полученные результаты к самому краю пластинки, где х имеет малые значения. Прежде чем идти дальше, сопоставим решение, полученное здесь, решением в точной постановке (3 20). В ка гсстве независимой рраничные условия О„ = О = 0 при у = 0 дают нам вследствие соотношений (32.6), что ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 572 гел. и Таблица !(7 ! Е ."(Е) ( Е Е'(О Е' Еп Е (Е! Е Е' (Е! переменной в 9 20 фигурировала величина / и, ~Р'Х +У вЂ” Х ч где Х= — х, У= — у (см. (20д5) и (20.19)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
